Enunciado

1 – Mostre que, se uma onda cos(kx) estiver centrada em A (de modo que x é medido a partir de A) e outra onda cos(k’x) estiver centrada em B (com x medido a partir de B) a uma distância R de A, haverá interferência construtiva na região intermediaria quando k = k’ = π/2R e destrutiva se kR = 0,5π e k’R = 1,5π.

Passo 1

Vamos definir as funções de onda, tal como foi descrito no enunciado.

A função de onda de x medida a partir de A é:

ψ A = cos ⁡ k x

A função de onda de x medida a partir de B, estando a uma distância R de A é:

ψ B = cos ⁡ k ' x - R

Passo 2

A função de onda será dada pela soma das duas funções de onda mostradas anteriormente:

A função de onda de x medida a partir de A é:

ψ = ψ A + ψ B

ψ = cos ⁡ k x + cos ⁡ k ' x - R

Pela propriedade trigonométrica:

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n a s e n b

Assim,

cos ⁡ k ' x - R = cos ⁡ k ' x cos ⁡ k ' R + sen ⁡ k ' x sen ⁡ k ' R

Logo,

ψ = cos ⁡ k x + cos ⁡ k ' x cos ⁡ k ' R + sen ⁡ k ' x sen ⁡ k ' R

Passo 3

Sendo

k = k ' = π 2 R

Teremos que:

cos ⁡ k ' R = cos ⁡ π 2 = 0

sen ⁡ k ' R = s e n π 2 = 1

Assim,

ψ = cos ⁡ π 2 R x + sen ⁡ π 2 R x

Para o ponto médio de x = (1/2)R:

ψ 1 2 R = cos ⁡ π 4 + sen ⁡ π 4 = 2 0,5 2 + 2 0,5 2

ψ 1 2 R = 2 0,5

Passo 4

Existe ocorrência de interferência construtiva quando a função de onda ψ é maior que as outras funções de onda ψA e ψB

Calculando ψA e ψB:

ψ A = cos ⁡ k x = cos ⁡ π 4 = 2 0,5 2

ψ B = cos ⁡ k ' x - R = cos ⁡ k ' x cos ⁡ k ' R + sen ⁡ k ' x sen ⁡ k ' R

ψ B = sen ⁡ π 2 R x = sen ⁡ π 4 = 2 0,5 2

Assim, você pode ver que:

ψ > ψ A ;   ψ > ψ B

Logo, há interferência construtiva quando k = k’ = π/2R, na região intermediaria x = (1/2) R.

Passo 5

Vamos demonstrar que ocorre interferência destrutiva se kR = 0,5π e k’R = 1,5π.

Pegando a eq. da função de onda:

ψ = cos ⁡ k x + cos ⁡ k ' x cos ⁡ k ' R + sen ⁡ k ' x sen ⁡ k ' R

Sendo

k = π 2 R

k ' = 3 π 2 R

Teremos que:

cos ⁡ k ' R = cos ⁡ 3 π 2 = 0

sen ⁡ k ' R = s e n 3 π 2 = - 1

Assim,

ψ = cos ⁡ π 2 R x - sen ⁡ 3 π 2 R x

Para o ponto intermediário de x = (1/2)R:

ψ 1 2 R = cos ⁡ π 4 + sen ⁡ 3 π 4 = 2 0,5 2 - 2 0,5 2 = 0

ψ 1 2 R = 0

Passo 6

Existe ocorrência de interferência destrutiva quando a função de onda ψ é menor que as outras funções de onda ψA e ψB

Calculando ψA e ψB:

ψ A = cos ⁡ k x = cos ⁡ π 4 = 2 0,5 2

ψ B = cos ⁡ k ' x - R = cos ⁡ k ' x cos ⁡ k ' R + sen ⁡ k ' x sen ⁡ k ' R

ψ B = sen ⁡ 3 π 2 R x = sen ⁡ 3 π 4 = 2 0,5 2

Assim, você pode ver que:

ψ < ψ A ;   ψ < ψ B

Logo, há interferência destrutiva quando kR = 0,5π e k’R = 1,5π, na região intermediaria x = (1/2)R.

Resposta

Interferência construtiva:

ψ > ψ A ;   ψ > ψ B

Interferência destrutiva:

ψ < ψ A ;   ψ < ψ B

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