Limites de Confiança

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Teoria

Imagina que queremos determinar a dureza da água de uma fonte, para isso a gente determina a concentração dos íons de determinados minerais, principalmente C a 2 + e M g 2 + , vários testes são realizados e isso da para a gente alguns resultados que variam um pouco entre si.

Ai eu te pergunto, qual o resultado que corresponde a realidade?!

A verdade é que a gente não consegue ter 100 % de certeza de um resultado, por ao invés de ir atrás de um resultado verdadeiro, é mais interessante falar de um intervalo que é uma faixa de valores em torno da média da amostra x - onde existe uma probabilidade da média da população μ estar.

Esse intervalo é chamado intervalo de confiança, IC e o menor valor e o maior valor ao redor da média são chamados limites de confiança!

P L i n f < θ < L s u p = 1 - α

Dizemos que a probabilidade do parâmetro estar entre oss limite inferior, L i n f   e   superior L s u p   é de 100 1 - α %   e esse é o nosso nível de confiança, NC.

Lembrando que o parâmetro é o valor real que queremos estimar, nesse caso é a média da população μ .

Por exemplo, se dizemos que é 90% provável que a concentração de cálcio na água esteja em um intervalo de 1,35   p p m ± 70 p p m , então o NC é de 90 % , 1,35   p p m é o IC, o L s u p é 71,35   p p m e o L i n f é 6 8,65   p p m !

IC quando s é uma boa estimativa de σ

A amplitude do IC pode ser calculado a partir do desvio padrão da população σ , o problema é que dificilmente vai ser possível conhecer esse valor, porque é impossível analisar TODA a água da fonte, por exemplo.

Mas quando realizamos muitos testes podemos dizer que o desvio padrão da amostra s é uma boa estimativa para o parâmetro σ !

Nesse caso IC é dado por:

I C   p a r a   μ = x - ± z σ

Onde N é o número de amostras e z é uma nova variável, definida como:

z = x - μ σ

Dessa forma quando a diferença entre uma medida e a média é de um desvio padrão ( x - μ = σ ) então z = 1 , quando essa diferença é 2 σ , z = 2 e assim sucessivamente! z diz pra gente o desvio que um dado tem da média de uma forma relativa.

Quanto maior a amplitude do IC maior é a probabilidade de μ estar dentro do intervalo de confiança, mas na prática a gente quer um IC pequeno para o maior NC possível!

Para uma distribuição normal, temos:

que pode ser escrito como:

P x - - z σ n   < μ < x - + z σ n   = 1 - α

Dessa forma:

L i n f = x - - z × z σ N  

E:

L s u p = x - + z × z σ N  

De uma forma geral, podemos dizer que :

N C   p a r a   μ = x - ± z σ N

IC quando σ não pode ser estimado

Aprendemos a calcular o IC quando σ pode ser estimado por s , o problema é que muitas análises químicas, por limitação de tempo ou recursos, são feitas em duplicatas ou triplicatas! Isso é, repetidas duas ou três vezes.

Como discutimos, s só é uma boa estimativa de σ quando estamos trabalhando com muitas medidas!

Nesse caso pode ser interessante usar intervalos de confiança maiores e a variabilidade de s pode ser dado por:

t = x - μ s

Esse parâmetro é bem parecido com o z , a única diferença é que substituimos σ por s ! Para N medidas podemos escrever:

t = x - - μ s / N

Nesse caso, para calcular o intervalo de confiança, usamos:

N C   p a r a   μ = x - ± t s N

Podemos obter t consultando essa tabelinha aqui:

Onde o grau de liberdade é dado por N - 1 .

Agora bora exercitar!!!

IC quando s é uma boa estimativa de σ

IC quando σ não pode ser estimado

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considerando um grande número de medidas de forma que s seja uma boa estimativa de σ , determine que nível de confiança foi usado para cada um dos intervalos de confiança:

  1. x - ± 3,00 s N
  2. x - ± 1,64 s N
  3. x - ± s N
  4. x - ± 2,00 s N

Passo 1

Opaa, temos então várias expressões para intervalos de confiança!

Só pra refrescar a memória, vamos ver a expressão geral, o problema diz que s é uma boa estimativa de σ , então podemos considerar:

I C   p a r a   μ = x - ± z σ N

E como a gente pode saber o nível de confiança?!

Muito simples, a gente vai consultar essa tabelinha aqui:

E como podemos ver, o z é o número que esta multiplicando o s em cada letra! Então vamos começar com a letra a

z = 3,00

Consultando a tabela achamos que para z = 3,00 o nível de confiança é de 99,7 % !

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para as outras letras!

Na letra b temos z = 1,64 , consultando a tabela N C = 90 % ;

Para z = 1,00 , N C = 68 % essa é a nossa letra c ;

E pra acabar, para z = 2,00 , N C = 95 ,   4 % ;

Molezinha, não é!?

Resposta

  1. N C = 99,7 %
  2. N C = 90 %
  3. N C = 68 %
  4. N C = 95,4 %

Exercício Resolvido #2

Discuta como a dimensão do intervalo de confiança da média é influenciada pelos

seguintes aspectos (todos os outros fatores são constantes):

  1. O tamanho N da amostra.
  2. O nível de confiança.
  3. O desvio padrão s

Passo 1

Vamos ver se a gente aprendeu direitinho sobre os conceitos de Limites de confiança!!!

