Enunciado

15 – A eq. 15.28 dá a componente z de um campo magnético à distância R de um momento magnético paralelo ao eixo dos z. Num sólido, um próton à distância R do outro pode sofrer a ação desse campo, e a medida do desdobramento assim provocado no espectro correspondente pode ser usada para estimar R. No gesso, por exemplo, o desdobramento da ressonância de H2O pode ser interpretada como fruto de um campo magnético de 0,715 mT gerado por um próton e atuando sobre o outro. Qual a separação entre os prótons na molécula de H2O?

Passo 1

Vamos começar então pegando a Eq. 15.28 do Atkins que é a seguinte

B n u c = - γ ħ μ 0 4 π R 3 1 - 3 cos 2 ⁡ θ m I             E q 1

Onde,

-ℬnuc é o campo magnético do núcleo da partícula;

-γ é uma constante conhecida como a razão giromagnética do elétron;

-ħ é a constante de Planck, h, dividido por 2π:

ħ = h 2 π

-μ0 é permeabilidade no vácuo;

μ 0 = 4 π x 10 - 7   T 2   J - 1   m 3

-R é a distância entre os prótons;

-θ é o ângulo de orientação da molécula;

-mI é o spin do elétron

Passo 2

Vamos relembrar que o produto entre a constante giromagnética, γ, e a constante de Planck, ħ, pode ser escrita como

γ ħ = g I μ N

Onde,

-gI é o fator de nuclear, cujo seu valor é 5,5857, pela tabela 15.2;

-μN é o momento magnético nuclear, μN=5,0508x10-27 J T-1;

Assim, a Eq1 pode ser escrita da seguinte forma:

B n u c = - g I μ N μ 0 4 π R 3 1 - 3 cos 2 ⁡ θ m I

Considerando que o momento magnético está paralelo ao eixo z, assim

θ = 0

O nº quântico do spin pela tabela 15.2 é:

m I = + 1 2

Assim,

B n u c = - g I μ N μ 0 4 π R 3 1 - 3 cos 2 ⁡ 0 1 2

B n u c = - g I μ N μ 0 4 π R 3 1 - 3 1 2

B n u c = g I μ N μ 0 4 π R 3

Passo 3

Vamos agora isolar R, que é o que nos interessa descobrir:

4 π R 3 B n u c = g I μ N μ 0

R 3 = g I μ N μ 0 4 π B n u c

R = g I μ N μ 0 4 π B n u c 1 3

Aplicando os valores:

R = ( 5,5857 ) ( 5,0508 x 10 - 27   J   T - 1 ) ( 4 π x 10 - 7   T 2   J - 1   m 3 ) 4 π ( 0,715 x 10 - 3   T ) 1 3

R = 158 x 10 - 12 m = 158   p m

Resposta

R = 158 x 10 - 12 m = 158   p m

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