Sistemas de segunda ordem

Teoria Completa

Introdução

Agora que já matamos no peito e dominamos os processos caracterizados por funções de transferência de primeira ordem, vamos nos aprofundar e partir para os sistemas de segunda ordem.

Assim como as funções de transferência de primeira ordem eram originárias de equações diferenciais de primeira ordem, as funções de transferência de segunda ordem também serão originadas a partir de equações diferenciais de segunda ordem.

Então, seja a EDO de segunda ordem:

a 2 d 2 y t d t 2 + a 1 d y t d t + a 0 y t = b x t

Aplicando a transformada de Laplace:

a 2 s 2 Y s + a 1 s Y s +   a 0 Y s = b X ( s )

Colocando Y ( s ) em evidência:

a 2 s 2 + a 1 s + a 0 Y s = b X ( s )

Y s X s = b a 2 s 2 + a 1 s + a 0

Para a função de transferência de segunda ordem, também teremos uma expressão padrão que será muito útil e que retornaremos nela muitas vezes:

Y s X s = K τ 2 s 2 + 2 τ ζ s + 1

Se nós compararmos o nosso exemplo genérico com a função de transferência padrão de segunda ordem, teremos:

K = b a 0

τ = a 2 a 0

ζ = a 1 2 a 0 a 2

Repare que dividimos tanto o numerador quando o denominador da função de transferência por a 0 para que conseguíssemos comparar a expressão da função de transferência com a expressão padrão.

Os parâmetros K , e τ , assim como nos sistemas de primeira ordem, representam o ganho e a constante de tempo do processo. O parâmetro ζ , é o fator de amortecimento do sistema e vamos nos aprofundar nele já já.

Tipos de respostas do sistema de segunda ordem

Os sistemas de segunda ordem, diferentemente dos sistemas de primeira ordem, podem apresentar diferentes tipos de respostas de acordo com as raízes do denominador da função de transferências.

Essas raízes, determinarão a razão de amortecimento do sistema.

Caso as raízes da equação quadrática do denominador sejam dois números reais diferentes, nós chamamos a resposta de superamortecida.

Se as raízes forem dois números reais iguais, nós chamaremos a resposta de criticamente amortecida.

Se as raízes forem dois números imaginários, a resposta será subamortecida.

Além disso, se as raízes forem dois números imaginários puros (parte real nula), a resposta é do tipo não-amortecida.

Obs: em todos os casos estamos considerando raízes reais negativas, ou imaginárias com partes reais negativas. Caso contrário, essa classificação não se aplica, e entenderemos mais para frente o porquê.

O fator de amortecimento, ζ ,está diretamente relacionado com o tipo de resposta do sistema:

Resposta superamortecidas

Os sistemas superamortecidos são aqueles em que as raízes do polinômio do denominador da função de transferência são dois números reais negativos diferentes. Por exemplo:

Y s X s = 1 s + 1 s + 2

Nesse exemplo, as raízes da expressão do denominador são - 1 e - 2 , logo, esse é um sistema superamortecido.

Os sistemas superamortecidos apresentam sempre ζ > 1 . A gente pode comprovar isso no nosso exemplo expandindo a multiplicação do denominador e verificando o valor de ζ

Y s X s = 1 s 2 + 3 s + 2  

Comparando com a expressão padrão que vimos a cima, obtemos:

K = 0,5

τ = 0,5 = 0,71

ζ = 1,06

Então já vimos que os sistemas superamortecidos apresentam duas raízes reais negativas diferentes no polinômio do denominador, e que o seu fator de amortecimento, ζ , sempre será maior que 1 . Essas características fazem com que a resposta de um sistema de segunda ordem superamortecido seja sempre monótona (não-oscilatória).

Para uma entrada degrau, a expressão para a resposta fica:

Y s = K ( τ 1 s + 1 ) ( τ 2 s + 1 ) A s

Abrindo em frações parciais e calculando a inversa:

y t = K A   1 - τ 1 τ 1 + τ 2 e - t τ 1 - τ 2 τ 1 + τ 2 e - t τ 2

O desenvolvimento do cálculo da inversa aqui não é interessante, caso você não se lembre e tenha interesse em relembrar como fazer, a aula de Transformadas de Laplace explica bem esse cálculo.

Esse é o gráfico para uma entrada degrau de uma função superamortecida. Como você pode notar, ela é monótona (não-oscilatória), e em t → ∞ , a resposta tende a estabilizar em um valor que é igual a K A (ganho vezes amplitude do degrau).

A linha azul e a linha vermelha representam dois processos superamortecidos com o mesmo ganho, K , a mesma constante de tempo, τ , e a mesma amplitude de degrau, A . O que difere os dois é o fator de amortecimento, ζ . O processo da linha vermelha tem o fator de amortecimento igual a 1,06 , enquanto o processo da linha azul tem fator de amortecimento igual a 2,125 . Isso nos mostra que quanto maior o fator de amortecimento, maior vai ser a tendência da resposta se comportar como uma linha reta em vez de se comportar como uma exponencial. Ou seja, quanto maior o fator de amortecimento, ζ , mais amortecido será a resposta.

