Regimes da Força de Arraste: Fluxo Turbulento e Fluxo Viscoso.

Teoria Completa

E aí, beleza?

Hoje a gente vai bater um papo sobre as formas os quais a força de arraste pode aparecer pra gente. Todo mundo aí já lavou alguma coisa né? E as vezes só jogando água já resolve bastante coisa, graças a força de arraste.

Pra entender melhor isso a gente precisa saber o que são fluxo turbulento e fluxo viscoso pois a forma de calcular a força de arraste DEPENDE DO TIPO DE FLUXO!

Fluxo

Fluxo é a quantidade de alguma coisa que passa por uma determinada área, num determinado instante.

Por exemplo:

Água passando por um duto:

São exemplos de fluxo:

O fluxo da corrente elétrica num fio, o fluxo de um gás num outro duto ou até mesmo o fluxo de pessoas passando na porta do metrô.

Se tratando de um fluído, a gente pode definir o fluxo volumétrico como vazão.

A vazão é a taxa de material transportado por unidade de tempo numa determinada área, e é calculada pela seguinte expressão.

Q = v . A

O fluxo não é igual a taxa, pois depende de uma superfície já a taxa não.

Onde v é a velocidade do fluído.

A é a área da seção transversal do duto.

As unidades comuns da vazão Q , são m 3 / s ou l i t r o / s .

Dependendo do comportamento da velocidade do escoamento, a gente pode classificar o nosso fluxo de duas formas: turbulento ou viscoso. A classificação depende do coeficiente adimensional conhecido como número de Reynolds:

R e = ρ D V η

Onde: ρ   é   a   d e n s i d a d e   d o   m e i o

D é a dimensão característica

V é a velocidade de escoamento

η é a viscosidade absoluta.

Cada fluído tem um limite pra esse número, se esse número for menor que o limite o fluxo é viscoso, se for maior, o fluxo é turbulento. A gente não vai se prender muito nessa definição pois geralmente nos tipos de problemas que aparecem pra força de arraste o tipo de escoamento já é falado, mas se pintar alguma pegadinha a gente já tá ligado!

Fluxo Turbulento

No regime turbulento, o fluxo ou escoamento é bastante desordenado. As partículas do fluído se movem de forma bem aleatória como se a gente soltasse uma pena na frente da turbina de um avião. Podems relacionar esse tipo de fluxo as altas velocidades.

Como o fluxo de um rio com queda d’água por exemplo:

Nesse tipo de fluxo a gente calcula a força de arraste da seguinte forma:

F D = 1 2 ρ A C v ²

Onde:

ρ   é a densidade do meio,nesse caso a água.

A é a área da seção transversal onde o meio passa, no caso acima a área da seção transversal do rio.

C é o coeficiente de arraste e é adimensional.

v   é a velocidade do meio.

A velocidade terminal para esse tipo de fluxo, é dada por:

v t = 2 m g ρ A C

Pra entender isso vamos fazer esse exemplo:Um ciclista atravessa uma ventania e tem área de 2 m ² , a massa específica do ar é ρ = 1.2 k g / m 3 e a velocidade dos ventos é 20 m / s , e o coeficiente de arraste do ciclista é 0.7.Calcule a força de arraste.

F D = 1 2 × 1.2 × 2 × 0.7 × 20 2 = 336 N

Fluxo Viscoso ou Laminar

Esse tipo de fluxo é bem ordenado, as partículas do fluído andam paralelas umas ás outras bem tranquilonas. Pra simplificar a parada, a gente pode relacionar esse tipo de fluxo a baixas velocidades.

Tipo esse filete de água que sai da mangueira abaixo:

A força de arraste nesse caso aqui é calculada de forma diferente, se liga:

F D = 6 π η r v

ATENÇÃO AQUI, DIFERENTE DO FLUXO TURBULENTO NÃO É v ² !

Onde:

r   é o raio do objeto, nesse caso o raio da seção transversal do tubo.

η   é a viscosidade do meio, que no caso é a água, na unidade ( N . s / m ² ) . ( E aqui a gente entende o nome fluxo viscoso, haha!).

v   é a velocidade do meio.

A gente já viu que o fluxo turbulento possui a velocidade terminal, mas e no fluxo viscoso como que a velocidade se comporta?

Variação da velocidade no fluxo viscoso

Vamos chamar toda aquela galera que multiplica a velocidade na força de arraste de b, assim:

b = 6 π η r

Legal, agora vamos usar a 2 a lei de Newton e relacionar as forças agindo no meio.

∑ F = m a = P - b v

Onde P = m g

Como a = d v d t temos:

m d v d t = m g - b v

Dividindo tudo por m , a gente tem:

d v d t = g - b m v

E assim:

d v d t + b m v   =   g

Dois pontos são interessantes nessa equação, quando v ( 0 ) = 0 , e quando t → ∞ . Nesses pontos a gente consegue observar como a velocidade se comporta quando o corpo parte do repouso, e também a velocidade terminal para esse tipo de regime.

Quando v ( 0 ) = 0 , a equação assume essa solução:

v = m g b ( 1 - e - b m t )

Como o desenvolvimento da solução não é tão simples a gente vai focar nossa energia em entender e memorizar as fórmulas, ok?

E quando t → ∞ , a gente tem a equação assumindo essa cara:

v t = m g b = m g 6 π η r

E essa é a velocidade terminal, para o fluxo viscoso.

Aproximação da força de arraste

Podemos dizer que a força de arraste então, pode ser aproximada pela seguinte equação:

F D = b v + c v 2

Onde o termo b v é o termo do fluxo viscoso para baixas velocidades e c v 2 é a componente do fluxo turbulento, para altas velocidades.

