Enunciado

A distribuição de Planck dá a energia em função do intervalo de comprimento de onda d λ , nas vizinhanças do comprimento de onda λ . Calcule a densidade de energia no intervalo que vai de 650   n m a 655 n m no interior de uma cavidade, cujo volume é de 100 c m 3 , quando a temperatura é a 25 ℃ e b 3000 ℃ .

Passo 1

Fala jovenzito, tudo na paz?

Eu sei... esse enunciado é longo. E basicamente ele quer saber a densidade de energia numa cavidade. E sabemos (pelo livro) que a cavidade ideal de um corpo negro, seguindo a distribuição do nosso amigo Planck pode ser dada por:

ρ = 8 π h c λ 5 1 e h c / λ k T - 1

O comprimento de onda médio, pode ser dado por:

λ = 655 + 650 2 = 652,5   n m

Pegando a fórmula da densidade, vemos que possui muitos termos. Então, vamos resolver os termos complexos separadamente e depois conseguimos calcular que:

∆ E = ρ ∆ λ

Bora lá?

Começando com o termo que está no exponencial:

e h c / λ k

Teremos :

h c λ k

Considerando h   e   c   tabelados, teremos:

h c λ k = 6,626.10 - 34 J s . ( 2,998.10 8 m s - 1 ) ( 6,525.10 - 7 m ) ( 1,381.10 - 23 J K - 1 ) = 2,205.10 4 K  

Agora o próximo termo é:

8 π h c λ 5 = ( 8 π ) ( 6,626.10 - 34 J s ) ( 2,998.10 8 m s - 1 ) 652,5.10 - 9 m 5 = 4,221.10 7 J m - 4

Com isso, podemos definir que a fórmula de densidade é:

ρ = 4,221.10 7 J m - 4 1 e ( 2,205.10 4 K ) / T - 1

E a fórmula de energia será:

∆ E = 4,221.10 7 J m - 4 1 e ( 2,205.10 4 K ) / T - 1 ∆ λ

Agora, podemos alterar a temperatura e ver o que acontece. Bora lá?

Passo 2

Primeiro para 25 ℃ .

Lembrando, temos que converter para Kelvin:

25 + 273 = 298 K

E se ∆ λ = 655 - 650 = 5 n m . Aplicando na fórmula teremos:

∆ E = 4,221.10 7 J m - 4 1 e ( 2,205.10 4 K ) / 298 K - 1 5 n m

∆ E = 1,6.10 - 33 J m - 3

Agora, vamos para o próximo!!!

Passo 3

Calculando para 3000 ℃ .

Lembrando, temos que converter para Kelvin:

3000 + 273 = 3273 K

E se ∆ λ = 655 - 650 = 5 n m . Aplicando na fórmula teremos:

∆ E = 4,221.10 7 J m - 4 1 e ( 2,205.10 4 K ) / 3273 K - 1 5 n m

∆ E = 2,5.10 - 4 J m - 3

Terminamos!!

Resposta

∆ E = 1,6.10 - 33 J m - 3

∆ E = 2,5.10 - 4 J m - 3

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