Enunciado

È conveniente utilizas as funções de onda “normalizadas”, isto é, em que a integral ∫ ψ 2 d τ = 1 . O orbital ligante da Eq. 1 não está normalizado. Uma função de onda ψ pode ser normalizada escrevendo-a como N ψ é igual a 1. Encontre o fator N que normaliza o orbital ligante da Eq. 1, sabendo que os orbitais atômicos nela utilizados estão normalizados. Expresse sua resposta em termos da “integral de recobrimento” S = ∫ ψ A 1 ψ B 1 d τ . (A notação é a mesma usada no Exercício 3.47)

Passo 1

Dada a equação do orbital ligante:

ψ = ψ A 1 + ψ B 1

E a integral de recobrimento:

S = ∫ ψ A 1 ψ B 1 d τ

Em que a integração ocorre em todo espaço, podemos fazer o produto da função de onda do orbital ligante por ela mesma (produto interno), multiplicada pelo fator que normaliza essa função, integrá-la em todo espaço, e então, podemos escrever a seguinte igualdade:

∫ N ψ 2 d τ = 1

Com as equações anteriores é possível determinar N.

Passo 2

Substituímos ψ e colocamos o fator N para fora, pois trata-se de uma constante:

N 2 ∫ ψ A 1 + ψ B 1 ψ A 1 + ψ B 1 d τ = 1

E resolvemos o produto:

N 2 ∫ ψ A 1 2 + 2 ψ A 1 ψ B 1 + ψ B 1 2 d τ = 1

Como a integral da soma é a soma das integrais:

N 2 ∫ ψ A 1 2 d τ + 2 ∫ ψ A 1 ψ B 1 d τ + ∫ ψ B 1 2 d τ = 1

Passo 3

Sabemos que cada função de onda dos orbitais atômicos são normalizadas, portanto:

∫ ψ A 1 2 d τ = 1

E

∫ ψ B 1 2 d τ = 1

Além disso, a integral do meio é a integral de recobrimento S dada no enunciado, nossa equação se torna:

N 2 1 + 2 S + 1 = 1

O fator de normalização será:

N = 1 2 + 2 S

Resposta

N = 1 2 + 2 S

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