Enunciado

13 – Normalize as funções de onda:

A)

s e n n π x L ; 0 ≤ x ≤ L ,   n = 1,2 , 3 , …

B)

K ;   - L ≤ x ≤ L

Onde, K é uma constante

C)

e - r a ; e s p a ç o   t r i d i m e n s i o n a l

D)

x e - r 2 a ; e s p a ç o   t r i d i m e n s i o n a l

Sugestão: o elemento de volume em coordenadas esféricas é

d τ = r 2 d r s e n θ d θ d ϕ

Com,

0 ≤ r ≤ ∞ ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤ 2 π

Passo 1

Para normalizarmos uma função, temos que usar a seguinte relação matemática para uma função de onda ψ:

∫ ψ * ψ d τ = 1

Onde, a função de onda ψ tem a forma:

ψ = N f

Onde, N é o coeficiente de normalização que devemos achar, e f é a função característica da função de onda. Assim, de modo geral vamos ter que

N 2 ∫ f 2 d τ = 1

Então, para normalizarmos a função de onda, basta encontrarmos o valor para a constante de normalização N.

Passo 2

A)

Sendo

f = s e n n π x L

Usando a relação anterior, com o intervalo fornecido:

N 2 ∫ 0 L s e n 2 n π x L d x = 1

Pela identidade trigonométrica:

s e n 2 n π x L = 1 2 - 1 2 c o s 2 n π x L

Assim,

1 2 N 2 ∫ 0 L 1 - c o s 2 n π x L d x = 1

Resolvendo a integral acima chegamos que:

∫ 0 L 1 - c o s 2 n π x L d x = x - L 2 n π s e n 2 n π x L L 0

∫ 0 L 1 - c o s 2 n π x L d x = L - L 2 n π s e n 2 n π

Sendo que

s e n 2 n π = 0 ,   ∀   n = 1,2 , 3 , …

Logo,

∫ 0 L 1 - c o s 2 n π x L d x = L

Assim,

1 2 N 2 ∫ 0 L 1 - c o s 2 n π x L d x = 1 2 N 2 L

1 2 N 2 L = 1

N = 2 L 0,5

Passo 3

B)

Sendo

f = K

Analogamente,

N 2 ∫ - L L K 2 d x = 1

Resolvendo a integral acima chegamos que:

∫ - L L K 2 d x = K 2 x L - L

∫ 0 L 1 - c o s 2 n π x L d x = K 2 L - - L = 2 K 2 L

Assim,

N 2 ∫ - L L K 2 d x = 2 N 2 K 2 L

2 N 2 K 2 L = 1

N = 1 K 1 2 L 0,5

Passo 4

C)

Sendo

f = e - r a

Assim,

N 2 ∫ e - 2 r a d τ = 1

Sendo

d τ = r 2 d r s e n θ d θ d ϕ

Com,

0 ≤ r ≤ ∞ ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤ 2 π

Assim,

N 2 ∫ e - 2 r a d τ = N 2 ∫ 0 ∞ e - 2 r a r 2 d r ∫ 0 π s e n θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Resolvendo as integrais:

∫ 0 ∞ e - 2 r a r 2 d r = a 3 4

∫ 0 π s e n θ d θ = 2

∫ 0 2 π d ϕ = 2 π

As integrais foram resolvidas com auxílio do software matemático Wolfram Alpha.

Assim,

N 2 ∫ e - 2 r a d τ = N 2 a 3 4 2 2 π = a 3 N 2 π

a 3 N 2 π = 1

N = 1 a 3 π 0,5

Passo 5

D)

Sendo:

f = x e - r 2 a

Analogamente, ao item (C):

N 2 ∫ x 2 e - r a d τ = 1

Sendo

d τ = r 2 d r s e n θ d θ d ϕ

Com,

0 ≤ r ≤ ∞ ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤ 2 π

Também temos que, em coordenadas esféricas, a variável cartesiana x se relaciona com as coordenadas esféricas da seguinte maneira

x = r s e n θ c o s ⁡ ( ϕ )

Assim,

N 2 ∫ x 2 e - r a d τ = N 2 ∫ 0 ∞ e - r a r 4 d r ∫ 0 π s e n 3 θ d θ ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ ϕ d ϕ

Resolvendo as integrais:

∫ 0 ∞ e - r a r 4 d r = 4 ! a 5

∫ 0 π s e n 3 θ d θ = 4 3

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ ϕ d ϕ = π

As integrais foram resolvidas com auxílio do software matemático Wolfram Alpha.

Assim,

N 2 ∫ x 2 e - r a d τ = N 2 4 ! a 5 4 3 π = 32 π a 5 N 2

32 π a 5 N 2 = 1

N = 1 32 π a 5 0,5

Resposta

A)

N = 2 L 0,5

B)

N = 1 K 1 2 L 0,5

C)

N = 1 a 3 π 0,5

D)

N = 1 32 π a 5 0,5

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