Enunciado

86. Um cientista está estudando uma amostra de 1,00   m o l de H e ( g ) em um recipiente grande em 200   K . Calcule com que fator as seguintes variáveis mudariam a pressão do gás e sua raiz quadrada das velocidades quadráticas médias: (a) O gás foi comprimido a um terço do volume original. (b) A temperatura foi reduzida para 100   K (c) O hélio foi substituído pela mesma quantidade de xenônio.

Passo 1

a) Bom! Para esse primeiro caso temos que o gás foi comprimido a um terço do volume original, e a temperatura supostamente é mantida constante. Pela relação fundamental ods gases, temos então que:

P 1 V 1 = P 2 V 2

P 1 V 1 = P 2 V 1 3

P 2 = 3 P 1

Ou seja, a pressão final no recipiente é o triplo da pressão inicial, quando o gás foi comprimido.

Em seguida vamos determinar a relação para a velocidade quadrática média molecular, sabendo que ela é dada através da seguinte fórmula:

v r m s = 3 R T M H e 1 2 = 3 R T M H e

v r m s = 3 ( 8,314   J ⋅ m o l - 1 ⋅ K - 1 ) ( 200   K ) 4 ⋅ 10 - 3   k g ⋅ m o l - 1

v r m s = 1116,74   m / s

Epaaa! Essa fórmula depende apenas da temperatura T , da massa molar M e da constante R ; que pra nossa felicidade são constantes tanto para o estado final quanto o inicial. Logo, a velocidade quadrática média molecular não foi alterada.

Passo 2

b) Humm! Para esse primeiro caso temos que a temperatura foi reduzida para 100   K , e o volume supostamente é mantido constante. Pela relação fundamental dos gases, temos então que:

P 1 T 1 = P 2 T 2

P 1 P 2 = T 1 T 2

P 1 P 2 = 200   K 100   K

P 1 P 2 = 2

Ou seja, a pressão final no recipiente é a metade da pressão inicial, quando a temperatura foi reduzida de 200   K para 100   K .

E com isso vamos determinar a relação para a velocidade quadrática média molecular, sabendo que ela é dada através da seguinte fórmula:

v r m s = 3 R T M 1 2 = 3 R T M

Epaaa! Essa fórmula depende apenas da temperatura T , da massa molar M e da constante R . Logo, como T se altera, a velocidade quadrática média molecular também vai ser alterada. Calculemos essa relação:

v r m s , a n t e s v r m s ,   d e p o i s = 3 R T 1 M H e 3 R T 2 M H e

v r m s , a n t e s v r m s ,   d e p o i s = T 1 T 2

v r m s , a n t e s v r m s ,   d e p o i s = 200   K 100   K

v r m s , a n t e s v r m s ,   d e p o i s = 2

v r m s ,   d e p o i s v r m s , a n t e s = 2 2

Essa razão é o quanto a alteração da temperatura irá mudar a raiz quadrada da velocidade quadrática média molecular:

Passo 3

c) Para esse terceiro caso temos que 1   m o l de H e foi substituído por 1   m o l de X e , estando em um recipiente a mesma temperatura e volume. Usemos então a seguinte proporção:

P H e V P X e V = n R T n R T

P H e = P X e

Ou seja, a pressão para o hélio e para o xenônio é a mesma.

Agora vamos determinar a relação para a velocidade quadrática média molecular, que é dada através da seguinte fórmula:

v r m s = 3 R T M 1 2 = 3 R T M

Epaaa! Essa fórmula depende apenas da temperatura T , da massa molar M e da constante R . Logo, como M se altera, a velocidade quadrática média molecular também vai ser alterada. Calculemos essa relação:

v r m s , H e v r m s ,   X e = 3 R T M H e 3 R T M X e

v r m s , H e v r m s ,   X e = M X e M H e

v r m s , H e v r m s ,   X e = 131,293   g ⋅ m o l - 1 4,0026   g ⋅ m o l - 1

v r m s , H e v r m s ,   X e = 5,73

Ou seja, se o nosso elemento fosse o xenônio, este teria uma velocidade quadrática média igual a 5 vezes a velocidade correspondente do hélio.

Resposta

a) A pressão final no recipiente é a metade da pressão inicial, quando a temperatura foi reduzida e a velocidade quatrática não irá se alterar.

b) A pressão final no recipiente é a metade da pressão inicial, quando a temperatura foi reduzida de 200   K para 100   K e a velocidade quatrática irá ser 2 / 2 vezes a velocidade quadrática inicial antes da redução de temperatura.

c) A pressão para o hélio e para o xenônio é a mesma. Se o nosso elemento fosse o xenônio, este teria uma velocidade quadrática média igual a 5 vezes a velocidade correspondente do hélio.

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