Exercícios Resolvidos de Relação entre Função Degrau e Delta de Dirac

Ver Teoria

Enunciado

Prove que, para a ∈ b , c , temos como verdade:

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = - f ' a

Passo 1

Vamos começar. Apesar de termos Delta de Dirac dentro dessa integral, podemos resolver usando propriedades de integrais. Afinal, como temos um produto de funções de tipos diferentes, uma boa ideia é usar integração por partes. Seja então:

u = f t           →             d u = f ' x   d x

δ ' t - a   d t = d v           →           v = ∫ δ ' t - a   d t = δ t - a

Nossa integral pode ser entendida como:

∫ f t ∙ δ ' t - a   d t = ∫ u   d v

E pela integração por partes, vamos ter:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = f t ∙ δ t - a b c -   ∫ b c f ' x   ∙ δ t - a   d t

A integral que ficou sobrando não vai sair daí facilmente, então vamos dedicar um passo na resolução só pra ela, beleza?

Passo 2

Show, pra resolver:

∫ b c f ' x   ∙ δ t - a   d t

A gente pode lembrar que ela também é uma integral com produto de funções diferentes. Portanto, seja:

u = f ' t           →             d u = f ' ' x   d x

δ t - a   d t = d v           →           v = ∫ δ t - a   d t = ∫ u a ' t   d t = u a t

Nossa integral pode ser entendida como:

∫ f ' x   ∙ δ t - a   d t = ∫ u   d v

E pela integração por partes, vamos ter:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ b c f ' x   ∙ δ t - a   d t = f ' t ∙ u a t b c -   ∫ b c f ' ' x   ∙ u a t   d t

E juntando isso no resultado do passo 1 , temos:

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = f t ∙ δ t - a b c - f ' t ∙ u a t b c -   ∫ b c f ' ' x   ∙ u a t   d t

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = f t ∙ δ t - a b c - f ' t ∙ u a t b c + ∫ b c f ' ' x   ∙ u a t   d t

E pronto, agora podemos ver cada um dos 3 pedaços isoladamente

Passo 3

Então, o primeiro pedaço vai ser:

f t ∙ δ t - a b c

O que vai dar:

= f c ∙ δ c - a - f b ∙ δ b - a

Mas pela definição do Delta de Dirac:

δ t - a = ∞ ,     t = a 0 ,     t ≠ 0

Acabamos concluindo que esse pedaço todo é igual a 0 :

= f c ∙ 0 - f b ∙ 0 = 0

Passo 4

Vamos pro segundo pedaço então, com f ' t ∙ u a t b c . Lembrando da definição:

u a t = 0 ,     t < a 1 ,     t ≥ a

Como a ∈ b , c , vamos ter que:

c > a b < a

E logo:

u a b = 0 u a c = 1

O resultado desse pedaço da integração por partes será:

f ' t ∙ u a t b c = f ' c ∙ u a c - f ' b ∙ u a b = f ' c

Passo 5

Agora vamos calcular aquela integral que ficou faltando. Bem, já que ela é:

∫ b c f ' ' x   ∙ u a t   d t

Podemos transformar ela em duas na verdade, já que a ∈ b , c , ficando então com:

∫ b c f ' ' x   ∙ u a t   d t = ∫ b a f ' ' x   ∙ u a t   d t + ∫ a c f ' ' x   ∙ u a t   d t

Mas como:

u a t = 0 ,     t < a 1 ,     t ≥ a

No final das contas a gente fica com:

∫ b c f ' ' x   ∙ u a t   d t = ∫ a c f ' ' x     d t

Opa, e olha só, temos a integral de uma derivada! Não importa quem for f x , esse resultado será:

∫ b c f ' ' x   ∙ u a t   d t = f ' t a c = f ' c - f ' a

Passo 6

Agora a gente junta tudo. Já que:

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = f t ∙ δ t - a b c - f ' t ∙ u a t b c + ∫ b c f ' ' x   ∙ u a t   d t

f t ∙ δ t - a b c = 0

f ' t ∙ u a t b c = f ' c

∫ b c f ' ' x   ∙ u a t   d t = f ' c - f ' a

Temos então:

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = 0 - f ' c + f ' c - f ' a

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = - f ' a

Provadíssimo!

Resposta

Por integração por partes sendo feita duas vezes, uma primeira usando:

u = f t           →             d u = f ' x   d x

δ ' t - a   d t = d v           →           v = ∫ δ ' t - a   d t = δ t - a

E uma segunda usando:

u = f ' t           →             d u = f ' ' x   d x

δ t - a   d t = d v           →           v = ∫ δ t - a   d t = ∫ u a ' t   d t = u a t

Conseguimos provar que:

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = - f ' a