Resposta subamortecidas

Os sistemas subamortecidos são os casos em que as raízes do polinômio do denominador da função de transferência são dois números imaginários com parte real negativa. Por exemplo:

Y s X s = 1 s 2 + 3 s + 9

Nesse caso, as raízes do polinômio são:

r 1 =   - 1,5 +   5 i

r 2 = -   1,5 - 5 i

Como as raízes são dois números imaginários com parte real negativa, o sistema é subamortecido. Os sistemas subamortecidos tem fator de amortecimento, ζ , entre 0 e 1 . Podemos verificar o fator de amortecimento do exemplo acima para comprovar isso:

K = 1 9

τ = 1 3

ζ = 1 2

A principal característica dos sistemas subamortecidos, é que devido às suas raízes imaginárias, as suas respostas são do tipo oscilatória.

Quanto menor for o fator de amortecimento do processo mais oscilatória será a resposta.

A figura mostra dois processo subamortecidos que possuem o mesmo ganho, K , a mesma constante de tempo, τ , e submetidos a mesma variação degrau na entrada. Entretanto, o sistema da linha verde tem fator de amortecimento, ζ , igual a 0,3 , enquanto o da linha azul é igual a 0,5 .

Pela imagem, percebemos que quanto menor o fator de amortecimento, maiores são as oscilações da resposta.

Para os sistemas subamortecidos, alguns parâmetros podem ser definidos:

  • O overshoot pode ser definido como a razão entre o valor que o primeiro pico excede o valor do estado estacionário e a variação do estado estacionário. Ele pode ser aproximado como:
  • O S =   e - π ζ 1 - ζ 2

  • A razão de declínio é a razão entre os valores de dois picos consecutivos, ela pode ser aproximada como o overshoot ao quadrado:
  • D R = O S 2

  • O Período ( T ) é o tempo entre dois picos consecutivos ou dois vales consecutivos;
  • O tempo de subida ( t r ), pode ser definido como o tempo que a resposta leva para ir de 10 % até 90 % da resposta final pela primeira vez, ou como o tempo que a resposta leva para atingir o valor do estado estacionário pela primeira vez. Pode ser aproximado como:
  • t r = 0,25 T

  • O tempo de estabilização ( t s ), pode ser definido como o tempo que a resposta leva para ficar numa faixa de 5 % da resposta final. Ele pode ser aproximado como:
  • t s = 3 τ ζ

  • O tempo até o primeiro pico ( t p ) pode ser aproximado como:

t p =   π τ 1 - ζ 2

Casos intermediários

Existem alguns casos em que não é possível classificar um sistema como amortecido ou subamortecido. Esses casos são aquele onde ζ =1 ou ζ = 0 .

Quando ζ = 1 , dizemos que o sistema é criticamente amortecido. Ou seja, ele tá no limite entre superamortecido e subamortecido. Se mexermos um cabelímetro na nossa função de transfeência ele se torna um dos dois casos. Os sistemas criticamente amortecidos são aqueles em que as raízes do denominador são dois números reais negativos iguais, Por exemplo:

Y s X s = 1 s + 1 2

O gráfico para a resposta dos sistemas criticamente amortecidos tem a seguinte forma:

Eles são muito parecidos com os superamortecidos, mas se o fator de amortecimento deles diminuir um pouquinho, eles já começam a oscilar, mesmo que bem pouco.

Outro caso intermediário é quando o fator de amortecimento, ζ , é igual a 0 . Esse caso acontece quando a parte real das raízes imaginárias do polinômio do denominador é nula. Por exemplo:

Y s X s = 1 s 2 + 9

Nesses casos, as oscilações da resposta não diminuem:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Prof Luiz de França Neto, Introdução ao controle de processos químicos, Santos – SP, 2017, Exercício 3.18, pag. 28

A figura acima representa a resposta da variável de saída a uma perturbação degrau de magnitude 2 unidades na variável de entrada de um sistema de segunda ordem, a partir de um instante em que o processo estava em regime permanente. Com base nessas informações, conclui-se que

a) o sistema I tem fator de amortecimento ( ζ ) maior que o sistema II.

b) o tempo de subida (ou ascensão) do sistema I é 10 min.

c) os dois sistemas têm fator de amortecimento ( ζ ) maiores do que 1 .

d) a sobreelevação do sistema II é 0,6 .

e) o sistema I é mais estável quando comparado ao sistema II.

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Passo 1

Temos aqui então, um gráfico com a resposta de dois processos de segunda ordem. Podemos notar que ambos os processos são subamortecidos, uma vez que apresentam respostas oscilatórias.

Vamos analisar cada uma das alternativas.

Passo 2

A afirmação da alternativa (a) diz que o sistema I tem fator de amortecimento maior que o sistema II.

