Modelos mecânicos

Teoria Completa

Introdução

E ai galera! Tudo tranquilo?

Agora estamos naquele momento em que muitas vezes temos um sistema real físico, como por exemplo um carro numa estrada e precisamos modelar o sistema de amortecimento dele.

Esse sistema podem ser modelado das mais diversas formas, umas mais simples e outras mais complexas, isso vai depender do que precisamos avaliar e por consequência das hipóteses que vamos adotar. Como por exemplo, o sistema carro andando na estrada pode ser modelado com um grau de liberdade.

Com dois graus de liberdade.

Esse nível de detalhe vai depender da nossa necessidade, para nossa sorte, já foi observado que os graus de liberdade podem variar, mas existem elementos primários que aparecem representando características do sistema, que são: inércia, amortecimento e rigidez.

Além desses elementos primários, quando o sistema é de segunda ordem, o que ocorre normalmente, pois é o elemento primário de inércia que ocasiona isso, podemos relacionar esses para termos mais dois novos parâmetros: critério de amortecimento e frequência natural.

Agora vamos lá entender como eles estão relacionados.

Equação do movimento

Em sistemas mecânicos, conseguimos associar um sistema real com um sistema massa-mola-amortecedor, cada uma dessas forças são conhecidas como elementos primários, que podem ser de translação ou de rotação.

Para conseguir a correlação dessas forças usamos a segunda lei de Newton.

∑ F → t = d d t m d x → t d t

Como trabalhamos com sistemas invariantes no tempo, a massa ( m ) não varia. Se ela variasse, caso do foguete, não poderíamos utilizar a transformada de Laplace e por consequência não teríamos uma função de transferência e sem ela, nada de controle clássico.

∑ F → t = m d d t d x → t d t = m d 2 x → t d t 2

Sendo F sendo a força ( N ) , m a massa ( k g ) e x o deslocamento linear ( m ) .

Caso o sistema seja rotacional, não tem problema, só alterar os termos relacionados a translação pelos seus equivalentes relacionados a rotação, repaginando então a segunda lei de Newton:

∑ τ → t = J d d t d θ → t d t = m d 2 θ → t d t 2

Sendo τ sendo o torque ( N . m ) , J o momento de inércia ( k g . m 2 ) e θ o deslocamento angular r a d .

Elementos primários de translação

Os três tipos de força encontrados ao realizarmos nossa modelagem podem ser consideradas dentro desses três tipos

1 - I n é r c i a - F = m x ¨ = m d v d t

Sendo m a massa ( k g ) , x o deslocamento linear ( m ) , v a velocidade m s .

2 - R e s t i t u i ç ã o - F = - k x 1 - x 2 = - k ∫ v 1 - v 2 d t

Sendo k a constante elástica N m , x o deslocamento linear ( m ) , v a velocidade m s .

Em sistemas mecânicos de translação, a restituição é normalmente caracterizada por uma mola. Vale lembrar quando se trata de molas que elas podem ser arranjadas em paralelo (a) e em série (b).

E isso resulta num k e q u i v a l e n t e com a seguinte relação:

a k e q u i v a l e n t e = k 1 + k 2                                                                   b k e q u i v a l e n t e = k 1 k 2 k 1 + k 2

3 - A m o r t e c i m e n t o - F = - B x ˙ 1 - x ˙ 2 = - B v 1 - v 2

Sendo B o coeficiente de atrito viscoso N . s m , x o deslocamento linear ( m ) , v a velocidade m s .

Essa relação acima ocorre, pois admitimos que o amortecimento é linear. E o amortecimento representa as forças dissipativas do nosso sistema, ou seja, as que diminuem a energia armazenada no sistema.

