Modelos elétricos

Teoria Completa

Introdução

E aí pessoal, beleza?

Agora vamos ver como fazer a modelagem de sistemas elétricos. Imagine que a gente tenha um circuito como esse aqui embaixo:

O nosso objetivo aqui, vai ser encontrar o modelo matemático que relaciona a tensão do capacitor, v c t , com a tensão de entrada, v ( t ) . Para o nosso exemplo esse modelo vai ser:

L C   d 2 v C t d t 2 + R C d v C t d t   + v C t = v ( t )

Vamos entender como chegar nessa equação? Vem que eu te mostro

Relações importantes

Para conseguir chegar nas equações diferenciais que representam o modelo do nosso circuito elétrico, é necessário ter em mente as relações para os componentes do nosso circuito.

Os circuitos elétricos vão ser compostos basicamente de três componentes: capacitores, indutores e resistências. As relações de corrente, tensão e carga desses elementos precisam estar bem fixadas para que a gente consiga modelar nosso circuito.

Como eu sou um cara muito legal, preparei uma tabela para organizar melhor essas relações e facilitar sua vida. De nada.

Modelagem de malha simples

Voltando ao nosso exemplo:

Para fazer nossa modelagem, a gente tem duas opções: utilizar a lei das malhas ou dos nós.

A lei das malhas diz que a soma das tensões em uma malha é 0 , e a lei dos nós diz que a soma das correntes em um nó é 0 . O nosso circuito é um circuito simples, ou seja, de malha única, sendo assim, vamos fazer pela lei das malhas.

Pela lei das malhas, vamos somar as nossas tensões e igualá-las a zero. Mas se liga, olhando para a nossa malha, no sentido que estipulamos para a circulação da corrente i ( t ) que é o sentido horário, vamos ter que a fonte de tensão representa uma elevação de tensão, enquanto os elementos passivos representam uma queda de tensão:

v t - v L t - v R t - v C t = 0

Portanto, a tensão de entrada, v ( t ) , será igual à soma da tensão de todos os componentes do sistema.

v L t + v R t + v C t = v ( t )

Pela tabela nós temos que as tensões do indutor, resistor e capacitor são respectivamente:

v L t = L d i t d t

v R t = R i ( t )

v C t = 1 C ∫ 0 t i τ d τ

Como queremos uma relação entre a tensão de entrada v ( t ) e a tensão do capacitor v C ( t ) , não vamos substituir o valor de v C ( t ) .

Substituindo essas relações, teremos a seguinte equação:

L d i t d t + R i t + v C t = v ( t )

Agora precisamos apenas encontrar esses termos em função da tensão do capacitor. Como a corrente que passa pelo circuito é a mesma para todos os elementos, ela também será a corrente do capacitor:

i t = i C ( t )

E podemos relacionar essa corrente com a tensão do capacitor, usando a correlação que se encontra na tabela acima.

i C t = C d v C t d t

Finalmente:

L d C d v c ( t ) d t + R C d v C t d t + v C t = v ( t )

L C d 2 v C t d t + R C d v c t d t + v C t = v ( t )

Modelagem de malhas múltiplas

Agora vamos complicar um pouquinho, e vamos trabalhar com um circuito com duas malhas:

Novamente, utilizaremos a lei das malhas para modelar o nosso sistema. Aqui também queremos encontrar uma relação entre a tensão de entrada e a tensão no capacitor.

Para a primeira malha, onde passa a corrente i 1 :

v t - R 1 i 1 t - L d i 1 t d t + L d i 2 t d t = 0

Repare que a corrente i 2 ( t ) está no sentido contrário ao de circulação da corrente no ramo do indutor L e por isso temos ali, na expressão acima, o termo positivo. Organizando:

R 1 i 1 t + L d i 1 t d t - L d i 2 t d t = v ( t )

Antes de irmos para a segunda malha, repara só que a corrente i 2 ( t ) é a corrente que passa pelo capacitor:

i 2 t = i C t

Portanto, podemos usar a relação:

i 2 t = C d v C t d t

E substituindo na nossa lei das malhas:

R 1 i 1 t + L d i 1 t d t - L C d 2 v c d t = v ( t )

Para a segunda malha, onde passa a corrente i 2 :

- L d i 2 t d t + L d i 1 t d t - R 2 i 2 t - v C ( t ) = 0

Organizando...

R 2 i 2 t - L d i 1 t d t + L d i 2 t d t + v C ( t ) = 0

Assim como fizemos para a primeira malha, vamos usar a relação da corrente i 2 t com a tensão no capacitor v C t :

i 2 t = C d v C t d t

R 2 C d v C t d t - L d i 1 t d t + L C d 2 v C t d t + v C ( t ) = 0

Repara que temos duas equações e duas incógnitas i 1 t e v C ( t ) . A partir daí, a gente manipula as equações a fim de substituir i 1 ( t ) e ficarmos apenas com v C ( t ) que é o termo que queremos analisar.

Por se tratar de um sistema de EDO’s será mais fácil fazer essa manipulação no domínio da frequência (aplicando transformada de Laplace).

