Enunciado

23 – A função de onda de um átomo polieletrônico de camada fechada pode ser expressa como um determinante de Slater. Uma propriedade útil dos determinantes é que a troca de duas linhas ou colunas do determinante altera o seu sinal; assim, o determinante se anula quando duas linhas ou colunas são iguais. Use essa propriedade para mostrar que (A) a função de onda é antissimétrica em relação à troca de duas partículas, (B) dois elétrons não podem ocupar o mesmo orbital com o mesmo spin.

Passo 1

A)

Como foi dito, a função de onda de um átomo polieletrônico de camada fechada pode ser expressa como um determinante de Slater, este determinante de Slater é dado pela função da onda da eq. 10.32, que é:

ψ 1,2 , 3 , … , N = 1 N ! 1 2   ψ a 1 α 1 ψ a 1 β 1 ψ b 1 α 1 … ψ z 1 β 1     ψ a 2 α 2 ψ a 2 β 2 ψ b 2 α 2 … ψ z 2 β 2     ψ a 3 α 3 ψ a 3 β 3 ψ b 3 α 3 … ψ z 3 β 3   … … … … …     ψ a N α N ψ a N β N ψ b N α N … ψ z N β N

Passo 2

Também como dito no enunciado, uma propriedade associada aos determinantes, é que a troca de duas linhas ou colunas do determinante altera o seu sinal. Dessa forma, fazendo uma intercalação entre duas colunas ou duas linhas quaisquer fará com que a função de onda definida pelo determinante não será alterada, exceto pelo seu sinal.

Assim, intercalando a primeira e a segunda coluna, vamos ter que:

ψ 1,2 , 3 , … , N = - 1 N ! 1 2   ψ a 2 α 2 ψ a 2 α 2 ψ b 2 α 2 … ψ z 2 β 2     ψ a 1 α 1 ψ a 1 β 1 ψ b 1 α 1 … ψ z 1 β 1     ψ a 3 α 3 ψ a 3 β 3 ψ b 3 α 3 … ψ z 3 β 3   … … … … …     ψ a N α N ψ a N β N ψ b N α N … ψ z N β N

Assim,

ψ 1 ,   2 ,   3 , … , N = - ψ 2 ,   1 ,   3 , … , N

Isto demonstra que o determinante de Slater dado pela função de onda é antissimétrico em relação à troca de duas partículas.

Passo 3

B)

A possibilidade de que 2 elétrons ocupem o mesmo orbital com o mesmo spin pode ser explicada pegando quaisquer duas linhas idênticas do determinante de Slater, deste modo, ocorrerá que as funções do spin e orbital serão idênticas para essas duas linhas do determinante.

Sendo o seguinte determinante, com a linha 1 e a linha 2 idênticas:

ψ 1,2 , 3 , … , N = 1 N ! 1 2   ψ a 1 α 1 ψ a 1 α 1 ψ b 1 α 1 … ψ z 1 β 1     ψ a 2 α 2 ψ a 2 α 2 ψ b 2 α 2 … ψ z 2 β 2     ψ a 3 α 3 ψ a 3 α 3 ψ b 3 α 3 … ψ z 3 β 3   … … … … …     ψ a N α N ψ a N α N ψ b N α N … ψ z N β N

Assim,

ψ 1 ,   2 ,   3 , … , N = - ψ 2 ,   1 ,   3 , … , N = - ψ 1 ,   2 ,   3 , … , N

Com isso, somente uma função nula satisfaz uma relação isto é o negativo da própria função, então podemos concluir que, desde que a função nula seja inconsistente com a existência, o determinante de Slater satisfaz o princípio de exclusão de Pauli.

Portanto, dois elétrons não podem ocupar o mesmo orbital com o mesmo spin.

Resposta

A)

ψ 1 ,   2 ,   3 , … , N = - ψ 2 ,   1 ,   3 , … , N

B)

ψ 1 ,   2 ,   3 , … , N = - ψ 2 ,   1 ,   3 , … , N = - ψ 1 ,   2 ,   3 , … , N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre, por integração, que os orbitais hidrogenóides (a) 1s e 2s, e (b) 2px e 2py, são mutuamente ortogonais.
O “tamanho” de um átomo é considerado, às vezes, como o raio de uma esfera que contém 90% da densidade de carga dos elétrons que ocupam o orbital mais externo. Calcule o “tamanho” do átomo de hidrogên
Determine se os orbitais px e py, são autofunções de Iz. Se não forem, haverá combinação linear que seja autofunção de Iz?
Tome como função de onda hipotética do estado fundamental do átomo de hidrogênio (a) e k r e (b) e - k r 3 , com o princípio variacional, estime o valor ótimo de k em cada caso. Identifique a melhor f
Calcule a correção de segunda ordem para a energia do sistema descrito no Problema 9.6 e calcule a função de onda do estado fundamental. Explique a forma da distorção causada pela perturbação. Sugestã