Onde:

c = 1 2 ρ A C

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Observe o duto abaixo que transporta óleo de oliva que possui viscosidade de 81 × 1 0 - 3 P a . s .

Calcule a força de arraste nos dois trechos sabendo que no primeiro trecho a velocidade do fluído é de 1m/s, e o regime para todos os trechos é laminar.

Dados: Duto cilíndrico, d 1 = 80 c m ,   d 2 = 40 c m .

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Passo 1

Já temos o raio do primeiro trecho do duto e a velocidade, então vamos começar calculando aa vazão nesse trecho.

Q 1 = v 1 . A 1

A área da seção transversal é circular então:

A 1 = π d 2 4 = π × 0.8 2 4 = 0.16 π m ²

E vem:

Q = 1 × 0.16 π = 0.16 π m 3 / s

Agora, preste bastante atenção. A gente não tem a velocidade do segundo trecho, mas podemos encontrá-la, pois a vazão nesse tipo de tubo é a mesma para todos os trechos.

Q 1 = Q 2

Assim:

v 2 = Q 2 A 2

Calculando A 2 :

A 2 = π d 2 4 = π × 0.4 2 4 = 0.04 π m ²

E:

v 2 = 0.16 π 0.4 π = 4 m / s

E olha só que legal, a área diminuiu e a velocidade aumentou. A gente vê bastante isso na prática quando tampa parcialmente a torneira com o dedo e a água vem com mais velocidade.

Passo 2

Agora que já temos as duas velocidades, podemos enfim calcular a força de arraste. Como o regime é laminar ou viscoso usaremos a seguinte equação:

F D = 6 π η r v

Substituindo os valores para o primeiro trecho:

F D 1 = 6 π × 81 × 10 - 3 × 0.8 × 1 = 1.22 N

E para o segundo trecho:

F D 2 = 6 π × 81 × 10 - 3 × 0.4 × 4 = 2.44 N

Resposta

F D 1 = 1.22 N

F D 2 = 2.44 N

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.
  1. Mostre que as velocidades terminais são diferentes para os regimes da força de arraste.
  2. Compare as velocidades e mostre que a força de arraste pode ser aproximada pela equação

F d = b v + c v ²

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Passo 1

a ) Vamos começar calculando para o fluxo turbulento, para isso basta a gente usar a segunda lei de Newton e encontrar a relação das forças:

∑ F = P - F d = 0

P = F d

m g = F d

A força de arraste para fluxo turbulento é dada pela expressão:

F d = 1 2 ρ C A v 2

Assim:

m g = 1 2 ρ C A v 2

Rearrumando:

v = v t = 2 m g ρ A C

Passo 2

Para o fluxo laminar a parada é um pouco diferente, a gente precisa pegar aquela equação geral e partir dela:

d v d t + b m v   =   g

Pra velocidade terminal, a gente precisa do ponto em que t → ∞ .Se liga nessa ideia, se o tempo tende ao infinito o termo d v / d t , tende a zero. Com isso a equação fica:

b m v = g

v t = m g b

Aqui a gente mostra que as velocidades são diferentes dependendo do regime, pois dependem de fatores diferentes.

Passo 3

b) Vamos agora comparar as velocidades e fazer a análise. Para o fluxo turbulento encontramos:

v t = 2 m g ρ A C

Rearrumando :

v t 2 = 2 m g ρ A C

Para simplificar faremos:

c = 1 2 ρ A C

v t 2 = m g c

Para o fluxo laminar nós temos:

v t = m g b

Olhando assim elas ficam bem parecidas, a diferença é o expoente e a constante que multiplica cada uma. Podemos dizer que :

P = m g = F d

F d = b v t

F d = c v t ²

A gente não pode simplesmente somar as duas forças de arraste, a aproximação da mesma é dada por uma função definida por partes. A gente vai juntar as duas partes que encontramos e assim:

F D = b v + c v ²

Se o fluxo é laminar:

F D = b v

Se o fluxo é turbulento:

F d = c v ²

Quando as velocidades são baixas a função é linear, quando a velocidade aumenta, o efeito da turbulência faz aparecer o termo ao quadrado.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria.

Mostre que a equação: d v d t + b m v   =   g

É satisfeita para os pontos v 0 = 0 e t → ∞ .

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Passo 1

Primeiro vamos escolher um dos pontos, vamos começar pelo ponto v 0 = 0 .

Nesse ponto, a solução tem essa cara aqui:

v = m g b ( 1 - e - b m t )

Po, se a gente já tem a solução é só jogar lá e tá tudo beleza né? Não, muita calma nessa hora.

Nós já conhecemos quase todos os termos, o problema é o d v / d t . Não sabemos quem esse termo é, por isso precisamos derivar a velocidade para o tempo, ok?

Derivando os dois lados em função do tempo, temos:

d v d t = d d t m g b ( 1 - e - b m t )

Pra facilitar a nossa vida, podemos colocar o que é constante para fora.

d v d t = m g b d d t ( 1 - e - b m t )

Derivando, a gente tem que a derivada da constante é 0, e sobra.

d d t - e - b m t =   b m e - b m t

Substituindo:

d v d t = m g b b m e - b m t = g e - b m t

Passo 2

Beleza, agora que a gente já tem todos os termos vamos substituir na equação e ver no que dá.

A equação é:

d v d t + b m v   =   g

Substituindo v , temos:

d v d t + b m m g b 1 - e - b m t = g

Simplificando:

d v d t + g 1 - e - b m t = g