Sensibilidade

Teoria Completa

Introdução

Você já deve ter percebido que os sistemas com realimentação (feedback) são os mais comumente usados e por isso eles são nosso foco aqui na disciplina de Sistemas de Controle.

Esse tipo de sistema, além de responder rapidamente à maioria dos distúrbios dos processos na indústria, também são bem eficientes e precisos na maioria dos casos.

Uma outra característica que torna os sistemas com realimentação tão eficazes e robustos é que a realimentação diminui significativamente a sensibilidade do sistema.

Em alguns casos, os parâmetros dos processos, ou até mesmo dos instrumentos do sistema de controle, podem variar por conta de variações ambientais, como a temperatura do local por exemplo. Visto isso, é sempre bom escolher sistemas de controle que variem pouco com variações externas. Essa característica é chamada sensibilidade.

Sensibilidade é o quanto a resposta do sistema varia em relação à uma variação em uma função de transferência do sistema ou em um parâmetro do processo.

Parece que eu falei grego né? Vamos entender isso melhor então.

Sensibilidade e realimentação

Considere o sistema sem realimentação abaixo:

A função de transferência desse sistema é:

Y s X s = 1 s + 1

Vamos calcular a resposta no estado estacionário desse sistema para uma entrada degrau:

Y s = 1 s + 1 1 s

y ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s + 1 1 s = 1

Agora, vamos alterar o polo em 10 % e ver como a resposta do sistema será alterada:

Calculando a resposta em estado estacionário para uma entrada degrau:

Y s = 1 s + 1,1 1 s

y ∞ = lim s → ∞ ⁡ s 1 s + 1,1 1 s = 0,9091

Sendo assim, a variação percentual da resposta é:

0,9091 - 1 1 * 100 = 9,09 %

Agora vamos fazer o mesmo para um sistema realimentado:

A função de transferência será:

Y s X s = 1 s + 1 1 + 1 s + 1 = 1 s + 2

No estado estacionário para uma entrada degrau:

y ∞ = lim s → ∞ ⁡ s 1 s + 2 1 s = 0,5

Agora vamos fazer aquela mesma alteração de 10 % no polo da função de transferência:

A nova função de transferência será:

Y s X s = 1 s + 1,1 1 + 1 s + 1,1 = 1 s + 2,1

No estado estacionário com entrada degrau:

y ∞ = lim s → ∞ ⁡ s 1 s + 2,1 1 s = 0,4762

Portanto a variação porcentual foi de:

0,5 - 0,4762 0,5 * 100 = 4,76 %

Sendo assim, quando adicionamos uma realimentação em nosso sistema a variação porcentual da resposta para um acréscimo de 10 % no polo da função de transferência caiu quase pela metade, ou seja, a sensibilidade do sistema diminui drasticamente, deixando o sistema mais estável e mais robusto.

Generalizando

De modo geral, sensibilidade pode ser definido como a razão entre a variação percentual da função de transferência do sistema pela variação percentual da função de transferência central do sistema.

Vamos achar então a sensibilidade para o processo abaixo:

A função de transferência do sistema, T ( s ) , será:

T s = Y s X s = G s 1 + G s H s

Traduzindo o que eu disse ali em cima, nesse exemplo T ( s ) é a função de transferência do sistema, e Δ T s T s é a variação percentual do sistema. G ( s ) é a função de transferência central do sistema, e Δ G s G s é a variação percentual dessa função de transferência central.

A sensibilidade do sistema então será:

S G T = ∆ T ( s ) T ( s ) ∆ G ( s _ G ( s ) = ∆ T ( s ) ∆ G ( s ) G ( s ) T ( s )

S G T é a sensibilidade do sistema T ( s ) em relação a função de transferência G ( s ) .

Aplicando o limite para pequenas variações:

S G T = ∂ T ∂ G G s T s

Como:

T s = G s 1 + G s H s

Eu posso derivar T em G :

∂ T ∂ G = 1 1 + G s H s 2

Sendo assim:

S G T = 1 1 + G s H s 2 G s G s 1 + G s H s = 1 1 + G s H s

Nesse caso, calculamos a sensibilidade do sistema com relação ao processo central da planta, entretanto, podemos calcular em relação à outras coisas como ao sensor transmissor, H ( s ) , ou até parâmetros da planta como ganho, ou constante de tempo. A lógica utilizada será a mesma. Por exemplo, para o sensor/transmissor:

S H T = ∂ T ∂ H H s T s

E para um parâmetro P qualquer:

S P T = ∂ T ∂ P P T s

Expandir

Exercício Resolvido #1

Richard C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, 8ª ed., LTC, Rio de Janeiro, 2001, E4.1 – Adaptado - Pág 166.