Assim como as molas, é possível arranjar os amortecimentos em paralelo (a) e em série (b)

E eles tem um B e q u i v a l e n t e da seguinte forma:

a B e q u i v a l e n t e = B 1 + B 2                                                                   b B e q u i v a l e n t e = B 1 B 2 B 1 + B 2

Elementos primários de rotação

Apresentados os elementos primários de translação, os de rotação são idênticos com a alteração dos termos relacionados com a translação para termos relacionados com rotação, ou seja, o torque substitui a força e o deslocamento angular substitui o deslocamento translacional.

1 - I n é r c i a - τ = J θ ¨ = J d ω d t

Sendo J o momento de inércia ( k g . m 2 ) , θ o deslocamento angular ( r a d ) , ω a velocidade ( r a d s ) .

2 - R e s t i t u i ç ã o - τ = - k θ 1 - θ 2 = - k ∫ ω 1 - ω 2 d t

Sendo k a constante de mola torcional ( N . m r a d ) , θ o deslocamento angular ( r a d ) , ω a velocidade ( r a d s ) .

A relação para molas torcionais em série e paralelo são as mesmas do sistema de translação.

a k e q u i v a l e n t e = k 1 + k 2                                                                   b k e q u i v a l e n t e = k 1 k 2 k 1 + k 2

3 - A m o r t e c i m e n t o - τ = - D θ ˙ 1 - θ ˙ 2 = - D ω 1 - ω 2

Sendo D o coeficiente de atrito viscoso ( N . m r a d ) , θ o deslocamento angular ( r a d ) , ω a velocidade ( r a d s ) .

A relação para molas torcionais em série e paralelo são as mesmas do sistema de translação.

a D e q u i v a l e n t e = D 1 + D 2                                                                   b D e q u i v a l e n t e = D 1 D 2 D 1 + D 2

Expandir

Exercício Resolvido #1

Prof. Heraldo L. S. Almeida – Modelagem matemática de sistemas físicos – Escola politécnica UFRJ – Exercício 4.22

Para o sistema mecânico da figura abaixo, sendo f ( t ) , o sinal de entrada e x ( t ) , o sinal de saída, obter a função de transferência do sistema.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para esse exercício, precisaremos obter uma relação de equilíbrio entre as diferentes forças envolvidas.

F r = ∑ F

Temos três forças agindo sobre o nosso objeto: a força f ( t ) , a força da mola e a força de atrito.

A força da mola será:

F m o l a = K x ( t )

E a força de atrito:

F a t r i t o = B d x t d t

Passo 2

Vamos arbitrar que a força é positiva para baixo e negativa para cima. Sendo assim:

F r = f t - k x t - B d x t d t

A força resultante sobre o corpo, pode ser escrita usando-se a Segunda Lei de Newton:

F r = M a = M   d 2 x t d t 2

Sendo a a aceleração do corpor, e aceleração é a derivada dupla da posição. Substituindo na equação de equilíbrio:

M   d 2 x t d t 2 = f t - k x t - B d x t d t

Passo 3

Como o exercício pede a função de transferência do sistema, precisamos tirar a transformada de Laplace da equação acima e encontrar a relação entre a força f ( t ) e a posição x ( t ) .

Aplicando Laplace:

M s 2 X s = F s - k X s - B s X ( s )

Essa parte da transformada de Laplace é bem importante, se você estiver com dúvidas nesse passo seria legal dar uma revisada no tópico de transformadas de Laplace.

Rearrajando:

F s = M s 2 X s + B s X s + k X ( s )

F s = M s 2 + B s + k X ( s )

Logo:

X s F s = 1 M s 2 + B s + k

Resposta

X s F s = 1 M s 2 + B s + k

Exercício Resolvido #2

Prof. Heraldo L. S. Almeida – Modelagem matemática de sistemas físicos – Escola politécnica UFRJ – Exercício 4.23

Escreva as equações de movimento para a velocidade do carro conforme mostrado na figura abaixo assumindo que o motor fornece uma força u . Obetnha a transformada de Laplace da equação diferencial resultante e encontre a função de transferência entre a entrada u e a saída v .