Relação entre Função Degrau e Delta de Dirac

Teoria Completa

Delta de Dirac como uma força

Era uma vez uma força chamada F que tinha a seguinte definição:

F t - a = 1 2 τ ,     a - τ < t < a + τ 0 ,     a - τ > t > a + τ  

a > 0       ;       τ > 0       ;       t > 0       ;       a > τ

Em português, temos uma força com tamanho 1 2 τ , que ocorre entre os instantes a - τ e a + τ (ou seja, ocorre em torno de t = a ), só que para instantes diferentes ela é nula. Em grafiquês, temos, por exemplo:

Só pra mostrar por quanto tempo ela dura, demos um valor qualquer pra τ . Quem é essa força, você talvez esteja me perguntando. Alguns fenômenos físicos com forças como essa são:

  • Pode ser uma força eletromotriz que um circuito elétrico recebe.
  • Pode ser a força aplicada a um sistema massa-mola ou mesmo a qualquer objeto inicialmente em repouso, posto em movimento por causa dessa força.

Ok, beleza, mas o que isso tem a ver com Delta de Dirac? Pois bem, imagine agora que essa força seja instantânea. Pra isso, fazemos:

Apareceu o Delta então! E olha só como o gráfico do nosso exemplo ficou! Conforme τ → 0 a magnitude da força foi crescendo e o intervalo de atuação, tendendo ao instante t = a :

Ou seja, δ t - a pode ser entendido então como uma função impulso, isto é, uma força virtualmente infinita que ocorre em determinado instante a somente. Fisicamente a gente pode ver essa força, por exemplo, em um bom chute numa bola de futebol:

Ou pela descarga elétrica que um avião recebe ao cair um raio nele, dentre outros. Pra calcular a magnitude desse impulso, fazemos:

I = ∫ - ∞ + ∞ F t - a   d t

Mas como a função só tá definida para a - τ < t < a + τ , vamos ter:

I = ∫ a - τ a + τ 1 2 τ   d t = t 2 τ t = a - τ t = a + τ = a + τ - a + τ 2 τ = 2 τ 2 τ = 1

Ou seja, se entendermos o Delta de Dirac como uma força, revelamos uma propriedade interessantíssima dele:

∫ - ∞ + ∞ δ t - a   d t = 1

E isso ainda vale se a lei de formação da força for diferente da que usamos, beleza? Afinal, o Delta de Dirac pode ser definido também pelo limite de funções com propriedades análogas a sequência de pulsos como essas:

F t - a = sin ⁡ t τ π t

F t - a = e - t - a 2 2 τ 2 π τ

Mas o que isso tem a ver com a Função Degrau?

Calma galera, é agora que a gente vai descobrir. Veja só, imagina que eu queira achar o valor de

∫ - ∞ t δ u - a   d u

É bem parecido com a propriedade que achamos acima, né não? Com a diferença que o t agora é variável. Pois bem, já que a definição do Delta de Dirac é:

δ u - a = ∞ ,     u = a 0 ,     u ≠ a  

Vamos poder imaginar duas possibilidades para o valor do limite superior de integração u = t :

Ou seja, vamos acabar obtendo:

∫ - ∞ t > a δ u - a   d u = 1

∫ - ∞ t < a δ u - a   d u = 0

Onde a primeira integral é a propriedade do Delta de Dirac que achamos anteriormente. Resumo da obra? Ta na mão:

∫ - ∞ t δ u - a   d u = 0 ,     t < a 1 ,     t > a  

∫ - ∞ t δ u - a   d u = u a t

E taí a Função Degrau! Pra fechar com chave de ouro e achar a relação entre ela e o Delta de Dirac basta pedir ajuda pro nosso querido amigo Teorema Fundamental do Cálculo e derivar dos dois lados em relação a t :

δ t - a = u a ' t

Na verdade na verdaaaade, nem a Funções Degrau nem Dirac são funções no sentido do Cálculo Diferencial e Integral. E por isso, a derivada acima acaba valendo só num sentido mais generalizado. O Delta de Dirac é dito como a derivada distribucional da Função Degrau.

A derivada acima faz sentido quando olhamos a Função Degrau como limite de funções rampas. Vendo o degrau como uma rampa de inclinação infinita e sendo a derivada uma representação dessa inclinação, o resultado até faz sentido né?

Bora exercitar agora!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Prove que, para a ∈ b , c , temos como verdade:

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bora lá então. Olha só, mesmo tendo um Delta de Dirac dentro dessa integral, podemos resolver esse carinha usando propriedades de integrais. Afinal, temos um produto de funções de tipos diferentes, o que geralmente nos pede pra fazer integração por partes. Seja então:

u = f t           →             d u = f ' x   d x

δ t - a   d t = d v           →           v = ∫ δ t - a   d t = ∫ u a ' t   d t = u a t

Nossa integral pode ser entendida como:

∫ f t ∙ δ t - a   d t = ∫ u   d v

E pela integração por partes, vamos ter:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f t ∙ u a t b c -   ∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t

E dai em diante podemos separar em dois pedações e resolver cada um.

Passo 2

Vamos começar com f t ∙ u a t b c . Lembrando da definição:

u a t = 0 ,     t < a 1 ,     t ≥ a

Como a ∈ b , c , vamos ter que:

c > a b < a

E logo:

u a b = 0 u a c = 1

O resultado desse pedaço da integração por partes será:

f t ∙ u a t b c = f c ∙ u a c - f b ∙ u a b = f c

Passo 3

Agora vamos calcular aquela integral que ficou faltando. Bem, já que ela é:

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t

Podemos transformar ela em duas na verdade, já que a ∈ b , c , ficando então com:

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t = ∫ b a f ' x   ∙ u a t   d t + ∫ a c f ' x   ∙ u a t   d t

Mas como:

u a t = 0 ,     t < a 1 ,     t ≥ a

No final das contas a gente fica com:

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t = ∫ a c f ' x     d t

Opa, e olha só, temos a integral de uma derivada! Não importa quem for f x , esse resultado será:

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t = f t a c = f c - f a

Passo 4

Agora a gente junta tudo. Já que:

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f t ∙ u a t b c -   ∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t

f t ∙ u a t b c = f c

∫ b c f ' x   ∙ u a t   d t = f c - f a

Temos então:

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f c - f c - f a

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f c - f c + f a

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f a

Provadíssimo!

Resposta

Por integração por partes:

u = f t           →             d u = f ' x   d x

δ t - a   d t = d v           →           v = ∫ δ t - a   d t = ∫ u a ' t   d t = u a t

Conseguimos provar que:

∫ b c f t ∙ δ t - a   d t = f a

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Prove que, para a ∈ b , c , temos como verdade:

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = - f ' a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar. Apesar de termos Delta de Dirac dentro dessa integral, podemos resolver usando propriedades de integrais. Afinal, como temos um produto de funções de tipos diferentes, uma boa ideia é usar integração por partes. Seja então:

u = f t           →             d u = f ' x   d x

δ ' t - a   d t = d v           →           v = ∫ δ ' t - a   d t = δ t - a

Nossa integral pode ser entendida como:

∫ f t ∙ δ ' t - a   d t = ∫ u   d v

E pela integração por partes, vamos ter:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ b c f t ∙ δ ' t - a   d t = f t ∙ δ t - a b c -   ∫ b c f ' x   ∙ δ t - a   d t