A medida que o número de medidas N aumenta, então a média das amostras, x - se aproxima mais da média da população μ .

E o que isso tem a ver com o intervalo de confiança?!

Tudo! Isso significa que o resultado é mais confiável, assim o intervalo de confiança pode ser menor!

Matemáticamente temos:

I C   p a r a   μ = x - ± z σ N

Aqui vemos que o intervalo de confiança é inversamente proporcional ao número de amostras. N aumenta e I C diminui, como discutimos!!!

Passo 2

O nível de confiança é nada mais nada menos do que a probabilidade de μ estar dentro do intervalo de confiança estabelecido, certo?!!

Concorda comigo então que se eu aumento o intervalo de confiança essa probabilidade aumenta?!

Isso mesmo, a medida que N C aumenta, o I C aumenta também!

Passo 3

A relação entre s e I C a gente também pode ver matemáticamente:

I C   p a r a   μ = x - ± z σ N

σ que nada mais é do que o desvio padrão da população estimado por s é diretamente proporcional a I C .

Se a gente parar pra pensar faz bastante sentido, porque o aumento de s significa que as medidas não são muito precisas, logo a gente tem que aumentar o intervalo onde provavelmente μ vai estar!

Resposta

  1. I C diminuiu com o aumento de N na proporção de N ;
  2. I C aumenta com o aumento do N C ;
  3. I C   aumenta na mesma proporção que o aumento de s .

Exercício Resolvido #3

Os níveis de glicose de um paciente que sofre de diabetes foi monitorado durante um mês por meio de um método analítico espectrofotométrico e os seguintes dados foram obtidos:

Determine os intervalos de confiança de 80% e 95% para (a) o primeiro registro (b) o valor médio, considerando s = 19 uma boa estimativa para σ .

Passo 1

O problema diz pra a gente que s é uma boa estimativa para σ , logo podemos usar a seguinte expressão:

I C   p a r a   μ = x ± z σ

Podemos consultar a tabelinha da teoria que relaciona o nível de confiança com z e vemos que para um I C = 80 % z = 1,28   e para I C = 95 % z = 1,86 , substituindo:

80 %   I C = 1 . 108 ± 1,28 × 19

Calculando:

80 %   I C = 1 . 108 ± 24,32   m g / L

E:

90 %   I C = 1.108 ± 1,96 × 19

Ficamos com:

9 5 %   I C = 1 . 108 ± 37,24   m g / L

Passo 2

Agora para o valor médio, x - :

I C   p a r a   μ = x - ± z σ N

Esse z σ é o limite de confiança que a gente calculou no passo 1 , então podemos usar ele:

80 %   N C = 1.100,3 ± 24,32 7

Calculando:

80 %   N C = 1.100,3 ± 9,2   m g / L

Agora para 95 % de confiança:

95 %   N C = 1.100,3 ± 1,96 7

Ficamos com:

95 %   N C = 1.100,3 ± 14,1   m g / L

Awee, muito bem!!!

Resposta

  1. 80 %   I C = 1.108 ± 24,32   m g / L , 95 %   I C = 1.108 ± 37,24   m g / L ;
  2. 80 %   N C = 1.100,3 ± 9,2   m g / L , 95 %   N C = 1.100,3 ± 14,1   m g / L .

Exercício Resolvido #4

Se uma amostra aleatória N = 25 , tem uma média amostral de 51,3 e uma desvio padrão populacional de σ = 2 . Construa o intervalo com 95 % de confiança para a média populacional µ .

Passo 1

Queremos construir um intervalo de confiança que tenho um nível de confiança de 95 % .

O problema nos da o número de medidas, N = 25 , σ = 2 e o I C pode ser calculado por:

I C = x - - z σ n   , x - + z σ n  

Sabendo que para N C = 95 % , z = 1,96 , então:

I C 51,3 - 1,96 × 2 25   , 51,3 + 1,96 × 2 25  

Calculando:

I C = ( 50,52 ; 52,08 )

Outra forma de escrever é:

I C = 51.3 ± 0,78

Resposta

I C = ( 50,52 ; 52,08 )

Exercício Resolvido #5

Uma marca particular de margarina diet foi analisada para determinar o nível em porcentagem de ácidos graxos insaturados. Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados: 16,8; 17,2; 17,4; 16,9; 16,5 e 17,1. Encontre o intervalo de confiança de 99% para a amostra

Passo 1

Queremos achar I C para um N C = 99 % , mas o problema não so disse se s é uma boa estimativa de σ , logo vamos assumir que não é!

Assim vamos usar:

N C   p a r a   μ = x - ± t s N

Sabemos que o número de medidas é 6 e precisamos então calcular x - , s e determinar t !

Passo 2

Vamos começar calculando a média x - :

x - = 16,8 + 17,2 + 17 , 4 + 16,9 + 1 6,5 + 17,1 6 = 16,98

Agora o desvio padrão, s :

s = ∑ i = 1 N x i - x - 2 N - 1

Calculando:

Achamos s = 0,319 .

t para um nível de confiança de 99 % com 5 graus de liberdade é 4,03 !

Passo 3

Agora podemos achar nosso intervalo de confiança:

I C   d e   99 %     μ = 16,98 ± 4,03 × 0,319 6

Calculando achamos:

I C   d e   99 %     μ = 16,98 ± 0,3

Ou também podemos escrever:

I C = ( 16,45 ; 17,51 )

Resposta

I C = ( 16,45 ; 17,51 )

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