Modelos elétricos

Teoria Completa

Introdução

E aí pessoal, beleza?

Agora vamos ver como fazer a modelagem de sistemas elétricos. Imagine que a gente tenha um circuito como esse aqui embaixo:

O nosso objetivo aqui, vai ser encontrar o modelo matemático que relaciona a tensão do capacitor, v c t , com a tensão de entrada, v ( t ) . Para o nosso exemplo esse modelo vai ser:

L C   d 2 v C t d t 2 + R C d v C t d t   + v C t = v ( t )

Vamos entender como chegar nessa equação? Vem que eu te mostro

Relações importantes

Para conseguir chegar nas equações diferenciais que representam o modelo do nosso circuito elétrico, é necessário ter em mente as relações para os componentes do nosso circuito.

Os circuitos elétricos vão ser compostos basicamente de três componentes: capacitores, indutores e resistências. As relações de corrente, tensão e carga desses elementos precisam estar bem fixadas para que a gente consiga modelar nosso circuito.

Como eu sou um cara muito legal, preparei uma tabela para organizar melhor essas relações e facilitar sua vida. De nada.

Modelagem de malha simples

Voltando ao nosso exemplo:

Para fazer nossa modelagem, a gente tem duas opções: utilizar a lei das malhas ou dos nós.

A lei das malhas diz que a soma das tensões em uma malha é 0 , e a lei dos nós diz que a soma das correntes em um nó é 0 . O nosso circuito é um circuito simples, ou seja, de malha única, sendo assim, vamos fazer pela lei das malhas.

Portanto, a tensão de entrada, v ( t ) , será igual à soma da tensão de todos os componentes do sistema.

Pela tabela nós temos que as tensões do indutor, resistor e capacitor são respectivamente:

v I t = L d i t d t

v R t = R i ( t )

v C t = 1 C ∫ 0 1 i t d t

Sendo assim, utilizando a regra das malhas:

L d i t d t + R i t + 1 C ∫ 0 1 i t d t = v ( t )

Como:

i = d q ( t ) d t

Fazemos a substituição da variável de corrente pela de carga:

L d 2 q t d t + R d q t d t + 1 C q t = v ( t )

Porém nós queremos achar a relação de v ( t ) com v C ( t ) , para isso precisamos introduzir de alguma forma a tensão do capacitor na equação. Utilizamos então a correlação:

q t = C v C ( t )

Finalmente:

L C d 2 v C t d t + R C d v c t d t + V c t = v ( t )

Modelagem de malha múltiplas

Agora vamos complicar um pouquinho, e vamos trabalhar com um circuito com duas malhas:

Novamente, utilizaremos a lei das malhas para modelar o nosso sistema.

Para a primeira malha, onde passa a corrente i 1 :

R 1 i 1 t + L d i 1 t d t - L d i 2 t d t = v ( t )

Para a segunda malha, onde passa a corrente i 2 :

R 2 i 2 t + 1 C ∫ 0 1 i 2 τ d τ - L d i 1 t d t + L d i 2 t d t = 0

A partir daí, a gente manipula as equações de acordo com o que o nosso problema pede. Por se tratar de um sistema de EDO’s será mais fácil fazer essa manipulação no domínio da frequência (aplicando transformada de Laplace)

É importante ressaltar que o número de equações sempre deverá ser igual ao número de malhas, e que ao invés da regra das malhas, sempre poderá ser usado a regra dos nós, fica ao gosto do cliente.

Partiu praticar nos exercícios?

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Exercício Resolvido #1

Prof. Heraldo L. S. Almeida – Modelagem matemática de sistemas físicos – Escola politécnica UFRJ – Exercício 4.18

Determine a função de transferência para o circuito passivo abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para modelar circuitos elétricos devemos utilizar sempre a lei das malhas ou a lei dos nós. Como nesse caso não temos nenhuma malha fechada, vamos usar a lei dos nós.

