Enunciado

Trate o sistema π de uma molécula de corante composta por N átomos de C em uma cadeia conjugada, como se fosse uma caixa de comprimento NR, em que R é a distância média da ligação C – C. Sabendo que cada átomo contribui com um elétron e que cada estado da caixa pode acomodar dois elétrons, derive uma expressão para o comprimento de onda da luz absorvida pela transição de mais baixa energia. Seria necessário aumentar o número de átomos de carbono da cadeia ou seria necessário diminuir a cadeia para deslocar o comprimento de onda para valores mais altos? Veja a técnica Principal 2, que vem logo depois destes exercícios.

Passo 1

Bom, sabemos que quando a radiação eletromagnética incide em uma molécula, ocorre a excitação do elétron para um estado de maior energia, aumentando a energia da molécula em ∆ E .

Sabendo que a energia de um elétron no enésimo estado quântico de uma caixa unidimensional é dada por:

E   =   n 2 h 2 8 m L 2

onde h é a constante de Planck, m é a massa do elétron e L é o comprimento da caixa.

A transição do estado de energia mais baixo para esse sistema se dá do estado quântico mais alto ocupado, que identificamos com o número quântico n H O , para o próximo estado mais alto ou o estado quântico mais baixo desocupado, n L u ,.

Como cada estado quântico pode conter 2 elétrons e cada átomo de carbono contribui com um elétron:

n H O = N 2

E

n L u = N 2 + 1

Além disso, já sabemos que o comprimento da caixa pode ser dado por:

L   =   N R

Onde R é o comprimento médio da ligação C - C. Portanto, a menor transição de energia é dada por:

∆ E = E L u - E H O

Substituímos E:

∆ E = n L u 2 h 2 8 m L 2 - n H O 2 h 2 8 m L 2

Agora substituímos o L:

∆ E = n L u 2 h 2 8 m N 2 R 2 - n H O 2 h 2 8 m N 2 R 2

Isolamos o termo em comum:

∆ E = h 2 8 m N 2 R 2 ( n L u 2 - n H O 2 )

Calma que estamos acabandoo!

Vamos só substituir n:

∆ E = h 2 8 m N 2 R 2 N 2 + 1 2 - N 2 2

Resolvendo:

∆ E = h 2 8 m N 2 R 2 N ² 4 + N + 1 - N ² 4

∆ E = h 2 8 m N 2 R 2 × ( N + 1 )

Agora, precisamos lembrar que quanto maior o comprimento de onda menor a energia. Se a energia é menor, a variação entre elas será maior.

Concluindo, para uma variação de energia maior precisamos de mais átomo de carbono, N.

Certinho?

Resposta

Aumentar a cadeia carbônica!

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