Enunciado

7 – Uma partícula num estado descrito pela função de onda

ψ x = 2 a π 0,25 e - a x 2

Onde, a é uma constante e

- ∞ ≤ x ≤ ∞

Verifique se o valor do produto ΔpΔq é consistente com o que é previsto pelo princípio da incerteza.

Passo 1

De acordo com o princípio da incerteza:

∆ p ∆ q ≥ 1 2 h

Onde, Δq e Δp são os desvios médios da raiz quadrática:

∆ q = x 2 - x 2 0,5

∆ p = p 2 - p 2 0,5

Passo 2

Para verificarmos se a relação mostrada para o princípio da incerteza é válida para a partícula que tem função de onda dada por

ψ x = 2 a π 0,25 e - a x 2

Vamos precisar das médias dos parâmetros de mecânica quântica

Calculando a média de x, que é dado por:

x = ∫ ψ * x ψ d x

Aplicando os intervalos e substituindo a função de onda:

x = ∫ - ∞ ∞ 2 a π 0,25 e - a x 2 x 2 a π 0,25 e - a x 2 d x

x = 2 a π 0,5 ∫ - ∞ ∞ x e - 2 a x 2 d x

Resolvendo a integral

∫ - ∞ ∞ x e - 2 a x 2 d x

Utilizando um software matemático, tal como o Wolfram Alpha, temos que

∫ - ∞ ∞ x e - 2 a x 2 d x = 0

Assim,

x = 0

Passo 3

Calculando a média de x2:

Analogamente,

x 2 = ∫ ψ * x 2 ψ d x

Aplicando os intervalos e substituindo a função de onda:

x 2 = ∫ - ∞ ∞ 2 a π 0,25 e - a x 2 x 2 2 a π 0,25 e - a x 2 d x

x 2 = 2 a π 0,5 ∫ - ∞ ∞ x 2 e - 2 a x 2 d x

Resolvendo a integral

∫ - ∞ ∞ x 2 e - 2 a x 2 d x

Utilizando um software matemático, tal como o Wolfram Alpha, temos que

∫ - ∞ ∞ x 2 e - 2 a x 2 d x = π 0,5 2 2 a 1,5

Assim,

x 2 = 2 a π 0,5 π 0,5 2 2 a 1,5

x 2 = 1 4 a

Passo 4

Pegando a expressão para Δq:

∆ q = x 2 - x 2 0,5

Assim,

∆ q = 1 4 a - 0 0,5

∆ q = 1 4 a 0,5 = 1 2 a 0,5

Passo 5

Vamos agora determinar a média dos momentos lineares.

A média do momento linear é dado por:

p = ∫ ψ * p ψ d x

Onde,

p ψ = ħ i d ψ d x

Assim,

p = ∫ ψ * ħ i d ψ d x d x

Aplicando os intervalos

p = ∫ - ∞ ∞ ψ * ħ i d ψ d x d x

Passo 6

Vamos precisar avaliar a derivada da função de onda em relação a x:

d ψ d x = d d x 2 a π 0,25 e - a x 2

d ψ d x = - 2 a x 2 a π 0,25 e - a x 2

Substituindo

p = ħ i ∫ - ∞ ∞ 2 a π 0,25 e - a x 2 - 2 a x 2 a π 0,25 e - a x 2 d x

p = - 2 ħ i 2 a π 0,5 ∫ - ∞ ∞ x e - 2 a x 2 d x

Como já foi visto que

∫ - ∞ ∞ x e - 2 a x 2 d x = 0

Assim,

p = 0

Passo 7

Para a média quadrática do momento linear:

Analogamente,

p 2 = ∫ ψ * p 2 ψ d x

Onde,

p 2 ψ = ħ 2 i 2 d 2 ψ d x 2

Na qual

i 2 = - 1

Logo,

p 2 ψ = - ħ 2 d 2 ψ d x 2

Substituindo,

p 2 = ∫ ψ * - ħ 2 d 2 ψ d x 2 d x

Aplicando os intervalos

p 2 = ∫ - ∞ ∞ ψ * - ħ 2 d 2 ψ d x 2 d x

Passo 8

Vamos precisar avaliar a derivada segunda da função de onda em relação a x:

d 2 ψ d x 2 = d d x d ψ d x

Onde, como já vimos

d ψ d x = - 2 a x 2 a π 0,25 e - a x 2

Assim,

d 2 ψ d x 2 = d d x - 2 a x 2 a π 0,25 e - a x 2

d 2 ψ d x 2 = ( 4 a 2 x 2 - 2 a ) 2 a π 0,25 e - a x 2

Passo 9

Substituindo:

p 2 = - ħ 2 ∫ - ∞ ∞ 2 a π 0,25 e - a x 2 ( 4 a 2 x 2 - 2 a ) 2 a π 0,25 e - a x 2 d x

p 2 = - 2 a ħ 2 2 a π 0,5 ∫ - ∞ ∞ ( 2 a x 2 - 1 ) e - 2 a x 2 d x

Resolvendo a integral pelo Wolfram Alpha:

∫ - ∞ ∞ ( 2 a x 2 - 1 ) e - 2 a x 2 d x = 2 a π 0,5 2 2 a 1,5 - π 0,5 2 a 0 , 5

Assim,

p 2 = - 2 a ħ 2 2 a π 0,5 2 a π 0,5 2 2 a 1,5 - π 0,5 2 a 0,5

Simplificando a eq. acima, vamos chegar que:

p 2 = a ħ 2

Passo 10

Como sabemos para o momento linear temos que

∆ p = p 2 - p 2 0,5

Assim,

∆ p = a ħ 2 - 0 0,5 = a ħ 2 0,5

∆ p = a 0,5 ħ

Passo 11

Finalmente, para fechar a resolução vamos verificar o produto ΔpΔq

Δ p Δ q = a 0,5 ħ 1 2 a 0,5

Δ p Δ q = ħ 2

Que é exatamente o mínimo valor para o produto de ΔpΔq consistente com o princípio da incerteza.

Resposta

Δ p Δ q = ħ 2

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