É importante ressaltar que o número de equações sempre deverá ser igual ao número de malhas, e que ao invés da regra das malhas, também pode ser usada a regra dos nós, fica a gosto do cliente.

Partiu praticar os exercícios?

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Exercício Resolvido #1

Prof. Heraldo L. S. Almeida – Modelagem matemática de sistemas físicos – Escola politécnica UFRJ – Exercício 4.18

Determine a função de transferência para o circuito passivo abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para modelar circuitos elétricos devemos utilizar sempre a lei das malhas ou a lei dos nós. Como nesse caso não temos nenhuma malha fechada, vamos usar a lei dos nós.

A lei dos nós diz que a soma de todas as correntes chegando em nó é igual à soma de todas as correntes saindo desse nó.

Vamos desenhar isso:

Logo:

i 1 + i 2 = 0

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Passo 2

Para calcular a corrente i 1 devemos ver de onde ela está vindo. A corrente i 1 vem de um resistor, e para um resistor temos que:

i t = v t R

Esse v ( t ) é a diferença de tensão, sendo assim:

i 1 t = V o u t t - V i n t R

A corrente i 2 vem de um capacitor. Para o capacitor temos que:

i t = C d v t d t

Como antes do capacitor não temos nenhuma tensão: i 2 t = C d ( V o u t t - 0 ) d t = C d V o u t t d t

Sendo assim, nossa EDO ficará:

V o u t t - V i n t R +   C d V o u t t d t = 0                 ( 1 )

Passo 3

Agora que já temos a nossa EDO, só precisamos aplicar Laplace e depois reorganizar para conseguir a função de transferência.

Aplicando Laplace em ( 1 ) :

V o u t s - V i n s R +   C s V o u t s = 0

Reorganizando:

V o u t s R + C s V o u t s = V i n s R

C s + 1 R V o u t s = 1 R V i n ( s )

Por fim:

V o u t s V i n s = 1 R C s + 1 R

Ou:

V o u t s V i n s = 1 R C s + 1

Resposta

V o u t s V i n s = 1 R C s + 1

Exercício Resolvido #2

Prof. Heraldo L. S. Almeida – Modelagem matemática de sistemas físicos – Escola politécnica UFRJ – Exercício 4.19

Determine a função de transferência para o circuito passivo abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como não temos uma malha clara nesse circuito, fica mais fácil encontrar a função de transferência pela lei dos nós.

A lei dos nós diz que a soma das correntes que chega em um nó é igual a 0 .

Vamos considerara o nó de cima para fazer as contas. Sendo assim:

Logo:

i 1 + i 2 = 0

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Passo 2

A corrente i 1 vem de uma “linha” onde existe um capacitor. Sendo assim:

i t = C d v t d t

Sendo assim, para o nosso circuito

i 1 t = C d [ V o u t t - V i n t ]   d t  

A corrente i 2 vem de um resistor. Para o capacitor temos que:

i t = v t R

Antes do resistor não existe nenhum componente, portanto, não existe tensão:

i 2 t = V o u t t - 0 R = V o u t t R

Sendo assim, nossa EDO ficará:

C d [ V o u t t - V i n t ]   d t +   V o u t t R = 0                 ( 1 )

Passo 3

O próximo passo depois que a gente obtem a EDO para conseguir a função de transferência é a aplicação da transformada de Laplace.

Aplicando Laplace em ( 1 ) :

C s V o u t s - V i n s + V o u t s R = 0

Reorganizando:

V o u t s R + C s V o u t s = C s V i n ( s )

C s + 1 R V o u t s = C s V i n ( s )

Por fim:

V o u t s V i n s = C s C s + 1 R

Ou:

V o u t s V i n s = R C s R C s + 1

Obs: se você ainda tem dúvida em transformada de Laplace, seria legal dar uma revisada nesse tópico porque ele é muito importante para nós em controle de processo.

Resposta

V o u t s V i n s = R C s R C s + 1

Exercício Resolvido #3

Prof. Heraldo L. S. Almeida – Modelagem matemática de sistemas físicos – Escola politécnica UFRJ – Exercício 4.21

Determine a função de transferência para o circuito passivo abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos resolver esse circuito pela regra dos nós. O nó destacado abaixo é o que está na posição mais estratégica da malha, então, vamos usá-lo como referância

Logo:

i 1 + i 2 = 0

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Passo 2

Para a corrente i 1 , temos um capacitor e um indutor em paralelo. Logo a corrente i 1 é a soma das correntes que passam no insutor e no capacitor:

i 1 t = i L + i C

i 1 t = 1 L ∫ V o u t t - V i n t d t + C d V o u t t - V i n t d t

A corrente i 2 é proveniente de um ramo que contém um resistor e está aterrada, logo:

i 2 t = V o u t t R

Juntando tudo:

i 1 + i 2 = 0

1 L ∫ V o u t t - V i n t d t + C d V o u t t - V i n t d t + V o u t t R = 0

Passo 3

Agora que já temos nossa EDO, basta aplicar Laplace:

1 L s V o u t s - V i n s + C s V o u t s - V i n s + V o u t s R = 0

Rearranjando:

1 L s V o u t s + C s V o u t s + V o u t R = 1 L s V i n s + C s V i n s

1 L s + C s + 1 R V o u t s = 1 L s + C s V i n

V o u t s V i n s = 1 L s + C s 1 L s + C s + 1 R

Simplificando:

V o u t s V i n s = R + R L C s 2 R + R L C s 2 + L s

Resposta

V o u t s V i n s = R + R L C s 2 R + R L C s 2 + L s

Exercício Resolvido #4

Prof. Heraldo L. S. Almeida – Modelagem matemática de sistemas físicos – Escola politécnica UFRJ – Exercício 4.20

Determine a função de transferência para o circuito passivo abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos resolver esse circuito pela regra dos nós. Como temos apenas um nó no circuito, a gente já sabe em qual aplicar a regra.

Logo:

i 1 + i 2 = 0

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Passo 2

Precisaremos, então, encontrar as corrente i 1 e i 2 para aplicar a regra dos nós. Entretanto, a corrente i 1 passa por um capacitor e um indutor. Para encontrar essa corrente em função de V i n e V o u t , precisaremos determinar um ponto intermediário:

Vamos então definir duas expressões para i 1 . Como a corrente que passa pelo capacitor e indutor é a mesma, podemos escrever uma expressão para cada elemento:

i 1 ( t ) = 1 L ∫ V o u t t - V m t d t             ( 1 )

i 1 ( t ) = C d V m t - V i n t d t                     ( 2 )

Precisamos isolar V m em uma das expressões e substituir na outra, entretanto, por se tratar de equações diferenciais, essa manipulação vai ficar mais fácil se aplicarmos Laplace:

i 1 s = 1 L s V o u t s - V m s           ( 3 )

i 1 s = C s V m s - V i n s             ( 4 )

Vamos isolar V m ( s ) em ( 4 ) :

i 1 s = C s V m s - C s V i n ( s )

C s V m s = i 1 s + C s V i n ( s )

V m s = i 1 s C s + V i n ( s )

Substituindo em ( 3 ) :

i 1 s = 1 L s V o u t s - i 1 s C s - V i n s

Isolando i 1 ( s ) :

i 1 s + i 1 s L C s 2 = 1 L s V o u t s - V i n s

1 + 1 L C s 2 i 1 s = 1 L s V o u t s - V i n s

L C s 2 + 1 L C s 2 i 1 s = 1 L s V o u t s - V i n s

i 1 s = C s L C s 2 + 1 V o u t s - V i n s

Ufa, finalmemte conseguimos uma expressão para i 1 ( s ) que relaciona V o u t e V i n

Passo 3

A expressão para i 2 é mais fácil de obter:

i 2 t = V o u t t - 0 R = V o u t t R

Esse zdro aí em cima é devido ao fato do ramo de onde “vem” a i 2 estar aterrado, logo, a tensão é 0 .

Aplicando Laplace:

i 2 s = V o u t s R

Passo 4

Por fim, somando-se as duas corresntes:

i 1 + i 2 = 0

C s L C s 2 + 1 V o u t s - V i n s + V o u t s R = 0

Rearranjando:

C s L C s 2 + 1 V o u t s + V o u t s R = C s L C s 2 + 1 V i n ( s )

C s L C s 2 + 1 + 1 R V o u t s = C s L C s 2 + 1 V i n ( s )

V o u t s V i n s = C s L C s 2 + 1 C s L C s 2 + 1 + 1 R

Simplificando:

V o u t s V i n s = R C s R C s + L C s 2 + 1

Resposta

V o u t s V i n s = R C s R C s + L C s 2 + 1

Exercício Resolvido #5

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Problema 2.16-a. Adaptado

Determine a função de transferência V S ( s ) / V ( s ) para o circuito abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos usar a lei das malhas para resolver esse. A lei das malhas diz que a soma das tensões em uma determinada malha é igual a 0 .

Temos aqui um circuito com duas malhas, vamos desenhar para conseguir ver melhor:

Passo 2

Vamos escrever uma equação para cada malha usando a lei das malhas, para isso, devemos escrever a tensão em todos os elementos de cada malha.Vamos usar essa tabela para nos auxiiar:

Para a primeira malha:

v t - R i 1 - L d i 1 t d t + L d i 2 d t = 0

Substituindo os valores dados:

v t - i 1 - d i 1 t d t + d i 2 t d t = 0

v t = i 1 t + d i 1 t d t - d i 2 t d t                 ( 1 )

Para a segunda malha:

- L d i 2 t d t + L d i 1 t d t - R i 2 ( t ) = 0

0 = i 2 ( t ) + d i 2 ( t ) d t - d i 1 t d t           ( 2 )

Passo 3

O próximo passo é aplicar Laplace, para que possamos manipular nossas equações mais facilmente.

Aplicando Laplace em ( 1 ) e ( 2 ) :

V s = I 1 s + s I 1 s - s I 2 s = s + 1 I 1 s - s I 2 s         ( 3 )

0 = I 2 s + s I 2 s - s I 1 s = 1 + s I 2 s - s I 1 ( s )           ( 4 )