Um sistema de malha fechada é usado para rastrear o sol e de modo a obter o máximo de energia a partir de um painel fotovoltaico. O sistema de rastreamento pode ser representado pela figura abaixo com:

H s = 1

G s = 100 τ s + 1

Com τ = 3 segundo, nominalmente. Determine a sensibilidade desse sistema para uma variação em τ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para calcular a sensibilidade do sistema em relação a τ , primeiramente precisaremos calcular a função de transferência do sistema. Vamos chamar essa função de T ( s ) e ela pode ser encontrada através de álgebra de diagrama de blocos conforme abaixo:

T s = Y s X s = G s 1 + G s H s = 100 τ s + 1 1 + 100 τ s + 1

Multipicando por τ s + 1 em cima e embaixo teremos:

T s = 100 τ s + 1 + 100 = 100 τ s + 101

Passo 2

Para encontrar a sensibilidade do sistema em relação a τ usaremos a fórmula para a sensibilidade que está aqui ó:

S τ T = ∂ T ∂ τ τ T

Precisamos, então, calcular essa derivada. Podemos fazer usando a expressão que encontramos acima e a regrinha do quociente que aprendemos em cálculo I há 84 anos atrás:

T s = 100 τ s + 101

∂ T ∂ τ = - 100 s τ s + 10 1 2

Passo 3

Substituindo a derivada e a expressão de T na fórmula da sensibilidade:

S τ T = - 100 s τ s + 1 01 2 τ 100 τ s + 101 = - 100 s τ s + 10 1 2 τ τ s + 101 10 0

Fazendo as simplificações, teremos:

S K e ∞ = - τ s τ s + 101

Como τ = 3 :

S τ T = - 3 s 3 s + 101

Resposta

S τ T = - 3 s 3 s + 101

Exercício Resolvido #2

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exemplo 7.10. Adaptado

Dado o sistema da figura abaixo, calcule a sensibilidade da função de transferência em malha fechada a variaçãos no parâmetro a . Como você poderia reduzir a sensibilidade?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos encontrar a nossa função de transferência. Por álgebra de diagrama de blocos teremos:

T s = C s R s = G s 1 + G s

Sendo que G ( s ) é a função de transferência do processo, ou seja:

T s = C s R s = K s s + a 1 + K s s + a

T s = K s s + a + K

T s = K s 2 + a s + K

Passo 2

Para encontrar a sensibilidade da função de transferência em malha fechada em relação ao parâmetro a , S a T , devemos seguir a seguinte fórmula:

S a T = ∂ T ∂ a a T s

Ou seja, precisamos calcular a derivade de T , em relação a a . Como:

T s = K s 2 + a s + K

∂ T ∂ a = - K s s 2 + a s + K 2

Passo 3

Substituindo na fórmula da sensibilidade:

S a T = ∂ T ∂ a a T s = - K s s 2 + a s + K 2 a K s 2 + a s + K    

S a T = - K s s 2 + a s + K 2 a s 2 + a s + K K

S a T = - a s s 2 + a s + K  

Apesar da sensibilidade em relação ao parâmetro a ser uma função de s , dá pra ver que para qualquer valor de s , um aumento no ganho vai diminuir a sensibilidade.

Resposta

S a T = - a s s 2 + a s + K  

É possível diminuir a sensisbilidade aumenta o ganho K .

Exercício Resolvido #3

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exemplo 7.11. Adaptado

Determine a sensibilidade do erro em regime permanente para uma entrada rampa do sistema abaixo em relação a K e a .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de mais nada, precisamos definir a nossa fórmula do erro em regime permanente.

O erro pode ser calculado como:

E s = R s 1 + G s

Sendo assim, o erro em regime permanente pode ser calulado utilizando-se o teorema do valor final nessa fórmula:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G s

Sendo que R ( s ) é a entrada e G ( s ) a função de transferência do processo.

