Enunciado

Os níveis de energia de uma partícula de massa m em uma caixa quadrada de duas dimensões de lado L são dados por E = n 1 2 +   n 2 2   h 8 m L 2 Existe algum nível degenerado? Se existir, encontre os valores dos números quânticos n1 e n2 dos três primeiros casos para os quais essas degenerescências ocorre.

Passo 1

Os níveis de energia de uma partícula é um estado quântico cuja a energia está bem definida ao longo do tempo, os três primeiros são n= 1, n=2 e n=3. Eles serão degenerados quando tiverem o mesmo valor de A para B e de B para A, ou seja, o primeiro nivel só é degenerado se ele tiver a mesma energia quando passa para o segundo e mesma energia quando ele passa do segundo para o primeiro.

Passo 2

Agora qua já sabemos quais níveis vamos usar e o que é degenerado podemos substituir na equação que é dada no enunciado.

E = n 1 2 +   n 2 2   h 8 m L 2

- Com n1=1 e n2=2

E = 1 2 +   2 2   h 8 m L 2

E = 1 2 +   2 2   h 8 m L 2

E = 5   h 8 m L 2

- Com n1=2 e n2=1

E = 2 2 +   1 2   h 8 m L 2

E = 2 2 +   1 2   h 8 m L 2

E = 5   h 8 m L 2

Passo 3

Substituindo os dois primeiros níveis podemos perceber que que eles possuem a mesma energia, portanto são degenerados. Isso vai acontecer em todos os três primeiros níveis que nos foi dado nessa questão.

Isso vai acontecer porque o que varia na equação são os valores de n, todavia por ser a soma de quadrados a ordem dos fatores não interfere no resultado, por isso sempre que fizermos do nivel A para o B e do B para o A teremos o mesmo resultado.

Resposta

Todos os três primeiros níveis são degenerados:

n1=1 e n2=2 degenerados com n1=2 e n2=1

n1=1 e n2=3 degenerados com n1=3 e n2=1

n1=2 e n2=3 degenerados com n1=2 e n2=3

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