A lei dos nós diz que a soma de todas as correntes chegando em nó é igual à soma de todas as correntes saindo desse nó.

Vamos desenhar isso:

Logo:

i 1 + i 2 = 0

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Passo 2

Para calcular a corrente i 1 devemos ver de onde ela está vindo. A corrente i 1 vem de um resistor, e para um resistor temos que:

i t = v t R

Esse v ( t ) é a diferença de tensão, sendo assim:

i 1 t = V o u t t - V i n t R

A corrente i 2 vem de um capacitor. Para o capacitor temos que:

i t = C d v t d t

Como antes do capacitor não temos nenhuma tensão: i 2 t = C d ( V o u t t - 0 ) d t = C d V o u t t d t

Sendo assim, nossa EDO ficará:

V o u t t - V i n t R +   C d V o u t t d t = 0                 ( 1 )

Passo 3

Agora que já temos a nossa EDO, só precisamos aplicar Laplace e depois reorganizar para conseguir a função de transferência.

Aplicando Laplace em ( 1 ) :

V o u t s - V i n s R +   C s V o u t s = 0

Reorganizando:

V o u t s R + C s V o u t s = V i n s R

C s + 1 R V o u t s = 1 R V i n ( s )

Por fim:

V o u t s V i n s = 1 R C s + 1 R

Ou:

V o u t s V i n s = 1 R C s + 1

Resposta

V o u t s V i n s = 1 R C s + 1

Exercício Resolvido #2

Prof. Heraldo L. S. Almeida – Modelagem matemática de sistemas físicos – Escola politécnica UFRJ – Exercício 4.19

Determine a função de transferência para o circuito passivo abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como não temos uma malha clara nesse circuito, fica mais fácil encontrar a função de transferência pela lei dos nós.

A lei dos nós diz que a soma das correntes que chega em um nó é igual a 0 .

Vamos considerara o nó de cima para fazer as contas. Sendo assim:

Logo:

i 1 + i 2 = 0

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Passo 2

A corrente i 1 vem de uma “linha” onde existe um capacitor. Sendo assim:

i t = C d v t d t

Sendo assim, para o nosso circuito

i 1 t = C d [ V o u t t - V i n t ]   d t  

A corrente i 2 vem de um resistor. Para o capacitor temos que:

i t = v t R

Antes do resistor não existe nenhum componente, portanto, não existe tensão:

i 2 t = V o u t t - 0 R = V o u t t R

Sendo assim, nossa EDO ficará:

C d [ V o u t t - V i n t ]   d t +   V o u t t R = 0                 ( 1 )

Passo 3

O próximo passo depois que a gente obtem a EDO para conseguir a função de transferência é a aplicação da transformada de Laplace.

Aplicando Laplace em ( 1 ) :

C s V o u t s - V i n s + V o u t s R = 0

Reorganizando:

V o u t s R + C s V o u t s = C s V i n ( s )

C s + 1 R V o u t s = C s V i n ( s )

Por fim:

V o u t s V i n s = C s C s + 1 R

Ou:

V o u t s V i n s = R C s R C s + 1

Obs: se você ainda tem dúvida em transformada de Laplace, seria legal dar uma revisada nesse tópico porque ele é muito importante para nós em controle de processo.

Resposta

V o u t s V i n s = R C s R C s + 1

Exercício Resolvido #3

Prof. Heraldo L. S. Almeida – Modelagem matemática de sistemas físicos – Escola politécnica UFRJ – Exercício 4.21

Determine a função de transferência para o circuito passivo abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos resolver esse circuito pela regra dos nós. Como temos apenas um nó no circuito, a gente já sabe em qual aplicar a regra.

Logo:

i 1 + i 2 = 0

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Passo 2

Para a corrente i 1 , temos um capacitor e um indutor em paralelo. Logo a corrente i 1 é a soma das correntes que passam no insutor e no capacitor:

i 1 t = 1 L ∫ V o u t t - V i n t d t + C d V o u t t - V i n t d t