Enunciado

Calcule o momento linear médio de uma partícula descrita pelas seguintes funções de onda: (a) e i k x ; (b) c o s ⁡ ( k x ) , (c) e - a x 2 . Em cada função, x varia de - ∞ até + ∞ .

Passo 1

Opaaaaa, gente!!! Bora que bora resolver esse problema de quântica lindão aí?

p x = ℏ i d d x

< p x >   = N 2 ∫ ψ * p ^ x ψ   d x

N 2 = 1 ∫ ψ * ψ d τ = ∫ ψ * p ^ x ψ   d x ∫ ψ * ψ   d x = ℏ i ∫ ψ * d ψ d x d x ∫ ψ * ψ d x )

Passo 2

Vamos agora avaliar para cada função de onda, beleza?

(a) ψ = e i k x ,   d ψ d x = i k e i k x = i k ψ

Consequentemente, podemos agora substituir na equação final do passo (1) e obter que:

< p x >   = ℏ i × i k   ∫ ψ *   ψ   d x ∫ ψ * ψ d x = k ℏ

Passo 3

(b) ψ = cos ⁡ k x → d ψ d x = - k s e n ( k x )

∫ - ∞ ∞ ψ * d ψ d x   d x = - k ∫ - ∞ ∞ cos ⁡ k x s e n k x d x = 0

Portanto, < p x >   = 0

Passo 4

(c) ψ = e - a x 2 → d ψ d x = - 2 a x e - a x 2

∫ - ∞ ∞ ψ * d ψ d x   d x = - 2 a ∫ - ∞ ∞ x e - 2 a x 2 d x = 0

Por simetria, desde que x seja uma função paridade, temos que:

< p x >   = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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