Nós sabemos que sistemas subamortecidos tem fator de amortecimento entre 0 e 1 , e que quanto mais próximo de 0 , mais oscilatório ele será, e menos oscilatório conforme ele se aproxima de 1 .

O gráfico nos mostra que o sistema I é mais oscilatório que o sistema II, portanto, seu fator de amortecimento, ζ , é menor.

Então, a alternativa (a) é falsa.

Passo 3

A alternativa (b) afirma que o tempo de subido do sistema I é de 10 minutos.

O tempo de subida é definido como o tempo que o sistema leva para ir de 10 % até 90 % da resposta do valor final. Pelo gráfico podemos perceber que esse valor é bem menos que 10 minutos (aproximadamente metade disso).

Portanto, a alternativa (b) também é falsa.

Passo 4

A alternativa (c) diz que os dois sistemas tem fator de amortecimento maior que 1 .

Como já falamos no passo 1, ambos os sistemas são subamorteidos e portanto têm fator de amortecimento entre 0 e 1 .

A alternativa (c) é falsa, portanto.

Passo 5

A alternativa (d) diz que a sobrelevação do sistema II é 0,6 .

Sobrelevação é uma outra forma de se definir overshoot, que é a razão entre o valor que o primeiro pico excede o estado estacionário e a variação do estado estacionário.

Para o sistema II, podemos ver pelo gráfico que o primeiro pico acontece em 1,6 , e que o estado estacionário é em 1,0 . Sendo assim:

O S = 1,6 - 1,0 1,0 - 0 =     0,6

A alternativa (d), portanto, é verdadeira.

Passo 6

A alternativa (e) afirma que o sistema I é mais estável que o sistema II.

O gráfico nos mostra que o sistema II se aproxima da resposta final muito mais rapidamente que o sistema I, além disso, podemos dizer que de forma geral quanto mais oscilatório for um sistema, menos estável ele é. Como o sistema I é mais oscilatório que o sistema II, ele é menos estável.

Então, a alternativa (e) também é falsa.

Resposta

d) a sobreelevação do sistema II é 0,6 .

Exercício Resolvido #2

Prof Luiz de França Neto, Introdução ao controle de processos químicos, Santos – SP, 2017, Exercício 3.22, pag. 29

A função de transferência de um sistema dinâmico de 2ª ordem é dada por:

Y s U s = 1 0,64 s 2 + 0,48 s + 1  

Considerando uma perturbação do tipo degrau unitário, responda:

a) Quais os valores do fator de amortecimento e da constante de tempo?

b) Como este sistema pode ser classificado quanto ao seu amortecimento?

c) Quais os valores máximo (pico) e estacionário atingidos pela resposta após a perturbação?

d) Quais os tempos de primeiro pico e de estabilização?

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Passo 1

O enunciado nos deu uma função de primeira ordem e nos pediu para caracterizar uma série de parâmetros com base na sua função de transferência.

Para Isso, precisaremos comparar a função de transferência que foi dada, com a função de transferência padrão de segunda ordem:

Y s U s = K τ 2 s 2 + 2 τ ζ s + 1

Como na noss F.T. já temos aquele 1 no denominador, não precisaremos alterar nada nela para que ela se adeque, já que ela já está no formato que precisamos.

Passo 2

O item (a) pede que a gente calcule o fator de amortecimento ( ζ ) e a constante de tempo ( τ ).

A gente pode encontar esses valores comparando a expressão do passo 1 com a função de transferência:

τ = 0,64 = 0,8

2   .   0,8   .   ζ = 0,48

ζ =   0,3

Não foi pedido para a gente calcular o ganho ( K ), mas o que que custa não é mesmo?

K = 1

Passo 3

O item (b) pede a classificação do sistema quanto ao seu amortecimento.

Essa classificação depende diretamente do fator de amortecimento ( ζ ):

ζ = 0,3

O nosso fator de amortecimento está entre 0 e 1 , e quando ele se encontra nessa faixa, o sistema é classificado como subamortecido.

Passo 4

O item (c) pede o valor máximo de pico e de estado estacionário.

O valor de estado estacionário pode ser calculado sempre como o ganho vezes a amplitude do degrau. Como o ganho é 1 e a amplitude do degrau também é 1 , o valor do estado estacionário também será 1.

O valor máximo de pico pode ser calculado através do overshoot ( O S ):

O S =   e - π ζ 1 - ζ 2

O S =   e - π . 0,3 1 - 0,3 2 = 0,37

Como o overshoot por definição é a razão entre a quantidade que o primeiro pico excedeu o estado estacionário sobre a variação do estado estacionário, podemos dizer que:

O S = 0,37 = e x c e s s o   d o   p r i m e i r o   p i c o   e m   r e l a ç ã o   a o   e s t a d o   e s t a c i o n á r i o 1

Logo o excesso do primeiro pico em relação ao estado estacionário será 0,37 e o valor absoluto do primeiro pico será 1,37 .

Passo 5

O tempo de primeiro pico pode ser calculado a partir da fórmula:

t p =   π τ 1 - ζ 2