Enunciado

21 – (A) Deduza uma relação geral para (∂E/∂p)T,n de uma pilha eletroquímica com reagentes em quaisquer estados da matéria.

(B) Certos autores calcularam a variação de volume, em uma temperatura de 30°C, na reação

T l C l s + C N S - a q → T l C N S s + C l - ( a q )

Mediante medidas de massa especifica, obtiveram que

∆ r V = - 2,666 ± 0,080   c m 3 m o l - 1

Eles mediram também a fem da pilha Tl(Hg)|TlCNS(s)|KCNS:KCl|TlCl|Tl(Hg), em pressões até 1500 atm. Os resultados figuram na seguinte tabela:

Com esses dados, calcule (∂E/∂p)T,n, a 30°C, e compare com o valor calculado a partir de ΔrV.

(C) Ajuste os dados da tabela com um polinômio de E em função de p. O coeficiente (∂E/∂p)T,n é realmente constante?

(D) A partir do polinômio usado no ajuste, estime uma compressibilidade isotérmica para a pilha como um todo.

Passo 1

A)

Vamos pegar a eq. 3.50 da variação da energia de Gibbs em relação a pressão para um processo em temperatura constante

∂ G ∂ p T = V

Que podemos escrever da seguinte forma:

∂ ∆ r G ∂ p T = ∆ r V

Pela Eq. 7.27, referente a equação da variação da energia de Gibbs para uma reação eletroquímica:

∆ r G = - v F E

Substituindo

∂ - v F E ∂ p T = ∆ r V

Sendo que v é o coeficiente estequiométrico da reação e F é a constante de Faraday, assim

∂ - v F E ∂ p T = - v F ∂ E ∂ p T , n

- v F ∂ E ∂ p T , n = ∆ r V

∂ E ∂ p T , n = - ∆ r V v F

Passo 2

B)

Para este item, vamos calcular o valor de (∂E/∂p)T,n usando os dados da tabela, a partir de uma regressão linear, encontrando os coeficientes angular e linear da eq. da reta que representa os dados. A regressão linear de E versus p, terá como coeficiente angular justamente (∂E/∂p)T,n, assim fazendo a regressão linear com os dados vamos ter que:

y = 2,480 x 10 - 3 x + 8,5583

Onde,

y = E   e   x = p

A expressão da reta em termos das variáveis é:

E = ∂ E ∂ p T , n p + C

Assim,

∂ E ∂ p T , n = 2,480 x 10 - 3   m V   a t m - 1

Passo 3

Calculando (∂E/∂p)T,n para o valor da variação de volume especifico dado no enunciado

∆ r V = - 2,666   c m 3 m o l - 1

Pegando a eq. que obtivemos no item (A)

∂ E ∂ p T , n = - ∆ r V v F

Onde, v é o coeficiente estequiométrico e F é cte de Faraday

v = 1

F = 96485   C   m o l - 1

Aplicando os valores

∂ E ∂ p T , n = - ( - 2,666 x 10 - 6 m 3 m o l - 1 ) 96485   C   m o l - 1

Convertendo as unidades de m3/C para V/atm:

J = V C = P a   m 3

m 3 C = V P a

Onde,

101325 P a = 1,0   a t m

Assim

∂ E ∂ p T , n = 2,666 x 10 - 6 96485   V P a 101325   P a 1,0   a t m

∂ E ∂ p T , n = 2,80 x 10 - 6   V   a t m - 1

∂ E ∂ p T , n = 2,80 x 10 - 3   m V   a t m - 1

Em comparação, você pode ver que obteve-se um valor próximo com o valor obtido com os dados.

Passo 4

C)

Vamos agora fazer um ajuste dos dados através de um polinômio de E em relação a p. pegando um polinômio de segundo grau, fazendo ajuste vamos ter que

E = 8,5592 + 2,835 x 10 - 3 p + 3,02 x 10 - 9 p 2

Calculando a derivada dessa equação:

∂ E ∂ p T = 2,835 x 10 - 3 + 6,04 x 10 - 9 p

Para p = 1 atm:

∂ E ∂ p T = 2,835 x 10 - 3   m V   a t m - 1

Para p = 1500 atm:

∂ E ∂ p T = 2,836 x 10 - 3   m V   a t m - 1

Assim, como os valores de (∂E/∂p)T,n para os valores extremos de p foram muito próximos, então podemos concluir que (∂E/∂p)T,n é constante.

Passo 5

D)

A compressibilidade isotérmica é calculada pela seguinte relação

k = 1 V ∂ ∆ r V ∂ p T

Como

∂ E ∂ p T , n = - ∆ r V v F

Derivando em ambos os lados da eq. acima em relação a p:

∂ 2 E ∂ p 2 = - 1 v F ∂ ∆ r V ∂ p

Como

∂ E ∂ p T = 2,835 x 10 - 3 + 6,04 x 10 - 9 p

Assim,

∂ 2 E ∂ p 2 = 6,04 x 10 - 9   m V   a t m - 2 = 6,04 x 10 - 12   V   a t m - 2

Logo,

- 1 v F ∂ ∆ r V ∂ p = 6,04 x 10 - 12

Assim,

k = 1 V ∂ ∆ r V ∂ p T = 6,04 x 10 - 12 v F V

k = ( 6,04 x 10 - 12   V   a t m - 2 ) ( 1 ) ( 96485   C   m o l - 1 ) ( 82,058 c m 3 a t m 8,314   J ) 1 c m 3 0,996 g 18,016 g   m o l - 1

k = 3,2 x 10 - 7 a t m - 1

Resposta

A)

∂ E ∂ p T , n = - ∆ r V v F

B)

Com os dados:

∂ E ∂ p T , n = 2,480 x 10 - 3   m V   a t m - 1

Com o valor de ΔrV:

∂ E ∂ p T = 2,836 x 10 - 3   m V   a t m - 1

C)

O coeficiente (∂E/∂p)T,n é constante.

D)

k = 3,2 x 10 - 7 a t m - 1

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