Enunciado

23 – Use um software matemático para construir a superposição de funções cosseno e mostre que a função de onda fica mias localizada à medida que aumenta o nº de componentes. Determine a probabilidade de ser observado um certo momento linear. Para fazer o gráfico da superposição, localize x = 0 no centro da tela e calcule a superposição nessa região. Calcule a localização média quadrática do pacote de onda, isto é, de 0,5.

Passo 1

As superposições das funções cosseno da forma cos(nx) pode ser escolhida com valores de n iguais a um nº inteiro indo de 1 até m. Por conveniência, x pode ser examinado na faixa entre –π/2 e π/2. A constante de normalização para cada função é determinada pela integração da função quadrática na faixa de valores de x.

Vamos utilizar aqui neste exercício o Mathcad para resolvermos os cálculos.

Passo 2

Resolvendo pelo Mathcad nós vamos achar que:

∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ n x d x = 1 2 2 cos ⁡ 0,5 n π s e n 0,5 n π + n π n

Analisando o resultado obtido, quando n é um nº inteiro par, a função sen(0,5nπ) será igual a zero para todo n inteiro e par. Da mesma forma, quando n é nº inteiro e ímpar, a função cos(0,5nπ) será igual a zero para todo n inteiro e ímpar. Consequentemente, quando n é um nº inteiro, a integral anterior será igual

∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ n x d x = 1 2 n π n = π 2

Logo, a cte de normalização será:

N 2 π 2 = 1

N = 2 π 0,5

Assim, a função normalizada é

ϕ n , x = 2 π 0,5 cos ⁡ n x

Passo 3

Considerando que a função cosseno seja ortogonal, assim o pacote de funções de onda, ψ (m, x), terá uma constante de normalização de

N = 1 m 0,5

Assim,

ψ m , x = 1 m 0,5 ∑ n = 1 m ϕ n , x

Plotando o pacote de ondas pelo Mathcad:

Passo 4

Vamos analisar o gráfico anterior :

Quando a superposição tem poucos termos, a posição da partícula é mal definida. Existe uma grande incerteza no conhecimento da posição da partícula. No entanto, quando muitos termos são adicionados para a superposição, a incerteza se estreita para uma pequena região próxima de x = 0. Para valores de m maiores do que 10 pode confirmar esta conclusão.

Cada função na superposição tem sido assimilada em igual peso para a constante de normalização (1/m)0,5. Isto significa que cada função cosseno na superposição tem uma probabilidade de contribuição idêntica no valor esperado para o momento. Cada função cosseno contribui com uma probabilidade igual a 1/m.

Além disso, cada função cosseno representa um momento da partícula que é proporcional ao argumento n porque o componente diferencial do quadrado do operador momento é proporcional a n.

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

13. No Exemplo 41.3 (Seção 41.1 ), complete os detalhes omitidos para mostrar que P = 1 - 5 e 2 .
10. Para o átomo de hidrogênio comum, a massa reduzida do sistema elétron e próton é m t = 0,99946 m , onde m é a massa do elétron (Seção 38.5 ). Em cada um dos casos seguintes determine o coeficiente
4. Considere estados com número quântico do momento angular l = 2 . a ) Qual é o maior valor possível de L em unidades de ℏ ? b ) Qual dos dois possui valor maior, L ou o maior valor possível de L z ?
8. a ) Qual é a probabilidade de que um elétron seja encontrado no estado 1 s do átomo de hidrogênio a uma distância menor do que a / 2 do núcleo? b ) Use os resultados do item ( a ) e o Exemplo 41.3