Teoria Completa
Introdução
E aí pessoal, tudo certinho?
Continuando nossa jornada pelo caminho da modelagem de processos, vamos agora dar uma olhadinha nos processos onde nosso principal objetivo será fazer o controle de um fluido em um sistema. Como por exemplo o tanque de nível abaixo:
Nesse sistema, temos uma corrente de entrada e uma corrente de saída e precisamos controlar o nível do fluido no tanque, o nosso . Para isso, utilizamos a válvula na corrente de saída para controlar a quantidade de fluido que sai do nosso tanque. A dinâmica da válvula geralmente é um dado do problema, para o nosso exemplo vamos assumir a seguinte expressão para a vazão que passa pela válvula:
Onde é a resistência da válvula à passagem de fluido. Para esse sistema consideraremos uma densidade constante do fluido e que o tanque tem uma área de base .
Agora precisamos ver como as correntes de entrada e de saída estão relacionadas com a altura do tanque. Bora lá?
Balanço de Massa
Para determinar essa relação, a primeira coisa que devemos fazer é o nosso balanço de massa. Você não lembra como faz balanço de massa? Pega na minha mão e vem comigo.
A expressão geral do balanço de massa é a seguinte:
Opa, a gente tem alguma reação no nosso sistema? Não, né? Isso é ótimo, porque assim poderemos cortar os dois últimos termos do balanço de massa, que vai ficar com a seguinte cara então:
Vamos analisar cada um desses termos agora. Acúmulo quer dizer o tanto que a massa do sistema varia com relação ao tempo, em termos de derivada ficaria assim:
Para deixar tudo em termos de volume:
Então:
Já a quantidade que entra, é determinada pelo , que é a vazão de entrada:
Novamente fazendo a substituição:
Da mesma forma, a corrente de saída é:
O nosso balanço de massa então ficou da seguinte forma:
Para o nosso sistema, nós consideraremos constante, e sendo assim podemos cancelar ele em todos os termos.
Mas pera aí. Eu disse lá no começo que o nosso objetivo é controlar a altura do tanque , lembra? E ela não está aparecendo em nenhum lugar da nossa equação do balanço de massa. Então precisamos achar alguma forma de inserir a altura na nossa expressão.
O volume de fluido no tanque é a base vezes a altura de fluido, e como a área da base é constante:
Além disso, a vazão de fluido que passa pela válvula também é determinada pela altura do tanque, então:
Finalmente, chegamos à expressão final do nosso balanço de massa:
Linearização
Lindo! Incrível! Maravilhoso! Fizemos nosso balanço de massa com maestria, conseguimos chegar numa EDO que relaciona a altura do tanque, , com a vazão de entrada do tanque, . Mas agora temos um novo problema. A EDO que nós encontramos não é linear. Isso acontece devido ao termo . Portanto, precisamos fazer nossa linearização. Partiu?
Para fazer essa linearização a gente sempre vai usar a linearização de Taylor conforme essa expressão aqui:
E a nossa expressão que precisa ser linearizada é:
Na maioria dos nossos problemas em controle de processos, será interessante para nós fazer a nossa linearização em torno do ponto inicial, isso vai facilitar os nossos cálculos e permitir um controle mais eficaz. Sendo assim, aqui nesse caso o será que é a altura do nível do tanque no instante inicial.
Então, para determinar o primeiro termo da linearização é só substituir o por :
Agora, devemos derivar nossa expressão no ponto escolhido, ou seja, :
E por fim, porém não menos importante:
Agora é só juntar tudo e ser feliz:
Variáveis desvio
Agora a gente já está quase lá. Você já pode ver a luzinha no fim do túnel do sucesso, mas ainda tem mais um passo para que o seu modelo do nível do tanque fique tão perfeito quanto você, que é a introdução das variáveis desvio. Mas antes, vamos dar uma olhadinha como está nossa expressão depois da linearização:
Tá grande, né? Meio esquisita. Vamos então reescrever a mesma expressão, mas agora com todas as variáveis em seu ponto inicial:
Repare que o último termo sumiu porque .
Então agora, para que a gente consiga introduzir as nossas variáveis desvio, precisamos fazer a diferença entre essas duas equações. Vai ficar assim ó:
Agora é a hora do truquezinho maroto. Vamos substituir essas diferenças que estão atrapalhando a gente por novas variáveis, as variáveis desvio:
E agora pode comemorar, soltar fogos, pular, abraçar a mãe que chegamos ao fim da nossa modelagem:
O passo a passo para introduzir variáveis desvio fica assim então:
- Escrever a sua equação normal;
- Reescrever a equação substituindo todas as funções que dependem do tempo pelo seu valor no tempo inicial;
- Subtrair a segunda equação da primeira;
- Definir as variáveis desvio;
- Fazer a substituição.
Partiu ver outros casos nos exercícios?
Exercício Resolvido #1
Dois tanques são conectados conforme ilustrado na figura abaixo:
Desenvolva o modelo matemático para esse sistema de maneira a encontrar a variação do nível dos tanques e .
Passo 1
Vamos começar pelo primeiro tanque. O primeiro passo é sempre começar pelo balanço de massa:
Podemos desconsiderar os dois últimos termos porque não tem reação no tanque e portanto, nada é gerado nem consumido.