Para o nosso exercício, temos uma entrada rampa e a função de transferência é dada na figura:

R s = 1 s 2

G s = K s s + a

Portanto:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s 2 1 + K s s + a = lim s → 0 ⁡ s s + a s s s + a + K = lim s → 0 ⁡ s + a s s + a + K = a K

Passo 2

Sendo assim, a sensibilidade do erro em relação ao parâmetro a será:

S a e ∞ = ∂ e ∞ ∂ a a e ∞

Como:

∂ e ∞ ∂ a = 1 K

Teremos:

S a e ∞ = ∂ e ∞ ∂ a a e ∞ = 1 K a a K = 1

Passo 3

E a sensibilidade em ralação ao ganho K será:

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞

Como:

∂ e ∞ ∂ K = - a K 2

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞ = = - a K 2 K a K = - 1

Esses resultados indicam que não é possível aumentar ou diminuir a sensibilidade do erro em regime permanente em relação a esses parâmetros. O sinal negativo na sensibilidade do ganho acontece porque um aumento em K causa uma diminuição de e ∞ , e vice-versa.

Resposta

S a e ∞ = 1

S K e ∞ = - 1

Exercício Resolvido #4

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exemplo 7.12. Adaptado

Determine a sensibilidade do erro em regime permanente a variações em K e em a para o sistema mostrado abaixo com uma entrada degrau.

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Passo 1

Primeiramente, vamos determinar o erro em regime permanente para esse sistema e entrada degrau:

E s = R s 1 + G s

Sendo assim, o erro em regime permanente pode ser calulado utilizando-se o teorema do valor final nessa fórmula:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G s

Sendo que R ( s ) é a entrada, que nesse caso é um degrau e G ( s ) a função de transferência do processo que foi dada na figura aí em cima.

R s = 1 s

G s = K s + a ( s + b )

Portanto:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s 1 + K s + a ( s + b ) = lim s → 0 ⁡ ( s + a ) ( s + b ) s + a ( s + b ) + K = a b a b + K

Passo 2

Sendo assim, a sensibilidade do erro em relação ao parâmetro a será:

S a e ∞ = ∂ e ∞ ∂ a a e ∞

Usando a regra do quociente, podemos calcular:

∂ e ∞ ∂ a = b a b + K - b ( a b ) a b + K 2

Portanto:

S a e ∞ = b a b + K - b ( a b ) a b + K 2 a a b a b + K = b 1 + K - b a b + K = K a b + K

Passo 3

Vamos fazer o mesmo agora para K :

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞

Usando a regra do produto novamente para calcular a derivada:

∂ e ∞ ∂ K = - a b a b + K 2

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞ = = - a b a b + K 2 K a b a b + K = - K a b + K

Resposta

S a e ∞ = K a b + K

S K e ∞ = - K a b + K

Exercício Resolvido #5

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exercício 7.6

Determine a sensibilidade do erro em regime permanente a variações de K para o sistema mostrado abaixo com uma entrada degrau.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bora lá. Primeiro de tudo, devemos determinar a expressão do erro em regime permanente. A fórmula do erro que conhecemos é essa:

E s = R s 1 + G s

Sendo assim, o erro em regime permanente pode ser calulado utilizando-se o teorema do valor final nessa fórmula:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G s

R ( s ) é a entrada, que nesse caso é um degrau e G ( s ) a função de transferência do processo que foi dada na figura aí em cima.

R s = 1 s

G s = K ( s + 7 ) s 2 + 2 s + 10

Jogando tudo na expressão de e ∞ :

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s 1 s 1 + K ( s + 7 ) s 2 + 2 s + 10 = lim s → 0 ⁡ s 2 + 2 s + 10 s 2 + 2 s + 10 + K ( s + 7 ) = 10 10 + 7 K

Passo 2

Para encontrar a sensibilidade do erro em regime permanente em relação a K , usaremos a seguinte fórmula:

S K e ∞ = ∂ e ∞ ∂ K K e ∞

A derivada, nós podemos calcular utilizando a regra do quociente:

∂ e ∞ ∂ K = - 70 10 + 7 K 2

Passo 3

Substituindo a derivada e a expressão de e ∞ na fórmula da sensibilidade:

S K e ∞ = - 70 10 + 7 K 2 K 10 10 + 7 K = = - 70 10 + 7 K 2 K 10 + 7 K 10

Fazendo as simplificações, teremos:

S K e ∞ = - 7 K 10 + 7 K

Resposta

S K e ∞ = - 7 K 10 + 7 K

Exercício Resolvido #6

Richard C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, 8ª ed., LTC, Rio de Janeiro, 2001, E4.2 – Adaptado - Pág 166.

