Modelos fluídicos

Teoria Completa

Introdução

E aí pessoal, tudo certinho?

Continuando nossa jornada pelo caminho da modelagem de processos, vamos agora dar uma olhadinha nos processos onde nosso principal objetivo será fazer o controle de um fluido em um sistema. Como por exemplo o tanque de nível abaixo:

Nesse sistema, temos uma corrente de entrada e uma corrente de saída e precisamos controlar o nível do fluido no tanque, o nosso h t . Para isso, utilizamos a válvula na corrente de saída para controlar a quantidade de fluido que sai do nosso tanque. A dinâmica da válvula geralmente é um dado do problema, para o nosso exemplo vamos assumir a seguinte expressão para a vazão que passa pela válvula:

q t = 1 R h t

Onde R é a resistência da válvula à passagem de fluido. Para esse sistema consideraremos uma densidade ρ constante do fluido e que o tanque tem uma área de base A .

Agora precisamos ver como as correntes de entrada e de saída estão relacionadas com a altura do tanque. Bora lá?

Balanço de Massa

Para determinar essa relação, a primeira coisa que devemos fazer é o nosso balanço de massa. Você não lembra como faz balanço de massa? Pega na minha mão e vem comigo.

A expressão geral do balanço de massa é a seguinte:

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

Opa, a gente tem alguma reação no nosso sistema? Não, né? Isso é ótimo, porque assim poderemos cortar os dois últimos termos do balanço de massa, que vai ficar com a seguinte cara então:

A c ú m u l o = E n t r a - { S a i }

Vamos analisar cada um desses termos agora. Acúmulo quer dizer o tanto que a massa do sistema varia com relação ao tempo, em termos de derivada ficaria assim:

A c ú m u l o = d m ( t ) d t  

Para deixar tudo em termos de volume:

m ( t ) = ρ . V ( t )

Então:

A c ú m u l o = d ρ V ( t ) d t

Já a quantidade que entra, é determinada pelo q i ( t ) , que é a vazão de entrada:

E n t r a = m i ˙ ( t )

Novamente fazendo a substituição:

E n t r a = ρ . q i ( t )

Da mesma forma, a corrente de saída é:

S a i = ρ . q ( t )

O nosso balanço de massa então ficou da seguinte forma:

d ρ V t d t = ρ q i t - ρ q ( t )

Para o nosso sistema, nós consideraremos ρ constante, e sendo assim podemos cancelar ele em todos os termos.

d V t d t = q i t - q ( t )

Mas pera aí. Eu disse lá no começo que o nosso objetivo é controlar a altura do tanque h t , lembra? E ela não está aparecendo em nenhum lugar da nossa equação do balanço de massa. Então precisamos achar alguma forma de inserir a altura na nossa expressão.

O volume de fluido no tanque é a base vezes a altura de fluido, e como a área da base é constante:

d V t d t = d A h t d t = A d h t d t

Além disso, a vazão de fluido que passa pela válvula também é determinada pela altura do tanque, então:

q t = 1 R h ( t )

Finalmente, chegamos à expressão final do nosso balanço de massa:

A . d h t d t = q i t - 1 R h t

Linearização

Lindo! Incrível! Maravilhoso! Fizemos nosso balanço de massa com maestria, conseguimos chegar numa EDO que relaciona a altura do tanque, h ( t ) , com a vazão de entrada do tanque, q i ( t ) . Mas agora temos um novo problema. A EDO que nós encontramos não é linear. Isso acontece devido ao termo h t . Portanto, precisamos fazer nossa linearização. Partiu?

Para fazer essa linearização a gente sempre vai usar a linearização de Taylor conforme essa expressão aqui:

f x = f x - + ∂ f ∂ x x - . x - x - 1 !

E a nossa expressão que precisa ser linearizada é:

f h t = h t

Na maioria dos nossos problemas em controle de processos, será interessante para nós fazer a nossa linearização em torno do ponto inicial, isso vai facilitar os nossos cálculos e permitir um controle mais eficaz. Sendo assim, aqui nesse caso o x - será h 0 que é a altura do nível do tanque no instante inicial.

Então, para determinar o primeiro termo da linearização é só substituir o h t por h 0 :

f x - =   h 0

Agora, devemos derivar nossa expressão no ponto escolhido, ou seja, h 0 :

∂ f ∂ x x - = 1 2 h 0

E por fim, porém não menos importante:

x - x - 1 ! = h t - h 0

Agora é só juntar tudo e ser feliz:

f h t =   h 0 + 1 2 h 0 h t - h 0

Variáveis desvio

Agora a gente já está quase lá. Você já pode ver a luzinha no fim do túnel do sucesso, mas ainda tem mais um passo para que o seu modelo do nível do tanque fique tão perfeito quanto você, que é a introdução das variáveis desvio. Mas antes, vamos dar uma olhadinha como está nossa expressão depois da linearização:

A . d h t d t = q i t - 1 R h 0 + 1 2 h 0 h t - h 0

Tá grande, né? Meio esquisita. Vamos então reescrever a mesma expressão, mas agora com todas as variáveis em seu ponto inicial:

A . d h 0 d t = q i 0 - 1 R h 0

Repare que o último termo sumiu porque h 0 - h 0 = 0 .

Então agora, para que a gente consiga introduzir as nossas variáveis desvio, precisamos fazer a diferença entre essas duas equações. Vai ficar assim ó:

A . d h t - h 0 d t = q i t - q i 0 - 1 R 1 2 h 0 h t - h 0

Agora é a hora do truquezinho maroto. Vamos substituir essas diferenças que estão atrapalhando a gente por novas variáveis, as variáveis desvio:

h - t = h t - h 0

q i - t = q i t - q i 0

E agora pode comemorar, soltar fogos, pular, abraçar a mãe que chegamos ao fim da nossa modelagem:

A . d h - t d t = q i - t - 1 2 R h 0 h - ( t )

O passo a passo para introduzir variáveis desvio fica assim então:

  • Escrever a sua equação normal;
  • Reescrever a equação substituindo todas as funções que dependem do tempo pelo seu valor no tempo inicial;
  • Subtrair a segunda equação da primeira;
  • Definir as variáveis desvio;
  • Fazer a substituição.

Partiu ver outros casos nos exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Professor Lizandro Sousa, UFF, lista 1, 2019.2, Exercício 5

Dois tanques são conectados conforme ilustrado na figura abaixo:

Desenvolva o modelo matemático para esse sistema de maneira a encontrar a variação do nível dos tanques h 1 e h 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar pelo primeiro tanque. O primeiro passo é sempre começar pelo balanço de massa:

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

Podemos desconsiderar os dois últimos termos porque não tem reação no tanque e portanto, nada é gerado nem consumido.

A c ú m u l o = E n t r a - { S a i }

O termo de acúmulo a gente sempre representa como a derivada, a corrente m ˙ 1 entra no tanque e as correntes m ˙ 2 e m ˙ 3 saem do tanque:

A c ú m u l o = d m 1 d t

E n t r a = m ˙ 1

S a i = m ˙ 2 + m ˙ 3

Substituindo tudo no balanço:

d m 1 d t = m ˙ 1 - m ˙ 2 - m ˙ 3

Entretanto o exercício pede que a gente encontre a expressão de variação de h 1 , e não de m . Sendo assim, precisamos fazer algumas substituições. Sabendo que:

m 1 = ρ V 1

E

V 1 = A 1 h 1

Logo:

m 1 = ρ A 1 h 1

Substituindo na EDO:

d ρ A 1 h 1 d t = m ˙ 1 - m ˙ 2 - m ˙ 3

Considerando a área e a densidade constante, teremos:

ρ A 1   d h 1 d t = m ˙ 1 - m ˙ 2 - m ˙ 3

Passo 2

Vamos fazer o mesmo para o segundo tanque agora.

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

O segundo tanque também não tem nenhum consumo nem geração, mas também não tem nenhuma corrente entrando, sendo assim:

A c ú m u l o = E n t r a

Como a única corrente que entra no segundo tanque é a corrente m ˙ 2 , o balanço ficará assim:

d m 2 d t = m ˙ 2

Agora vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos para o primeiro tanque para encontrar a expressão de h 2 :

m 2 = ρ V 2

V 2 = A 2 h 2

m 2 = ρ A 2 h 2

Portanto:

d ρ A 2 h 2 d t = m ˙ 2

Considerando ρ e A 2 constantes, teremos:

ρ A 2 d h 2 d t = m ˙ 2

Passo 3

Resposta

ρ A 1   d h 1 d t = m ˙ 1 - m ˙ 2 - m ˙ 3

ρ A 2 d h 2 d t = m ˙ 2

Exercício Resolvido #2

Professor Lizandro Sousa, UFF, lista 1, 2019.2, Exercício 1

Um tanque de mistura mostrado na figura seguinte com volume de líquido e densisdade constante é usado para misturar duas correntes.