Enunciado

39 – Mencionamos no Impacto 19.2 que a partícula no interior de uma esfera é um ponto de partida razoável para a discussão das propriedades eletrônicas de nanopartículas metálicas esféricas. Justificamos aqui a eq. 9.54, que mostra que a energia de um elétron no interior de uma esfera é quantizada.

A) O hamiltoniano da partícula livre para se mover no interior de uma esfera de raio R é

H = - ħ 2 m ∇ 2

Mostre que a eq. de Schrödinger é separável nas componentes radial e angular. Ou seja, comece escrevendo

ψ r , θ , ϕ = X r Y θ , ϕ

Onde X(r) depende apenas da distância da partícula ao centro da esfera, e Y(θ, φ) é um harmônico esférico. Mostre, então, que a eq. de Schrödinger pode ser separada em duas eq’s, uma para X, a eq. radial, e outra para Y, a eq. angular:

- ħ 2 2 m d 2 X r d r 2 + 2 r d X r d r + l l + 1 ħ 2 2 m r 2 X r = E X r

Λ 2 Y = - l ( l + 1 ) Y

Você pode consultar a Informação adicional 10.1 para uma ajuda a mais.

B) Considere o caso l = 0. Mostre, derivando, que a solução da eq. radial tem a forma

X r = 2 π R - 0,5 s e n n π r R r

C) Mostre agora que os níveis de energia permitidos são dados por

E n = n 2 h 2 8 m R 2

Esse resultado para a energia também se aplica quando l diferente de zero.

Passo 1

A)

Vamos começar pegando a eq. de Schrödinger para uma esfera, pela eq. 9.51a:

- ħ 2 2 m ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 Λ 2 ψ = E ψ

- ħ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ r 2 + 2 r ∂ ψ ∂ r + 1 r 2 Λ 2 ψ = E ψ

Onde, Λ2 é a função legendriano (Função de Legendre) que é definido por:

Λ 2 = 1 s e n 2 θ   ∂ 2 ∂ ϕ 2 + 1 s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ ∂ ∂ θ

Sendo

ψ r , θ , ϕ = X r Y θ , ϕ

Substituindo

- ħ 2 2 m ∂ 2 X Y ∂ r 2 + 2 r ∂ X Y ∂ r + 1 r 2 Λ 2 X Y = E X Y

Como X é função da variável radial r e Y é função das variáveis angulares θ e φ, assim

- ħ 2 2 m Y ∂ 2 X ∂ r 2 + 2 Y r ∂ X ∂ r + X r 2 Λ 2 Y = E X Y

Passo 2

Pegando a eq. de Schrödinger da forma como mostrada na eq. anterior e dividindo por XY:

- ħ 2 2 m 1 X ∂ 2 X ∂ r 2 + 2 X r ∂ X ∂ r + 1 Y r 2 Λ 2 Y = E

Agora vamos multiplicar em ambos os lados por r2

- ħ 2 2 m r 2 X ∂ 2 X ∂ r 2 + 2 r X ∂ X ∂ r + 1 Y Λ 2 Y = E r 2

Colocando todos os termos associados aos ângulos, onde tem Y, no lado direito da eq., e os associados a variável radial r no lado esquerdo da eq.:

- ħ 2 2 m r 2 X ∂ 2 X ∂ r 2 + 2 r X ∂ X ∂ r - E r 2 = ħ 2 2 m Y Λ 2 Y

Passo 3

A única forma da eq. acima ser válida é para os dois termos dos dois lados da eq. anterior serem iguais a uma constante. Podemos usar a seguinte constante para igualar os termos dos dois lados da eq.

C t e = - ħ 2 l ( l + 1 ) 2 m

Assim,

- ħ 2 2 m r 2 X ∂ 2 X ∂ r 2 + 2 r X ∂ X ∂ r - E r 2 = ħ 2 2 m Y Λ 2 Y = - ħ 2 l ( l + 1 ) 2 m

Assim, para o termo do lado direito:

ħ 2 2 m Y Λ 2 Y = - ħ 2 l ( l + 1 ) 2 m

Resolvendo, vamos ter que:

Λ 2 Y = - l ( l + 1 ) Y

Passo 4

Para o outro termo, do lado esquerdo:

- ħ 2 2 m r 2 X ∂ 2 X ∂ r 2 + 2 r X ∂ X ∂ r - E r 2 = - ħ 2 l ( l + 1 ) 2 m

Multiplicando em ambos os lados da eq. acima por X/r2:

- ħ 2 2 m ∂ 2 X ∂ r 2 + 2 r ∂ X ∂ r - E X = - ħ 2 l ( l + 1 ) X 2 m r 2

Assim,

- ħ 2 2 m d 2 X r d r 2 + 2 r d X r d r + l l + 1 ħ 2 m r 2 X r = E X r

Veja que conseguimos chegar nas expressões mostradas no enunciado, logo, a consideração de que a função de onda pode ser escrita como um produto de X e Y é válida, com base no que foi feito.

Vamos relembrar que para uma equação diferencial ser separável, a eq. diferencial precisa ser escrita em termos duas funções na qual pode ser escrita como o produto destas duas funções, portanto, a eq. de Schrödinger é separável.

Passo 5

B)

A eq. para a parte radial com l = 0, será:

- ħ 2 2 m d 2 X d r 2 + 2 r d X d r = E X

Rearranjando

d 2 X d r 2 + 2 r d X d r = - 2 m E X ħ 2

Para provarmos que a solução proposta para X é realmente uma solução para a eq. radial, vamos derivar a função dada. Sendo,

X = 2 π R - 0,5 s e n n π r R r

Derivando:

d X d r = 2 π R - 0,5 d d r s e n n π r R r

d d r s e n n π r R r = c o s n π r R r n π R - s e n n π r R r 2

d X d r = 2 π R - 0,5 c o s n π r R r n π R - s e n n π r R r 2

Agora a segunda derivada:

d 2 X d r 2 = d d r d X d r = 2 π R - 0,5 d d r c o s n π r R r n π R - s e n n π r R r 2

d d r c o s n π r R r n π R - s e n n π r R r 2 = - s e n n π r R r n π R 2 - 2 c o s n π r R r 2 n π R + 2 s e n n π r R r 3

d 2 X d r 2 = 2 π R - 0,5 - s e n n π r R r n π R 2 - 2 c o s n π r R r 2 n π R + 2 s e n n π r R r 3

Passo 6

Substituindo as derivadas na eq. radial

d 2 X d r 2 + 2 r d X d r = - 2 m E X ħ 2

d 2 X d r 2 + 2 r d X d r = 2 π R - 0,5 - s e n n π r R r n π R 2 - 2 c o s n π r R r 2 n π R + 2 s e n n π r R r 3 + 2 r 2 π R - 0,5 c o s n π r R r n π R - s e n n π r R r 2

Resolvendo

d 2 X d r 2 + 2 r d X d r = - 2 π R - 0,5 s e n n π r R r n π R 2

Sendo,

X = 2 π R - 0,5 s e n n π r R r

Assim,

d 2 X d r 2 + 2 r d X d r = - n π R 2 X

Assim,

- n π R 2 X = - 2 m E X ħ 2

n π R 2 = 2 m E ħ 2

E = ħ 2 2 m n π R 2

Logo, X é de fato uma solução para a eq. de Schrödinger na parte radial.

Passo 7

C)

Como já foi feito e mostrado no item anterior:

E = ħ 2 2 m n π R 2

Sendo ħ a cte de Planck, h, dividido por 2π, assim:

ħ 2 = h 2 4 π 2

Logo,

E = h 2 8 m π 2 n π R 2

E = h 2 n 2 π 2 8 m π 2 R 2 = h 2 n 2 8 m R 2

Portanto,

E n = n 2 h 2 8 m R 2

Resposta

A)

- ħ 2 2 m d 2 X r d r 2 + 2 r d X r d r + l l + 1 ħ 2 m r 2 X r = E X r

B)

X = 2 π R - 0,5 s e n n π r R r

C)

E n = n 2 h 2 8 m R 2

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