Um sistema digital de áudio é projetado para minimizar o efeito de perturbações e de ruído, como mostra a figura abaixo.

Como aproximação pode-se representar G s = K 2 . Calcule a sensibilidade do sistema com relação a K 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, vamos usar álgebra de diagrama de blocos para calcular a função de transferência do sistema em malha fechada.

T s = V 0 s V i n s = G s K 1 + D s 1 + K 1 G ( s )

Como G s = K 2 teremos:

T s = K 2 K 1 + D s 1 + K 1 K 2

Passo 2

Vamos usar a fórmula da sensibilidade para conseguir determinar a sensibilidade do sistema em relação a K 2

S K 2 T = ∂ T ∂ K 2 K 2 T

Primeiramente, vamos calcular essa derivada enjoada aí. Como:

T s = K 2 K 1 + D s 1 + K 1 K 2

Podemos usar a regra do quociente e encontrar

∂ T ∂ K 2 = K 1 + D s 1 + K 1 K 2 - K 1 K 2 K 1 + D s 1 + K 1 K 2 2

Passo 3

Substituindo tudo na expressão da sensibilidade teremos:

S K 2 T = ∂ T ∂ K 2 K 2 T = K 1 + D s 1 + K 1 K 2 - K 1 K 2 K 1 + D s 1 + K 1 K 2 2 K 2 K 2 K 1 + D s 1 + K 1 K 2

Fazendo as simplificações, teremos:

S K 2 T = 1 + K 1 K 2 - K 1 K 2 1 + K 1 K 2 = 1 1 + K 1 K 2

Resposta

S K 2 T = 1 1 + K 1 K 2

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Dada a função de transferência abaixo:

G s = h 2 s + 1

Calcule S h G .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para calcular S h G , ou seja, a sensibilidade de G em ralação a h , usaremos a seguinte fórmula:

S h G = ∂ G ∂ h h G

Primeiramente, vamos calcular a derivada ∂ G ∂ h :

∂ G ∂ h = 1 2 h 2 s + 1

Passo 2

Substituindo tudo na expressão da sensibilidade teremos:

S h G = ∂ G ∂ h h G = 1 2 h 2 s + 1 h h 2 s + 1

Rearranjando:

S h G = ∂ G ∂ h h G = 1 2 h 2 s + 1 h ( 2 s + 1 ) h

Cortando tudo que da pra cortar, ficaremos apenas com:

S h G = 1 2

Resposta

S h G = 1 2

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Um sistema de controle é representado pelo diagrama de blocos abaixo:

Encontre a sensisbilidade desse sistema com relação à constante de tempo do transmissor, τ H .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar determinando a função de transferência em malha fechada do sistema.

Usando as regrinhas de álgebra de diagrama de blocos teremos:

T s = Y s X s = K τ s + 1 1 + K τ s + 1 K H τ H s + 1

Rerranjando essa função de transferência teremos:

T s = K τ s + 1 ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H τ H s + 1 = K τ H s + 1 [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] τ s + 1

Passo 2

Para calcular a sensibilidade, vamos aplicar a fórmula abaixo:

S τ H T = ∂ T ∂ τ H τ H T

Vamos começar, calculando a derivada ∂ T ∂ τ H . Como:

T s = K τ H s + 1 [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] τ s + 1

Podemos usar a regra do quociente e encontrar ∂ T ∂ τ H :

∂ T ∂ τ H = K s [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] τ s + 1 - K s ( τ s + 1 ) ² τ H s + 1 { [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] τ s + 1 } ²

Passo 3

Substituindo tudo na expressão da sensibilidade teremos:

S τ H T = ∂ T ∂ τ H τ H T = K s [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] τ s + 1 - K s ( τ s + 1 ) ² τ H s + 1 { [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] τ s + 1 } ² τ H K τ H s + 1 [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] τ s + 1

Meu deus, ficou enorme! Mas calma que dá pra simplificar um pouco:

S τ H T = s [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] - K s ( τ s + 1 ) τ H s + 1 [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] τ H τ H s + 1

Resposta

S τ H T = s [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] - K s ( τ s + 1 ) τ H s + 1 [ ( τ H s + 1 ) ( τ s + 1 ) + K K H ] τ H τ H s + 1

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