Exercícios Resolvidos de Regimes da Força de Arraste: Fluxo Turbulento e Fluxo Viscoso.

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Enunciado

Mostre que a equação: d v d t + b m v   =   g

É satisfeita para os pontos v 0 = 0 e t → ∞ .

Passo 1

Primeiro vamos escolher um dos pontos, vamos começar pelo ponto v 0 = 0 .

Nesse ponto, a solução tem essa cara aqui:

v = m g b ( 1 - e - b m t )

Po, se a gente já tem a solução é só jogar lá e tá tudo beleza né? Não, muita calma nessa hora.

Nós já conhecemos quase todos os termos, o problema é o d v / d t . Não sabemos quem esse termo é, por isso precisamos derivar a velocidade para o tempo, ok?

Derivando os dois lados em função do tempo, temos:

d v d t = d d t m g b ( 1 - e - b m t )

Pra facilitar a nossa vida, podemos colocar o que é constante para fora.

d v d t = m g b d d t ( 1 - e - b m t )

Derivando, a gente tem que a derivada da constante é 0, e sobra.

d d t - e - b m t =   b m e - b m t

Substituindo:

d v d t = m g b b m e - b m t = g e - b m t

Passo 2

Beleza, agora que a gente já tem todos os termos vamos substituir na equação e ver no que dá.

A equação é:

d v d t + b m v   =   g

Substituindo v , temos:

d v d t + b m m g b 1 - e - b m t = g

Simplificando:

d v d t + g 1 - e - b m t = g

Agora substituindo o d v / d t .

g e - b m t + g 1 - e - b m t = g

Assim:

g e - b m t + g - g e - b m t = g

E:

g = g

Provamos então que no ponto v 0 = 0 , a equação é satisfeita.

Passo 3

Vamos avaliar agora o outro ponto, t → ∞ . Nesse caso, a equação tem a solução característica:

v t = m g b

A ideia é a mesma que usamos no primeiro caso, vamos encontrar o termo d v / d t .

d v d t = 0

Nesse caso, v = v t e é constante, então a derivada é 0.

Vamos então pegar a equação e substituir.

d v d t + b m v   =   g

Como d v / d t = 0 , temos:

b m v   =   g

E aí:

v = m g b = v t

Como chegamos na solução, a gente provou que a equação é satisfeita.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)