O termo de acúmulo a gente sempre representa como a derivada, a corrente entra no tanque e as correntes e saem do tanque:
Substituindo tudo no balanço:
Entretanto o exercício pede que a gente encontre a expressão de variação de , e não de . Sendo assim, precisamos fazer algumas substituições. Sabendo que:
E
Logo:
Substituindo na EDO:
Considerando a área e a densidade constante, teremos:
Passo 2
Vamos fazer o mesmo para o segundo tanque agora.
O segundo tanque também não tem nenhum consumo nem geração, mas também não tem nenhuma corrente entrando, sendo assim:
Como a única corrente que entra no segundo tanque é a corrente , o balanço ficará assim:
Agora vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos para o primeiro tanque para encontrar a expressão de :
Portanto:
Considerando e constantes, teremos:
Passo 3
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um tanque de mistura mostrado na figura seguinte com volume de líquido e densisdade constante é usado para misturar duas correntes.
- Assuma que o processo está operando por um longo período de tempo com uma vazão mássica de entrada de e e composição das correntes de entrada de e . Nesse contexto, qual é o estado estacionário de ?
- Desenvolva o modelo matemático do sistema supondo que o nível de líquido possa variar.
Passo 1
Para determinar a composição de saída, precisamos fazer o balanço de massa para o componente.
Não existe reação no processo, portanto os termos de reação e consumo serão nulos. Além disso, também não existe acúmulo porque o enunciado diz que o volume não vatia e as composições são constantes.
Portanto:
Sabendo que as correntes e são as correntes de entrada e a corrente é a corrente de saída, teremos:
Substituindo os valores do enunciado:
Passo 2
Primeiramente vamos fazer o modelo para o volume de líquido no tanque. Vamos fazer o balanço de massa geral:
Novamente não temos reação, portanto sem acúmulo e sem geração:
Fazendo:
Como é constante, podemos passar ele dividinfo para o outro lado:
Passo 3
Vamos fazer agora o modelo matemático para a composição de saída . Para isso, devemos considerar que o modelo está em parâmetros concentrados, ou seja, o tanque é perfeitamente misturado e a composição no interior do tanque é igual à composição da saída. Vamos partir da expressão de balanço de massa geral que encontramos no passo anterior:
Agora vamos escrever o balanço de massa por componente:
Vamos aplicar a regra do produto no termo do acúmulo:
Substituindo no balanço:
Rearranjando:
Como:
Podemos substituir no balanço:
Vamos cortar que da pra cortar:
Por fim:
Se você quiser escrever as respostas em termos de volume, é só substituir por :
Resposta
a)
b)
Exercício Resolvido #3
Considere um tanque com fluxo de reciclo (recirculação)mostrado na figura abaixo. Objetiva-se estudar a dinâmica do nível , de acordo com o fluxo de entrada, , e a abertura das válvulas, . Considere densidade, , a área do tanque, , e a vazão de saída, , como constantes. Obtenha o modelo matemático do processo.
Passo 1
Vamos começar fazendo o balanço de massa para esse tanque então:
Não existe reação no processo, portanto os termos de reação e consumo serão nulos.
Passo 2
Vamos colocar tudo em termos de volume:
Substituindo tudo
Podmeos então cancelar em toda a equação.
Precisamos da expressão para a altura do nível no tanque, então:
Passo 3
Tamo quase lá, mas o exercício também pede para que a gente relacione o nível do fluido no tanque com a abertura da válvula, . Como:
Passo 4
Repare que caímos numa EDO não-homogênea, isso é, ela apresenta uma constante, . Quando acontece isso, precisamos aplicar variáveis desvio.
Atualmente, nossa EDO é a seguinte:
Vamos reescrever essa EDO colocando todas as variáveis com seus valores no estado inicial:
Como é uma constante, seu valor não se altera. Agora, nós subtraímos a segunda expressão da primeira:
Vamos definir as nossas variáveis desvio:
Substituindo na EDO:
Conseguimos então transformar uma EDO não-homogênea em uma EDO homogênea.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considere dois reatores de reservatório sob agitação em série com reciclo mostrado abaixo:
Você pode supor o seguinte:
- Cada reator está perfeitamente misturado e a temperatura é constante.
- Os volumes, e , são constantes e tabém as densidades das misturas que estão reagindo.
- O fluxo de entrada, , e o fluxo de reciclo, , são constantes.
- A reação química é basicamente de primeira ordem, e a taxa de ração é dada por .
- Os reatores estão inicialmente em estado estacionário com uma concentração de entrada .
- O retardo de transporte entre os reatores é desprezível.
Determine o modelo matemático para a concentração de no primeiro e no segundo reator.
Passo 1
Vamo fazer o balanço molar para o componente no primeiro reator:
O componente é um reagente do processo, logo ele é consumido e a expressão do balanço fica:
Vamos escrever termo a termo:
A corrente de saída é a soma das duas correntes de tanque que entram no primeiro reator, isso porque os volumes dos reatores são constantes.
Juntando tudo:
Passo 2
O balanço para o segundo reator: