Linearização

Teoria Completa

Introdução

Tudo tranquilo galera?

Em controle, muitas vezes nos deparamos com umas funções não-lineares como a de perda de carga numa válvula.

h = K Q 2

Devido a não-linearidade do termo elevado ao quadrado, não vai existir transformada de Laplace para esta função. E isso dificulta nossa vida.

Contudo, como em controle clássico estamos interessados em controlar um sistema em torno de um ponto de operação, isso permite que utilizemos uma técnica de linearização para trabalharmos em torno desse ponto.

O ponto de operação da equação acima vai ser em volta do ponto de vazão Q 0 , com isso a equação acima é transformada nesta:

h - = 2 K Q 0 Q -

E ela estando desta forma podemos utilizar tudo que aprendemos até agora.

Agora vamos lá aprender como fazer isso.

Expansão em Série de Taylor

Essa ferramenta vai ser nossa bazuca quando se tratar de linearização. Relembrando o formato dela:

f x = f x - + ∂ f ∂ x x - . ( x - x - ) 1 ! + ∂ 2 f ∂ x 2 x - . x - x - 2 ! + …

Em que x - é o ponto de equilíbrio.

Quando se tratar de linearizar alguma função, podemos desconsiderar todos os termos acima de primeira ordem.

Então basicamente vamos trabalhar com esse formato da expansão em série de Taylor.

f x = f x - + ∂ f ∂ x x - . x - x - 1 !

Vamos agora utilizar ela no exemplo do início da teoria.

h = K Q 2

Nessa função, h é a perda de carga, K é uma constante que depende do tipo de válvula e Q é a vazão.

Vamos escolher linearizar em torno de uma vazão Q 0 , que normalmente é dada pelo enunciado.

Agora aplicamos a expansão em série de Taylor em torno de Q 0 .

K Q 2 = K Q 0 2 + ∂ f ∂ Q Q 0 . Q - Q 0 1 !

Sendo:

∂ f ∂ Q = 2 K Q

E fazendo a derivada no ponto Q 0 :

∂ f ∂ Q Q 0 = 2 K Q 0

Substituindo no seu devido lugar na série de Taylor:

K Q 2 = K Q 0 2 + 2 K Q 0 . ( Q - Q 0 )

Arrumando a casa:

K Q 2 - K Q 0 2 = 2 K Q 0 . ( Q - Q 0 )

Agora vem o pulo do gato, 😊, no início tínhamos:

h = K Q 2

Então, quando Q = Q 0 , temos:

h 0 = K Q 0 2

Substituindo:

h - h 0 = 2 K Q 0 ( Q - Q 0 )

Como 2 K Q 0 é uma constante, pois K era uma constante e Q 0 também é uma constante.

É usual quando chegamos nessa parte, substituirmos nossas diferenças h - h 0 e Q - Q 0 por um único termo em cada uma delas.

h - = h - h 0

Q - = Q - Q 0

Substituindo esses novos termos na equação anterior:

h - = 2 K Q 0 ( Q - )

Chegamos na nossa equação linearizada. Só felicidade agora, rs.

Representação gráfica da Linearização

Agora para entender melhor o que acabamos de fazer vamos ver graficamente o que representa a linearização.

A função original de perda de carga:

h = K Q 2

Tem o seguinte gráfico:

Quando definimos um ponto de equilíbrio, que fisicamente seria nosso ponto de operação, e aplicamos a expansão em Série de Taylor, graficamente nós estamos traçando uma reta tangente ao ponto de equilíbrio no gráfico.

A linearização nada mais é do que trocarmos nossa equação original, h = K Q 2 , que é não-linear pela equação da reta tangente, que é linear, do ponto de equilíbrio no gráfico. Como é possível observar, para pequenas variações em torno do ponto de equilíbrio as duas curvas têm valores muito próximos, mas para maiores variações as duas curvas começam a ter valores muito diferentes então é necessário realizar uma nova linearização para um novo ponto de equilíbrio.

Expansão em Série de Taylor

Agora que já estamos familiarizados com a expansão em Série de Taylor, vamos continuar descobrindo seu poder. Não é atoa que ela é uma bazuca.

Pode ocorrer, por exemplo, de ser necessário linearizar a vazão em um tanque em formato de um cone. Nesse caso, além da não linearidade da perda de carga na válvula, ainda teremos a necessidade de linearizar a geometria do tanque.

Para isso usaremos a expansão em série de Taylor de segunda ordem.

f x 1 , x 2 = f x - 1 , x - 2 + ∂ f ∂ x 1 x - 1 , x - 2 . ( x 1 - x - 1 ) 1 ! + ∂ f ∂ x 2 x 1 - , x 2 - . ( x 2 - x - 2 ) 1 ! + ∂ 2 f ∂ x 1 2 x - 1 , x - 2 . x 1 - x - 1 2 2 ! + ∂ 2 f ∂ x 2 2 x 1 - , x 2 - . x 2 - x - 2 2 2 ! + …

No qual:

x - 1 = valor estacionário de x 1

x - 2 = valor estacionário de x 2

Como esse assunto de linearização com duas variáveis não é sempre cobrado, a forma de como resolver ele será ensinada no exercício de fixação nº6.

Agora vamos lá praticar a técnica de linearização.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exemplo 2.26

Linearize f x = 5 cos ⁡ x   em torno de x = π 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O primeiro passo é identificar em que ponto vamos fazer a nossa linearização. O enunciado do exercício já define para nós que ponto é esse:

x - = π 2

Portanto devemos aplicar a fórmula da linearização de Taylor abaixo:

f x ≅ f x - + ∂ f ∂ x x - . x - x - 1 !

Passo 2

Vamos fazer termo a termo.

f x - = 5 cos ⁡ x -

∂ f ∂ x x - =   - 5 sen ⁡ x -

Substituindo na fórmula:

f x ≅ 5 cos ⁡ x - - 5 sen ⁡ x - x - x -

Passo 3

Agora devemos substituir x - por π 2

f x ≅ 5 cos ⁡ π 2 - 5 sen ⁡ π 2 x - π 2

Como:

cos ⁡ π 2 = 0

e

sen ⁡ π 2 = 1

f x ≅   - 5 x - π 2

Resposta

f x ≅   - 5 x - π 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Linearize f x = 2 ln ⁡ x em torno de x = 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Relembrando a fórmula da linearização de Taylor:

f x ≅ f x - + ∂ f ∂ x x - . x - x - 1 !

Nesse caso o ponto fixo nos foi dado. Portanto:

x - = 2

Passo 2

Fazendo termo a termo:

f x - = 2 ln ⁡ x -

∂ f ∂ x x - = 2 x -

Substituindo:

f x ≅ 2 ln ⁡ x - + 2 x - x - x -  

Passo 3

Substituindo então x - por 2

f x ≅ 2 ln ⁡ 2 + 2 2 x - 2

Tirando o 2 do denominador pra ficar mais bonitinho:

f x ≅ 2 ln ⁡ 2 + 2 x - 2

Resposta

f x ≅ 2 2 + 2 x - 2

Exercício Resolvido #3

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exemplo 2.27

Linearize a equação em torno de x = π 4

d 2 x d t 2 + d x d t + cos ⁡ x = 0  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O termo não linar da equação é o cos ⁡ x   e é com ele que trabalharemos. Sendo assim:

f x = cos ⁡ x

Para linearizar, utilizaremos como sempre a linearização de Taylor:

f x ≅ f x - + ∂ f ∂ x x - . x - x - 1 !

Passo 2

Vamos fazer termo a termo.

f x - = cos ⁡ x -

∂ f ∂ x x - =   - sen ⁡ x -

Substituindo na fórmula:

f x ≅ cos ⁡ x - - sen ⁡ x - x - x -

Passo 3

Agora devemos substituir x - por π 4

f x ≅ cos ⁡ π 4 - sen ⁡ π 4 x - π 4

Como:

cos ⁡ π 4 = 2 2

e

sen ⁡ π 4 = 2 2

f x ≅   2 2 - 2 2 x - π 4

Passo 4

Para finalizar, basta substituir a função encontrada na equação inicial:

d 2 x d t 2 + d x d t +   2 2 - 2 2 x - π 4 = 0

Resposta

d 2 x d t 2 + d x d t +   2 2 - 2 2 x - π 4 = 0

Exercício Resolvido #4

Prof. Ninoska Bojorge, UFF, Lista 1 2019.1. Adaptado

Linearize a equação:

d y d t = 16 y 3 - 4 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Devemos encontrar a parte da nossa equação que não é linear.

Nesse caso, toda parte à esquerda na equação não é linear devido aos termos elevado ao cubo e ao quadrado.

f y = 16 y 3 - 4 y 2

Para linearizar, seguiremos com a linearização de Taylor:

f y ≅ f y - + ∂ f ∂ y y - . y - y - 1 !

Passo 2

Fazendo termo a termo.

f y - = 16 y - 3 - 4 y - 2

∂ f ∂ y y - =   48 y - 2 - 8 y -

Substituindo na fórmula:

f y ≅ 16 y - 3 - 4 y - 2 + ( 48 y - 2 - 8 y - ) ( y - y - )

Passo 3

Como o enunciado não fornece o ponto da linearização, deixaremos tudo em função de y - .

Para finalizar, basta substituir a função encontrada na equação inicial:

d y d t = 16 y - 3 - 4 y - 2 + ( 48 y - 2 - 8 y - ) ( y - y - )

Resposta

d y d t = 16 y - 3 - 4 y - 2 + ( 48 y - 2 - 8 y - ) ( y - y - )

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Linearize a equação:

d y d t = 2 y +   2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para linearizar a equação, precisaremos primeiro identificar o termo não linear. Na EDO do exercício o único termo não linar é a raiz quadrada, sendo assim:

f y = 2 y

Para linearizar, seguiremos com a linearização de Taylor:

f y ≅ f y - + ∂ f ∂ y y - . y - y - 1 !

Passo 2

Para facilitar, e não correr risco de errarmos, vamos fazer termo a termo:

f y - = 2 y -

∂ f ∂ y y - = 1 2 y -

Substituindo na fórmula:

f y ≅ 2 y - + 1 2 y - ( y - y - )

Passo 3

Como o enunciado não fornece o ponto da linearização, deixaremos tudo em função de y - .

Para finalizar, basta substituir a função encontrada na equação inicial:

d y d t = 2 y +   2 y - + 1 2 y - ( y - y - )

Resposta

d y d t = 2 y +   2 y - + 1 2 y - ( y - y - )

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Linearize a equação:

f x = h x . g ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Além de termos elevados a expoentes que são diferentes de 1 , outra situação que causa a não-linearidade de uma função é a multiplicação de duas ou mais funções. Nesses casos, nós ainda usaremos a linearização de Taylor, mas ela vai sofrer uma leve alteração:

f x ≅ f x - + ∂ f ∂ h x - . h - h - 1 ! + ∂ f ∂ g x - . g - g - 1 !

A lógica continua a mesma: primeiro a gente escreve a função em torno do ponto onde estamos linearizando, depois nós vamos derivar a função duas vezes, uma vez em relação a cada função que compõe a função principal. Bora lá?

Passo 2

Vamo fazer passo a passo pra não errar:

f x - = h x - g ( x - )  

∂ f ∂ h x - = g x -

∂ f ∂ g x - = h x -

Substituindo na linearização:

f x ≅ h x - g x - + g x - h x - h x - + h x - g x - g x -

Resposta

f x ≅ h x - g x - + g x - h x - h x - + h x - g x - g x -

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Linearize f x = e x 2 em torno de x = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Relembrando a fórmula da linearização de Taylor:

f x ≅ f x - + ∂ f ∂ x x - . x - x - 1 !

Nesse caso, o ponto fixo nos foi dado, portanto:

x - = 1

Passo 2

Fazendo termo a termo:

f x - = e x - 2

∂ f ∂ x x - = 2 x - e x - 2

Substituindo:

f x ≅ e x - 2 + 2 x - e x - 2 x - x -  

Passo 3

Substituindo então x - por 1

f x ≅ e + 2 e x - 1  

Resposta

f x ≅ e + 2 e x - 1

Exercício Resolvido #8

Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pag 47, Exemplo 2-6.1. Adaptado

Faça a linearização da equação de Arrheinus para a dependência da temperatira dos coeficientes de velocidade das reações químicas em torno de T = 573 K . Considere k T - = 100   s - 1 , e uma energia de ativação de E = 22.000   k c a l / k m o l .

k T t = k 0 e - E R T ( t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Relembrando a fórmula da linearização de Taylor:

f x ≅ f x - + ∂ f ∂ x x - . x - x - 1 !

Devemos linearizar em torno do ponto T - = 573   K

Passo 2

Fazendo termo a termo:

k T - =   k 0 e - E R T -

∂ f ∂ x x - = k 0 e - E R T - . E R T - 2

Repare que o primeiro termo da equação da derivada, é idêntico à expressão de k T - .

Sendo assim:

∂ f ∂ x x - = k T - E R T - 2

Substituindo na linearização:

k T t ≅ k T - + k T - E R T - 2 . T t - T -

Passo 3

Sunstituindo os valores:

k T t ≅ 100 + 100 22000 1,987 . 573 2 . T t - 573

k T t ≅ 100 + 3,37 T t - 573

Resposta

k T t ≅ 100 + 3,37 T t - 573

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