Enunciado

13 – Calcule a energia cinética média do oscilador harmônico aproveitando as relações na Tabela 9.1.

Passo 1

Para calcularmos a energia cinética média de um oscilador harmônico, vamos utilizar a eq. 9.31 do Atkins usada para o cálculo de propriedades de osciladores, onde se é conhecido as funções de onda. A expressão da eq. 9.31 é a seguinte:

Ω = ∫ - ∞ ∞ ψ * Ω ψ d x                   E q 1

Onde, Ω é uma propriedade qualquer do oscilador harmônico.

Passo 2

Com base na Eq1 apresentada antes, a energia cinética média do oscilador harmônico pode ser determinada pela seguinte expressão:

E K = ∫ - ∞ ∞ ψ * E ψ d x

A energia E pode ser determinada em termos do momento linear da partícula p, da seguinte forma

E = p 2 2 m

Sendo o momento linear expresso como

p = ħ i d d x

Assim

E = ħ 2 i 2 2 m d 2 d x 2

Sendo

i 2 = - 1

Assim,

E = - ħ 2 2 m d 2 d x 2

Passo 3

Vamos expressar o deslocamento x da partícula em termos do parâmetro y, que é o deslocamento da partícula normalizado, expresso como:

x = α y

Onde, α é um parâmetro definido como:

α 2 = ħ m ω

Pela relação mostrada antes

d x = α d y

Assim, substituindo na expressão da energia E:

E = - ħ 2 2 m α 2 d 2 d y 2

E = - ħ ω 2 d 2 d y 2

Portanto,

E ψ = - ħ ω 2 d 2 ψ d y 2

Passo 4

A integral definida para o cálculo da energia cinética média será então

E K = ∫ - ∞ ∞ ψ * - ħ ω 2 d 2 ψ d y 2 d x

E K = - ħ ω 2 ∫ - ∞ ∞ ψ * d 2 ψ d y 2 d x

A função de onda, ψ, é definida para um oscilador harmônico como:

ψ = N H e - 0,5 y 2

Assim,

d 2 ψ d y 2 = d 2   d y 2 N H e - 0,5 y 2

Lembrando que H é o polinômio de Hermite, que é uma função que depende de y, assim a derivada segunda da função de onda resultará na seguinte relação final:

d 2 ψ d y 2 = N [ H " - 2 y H ' - H + y 2 H ] e - 0,5 y 2

Pela Tabela 9.1 temos que:

H v " - 2 y H v ' + 2 v H v = 0

y 2 H v = y 0,5 H v + 1 + v H v - 1 = 0,5 0,5 H v + 2 + v + 1 H v + v 0,5 H v + v - 1 H v - 2

y 2 H v = 0,25 H v + 2 + v v - 1 H v - 2 - v + 0,5 H v

Consequentemente,

d 2 ψ d y 2 = N 0,25 H v + 2 + v v - 1 H v - 2 - v + 0,5 H v e - 0,5 y 2

Passo 5

Substituindo na expressão da energia cinética média:

E K = - ħ ω 2 ∫ - ∞ ∞ ψ d 2 ψ d y 2 d x

E K = - ħ ω 2 ∫ - ∞ ∞ N H v e - 0,5 y 2 N 0,25 H v + 2 + v v - 1 H v - 2 - v + 0,5 H v e - 0,5 y 2 d x

Sendo

d x = α d y

Assim,

E K = - α N 2 ħ ω 2 ∫ - ∞ ∞ H v 0,25 H v + 2 + v v - 1 H v - 2 - v + 0,5 H v e - y 2 d y

Passo 6

Vamos resolver a integral:

Fazendo,

H V = 0,25 H v + 2 + v v - 1 H v - 2 - v + 0,5 H v

Assim, abrindo a integral:

∫ - ∞ ∞ H v H V e - y 2 d y = 0,25 ∫ - ∞ ∞ H v H v + 2 e - y 2 d y + v v - 1 ∫ - ∞ ∞ H v H v - 2 e - y 2 d y - v + 0,5 ∫ - ∞ ∞ H v H v e - y 2 d y

Pelo comentário 9.2, encontrado na pág. 263 do cap. 9 do Atkins, temos que:

∫ - ∞ ∞ H v H v ' e - y 2 d y = π 0,5 2 v v !               { s e   v ' = v }

∫ - ∞ ∞ H v H v ' e - y 2 d y = 0               { s e   v ' ≠ v }

Com essas relações mostradas, as integrais serão:

∫ - ∞ ∞ H v H v + 2 e - y 2 d y = 0

∫ - ∞ ∞ H v H v - 2 e - y 2 d y = 0

∫ - ∞ ∞ H v H v ' e - y 2 d y = π 0,5 2 v v !

Consequentemente:

∫ - ∞ ∞ H v H V e - y 2 d y = 0,25 0 + v v - 1 0 - v + 0,5 π 0,5 2 v v ! = - v + 0,5 π 0,5 2 v v !

Passo 7

Assim, para a energia cinética média:

E K = - α N 2 ħ ω 2 ∫ - ∞ ∞ H v H V e - y 2 d y

∫ - ∞ ∞ H v H V e - y 2 d y = - v + 0,5 π 0,5 2 v v !

Assim,

E K = - α N 2 ħ ω 2 - v + 0,5 π 0,5 2 v v !

Pelo exemplo 9.3 do Atkins:

N 2 = 1 α π 0,5 2 v v !

Logo,

E K = v + 0,5 ħ ω 2

Resposta

E K = v + 0,5 ħ ω 2

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Verifique se a constante de normalização A0 na função de onda do oscilador harmônico no estado fundamental () 20 0ax x A e− = ((Equação 35-23) é dada por () 1 40 0 A = 2mω h.
Mostre que as funções de estado fundamental e a primeira onda de estado excitado do oscilador harmônico são ortogonais; isto é, mostre que
A função de onda para o estado n = 2 do oscilador harmônico é ψ2 () x = A2 2ax2 - 1 () 2 e-ax 2, onde A2 é a constante de normalização e a é uma constante positiva. Mostre que as funções de onda para