Sistemas de primeira ordem

Teoria Completa

Introdução

Neste tópico vamos aprender um pouco sobre sistemas de primeira ordem, ou seja, sistemas cujas funções de transferências são derivadas de uma EDO de primeira ordem.

A expressão geral de uma função de transferência de primeira ordem é essa:

Y s X s = K τ s + 1

Onde:

  • Y s = Variável de entrada
  • X s = Variável de saída
  • K =   Ganho do processo
  • τ = Constante de tempo de primeira ordem

O ganho do processo K é a razão entra a variação da variável de saída em relação à variável de entrada. Dessa forma:

K = ∆ Y ∆ X

Já a constante de tempo, τ , caracteriza o tempo de resposta de um sistema. Maiores constantes de tempo indicam um sistema mais lento, enquanto constantes de tempos baixas indicam processos mais ágeis, ou seja, que se aproximam do valor final mais rapidamente.

Obtendo a função de transferência de primeira ordem

Beleza, mas como a gente chega nessa expressão? Para responder isso, vamos lembrar do nosso exemplo do tanque de nível que vimos no tópico de modelos fluídicos.

Para relembrar: nós queremos controlar o nível do tanque h ( t ) em relação a variações na vazão de entrada q i ( t ) . Após fazermos a modelagem, linearização e introduzirmos as variáveis desvio, nossa EDO ficou da seguinte forma:

A . d h - t d t = q i - t - 1 2 R h 0 h - ( t )

Repara que essa é uma EDO de primeira ordem, o que indica que a função de transferência resultante será uma função de transferência de primeira ordem. Vamos conferir?

Para facilitar nossa vida, vamos chamar c = 1 2 R h 0     , para não termos que ficar escrevendo esse termo grande sempre. Então:

A . d h - t d t = q i - t - c . h - ( t )

Assim que o nosso modelo já está prontinho (linearizado e em variáveis desvio), o próximo passo é aplicar a transformada de Laplace na EDO:

A s H s = Q i s - c H ( s )

Lembrando que a transformada de Laplace da derivada primeira de uma função é sempre s vezes a transformada da própria função. Além disso, estamos considerando que todos os termos nos estados iniciais são iguais a 0 , porque introduzimos as variáveis de desvio e também por que essa é uma das condições para se ter uma função de transferência, lembra?

Agora passamos os termos com H ( s ) para a esquerda e isolamos ele:

A s + c H s = Q i ( s )

Rearranjando:

H s Q i s = 1 A s + c

OPA, tá muito parecido com o modelo padrão que eu coloquei ali em cima né, mas repara que na equação padrão de primeira ordem, sempre aparece um 1 no denominador, então nós vamos dividir o numerador e o denominador por c para forçar esse 1 a aparecer.

H s Q i s = 1 / c A s c + 1

Agora sim temos a nossa função de transferência de primeira ordem no modelo padrão. Colocar ela no jeitinho que o modelo manda é fundamental para que a gente consiga fazer a comparação e encontrar os parâmetros. Nesse caso

K = 1 c

τ = A c

Resposta ao degrau

Como vimos, a equação característica para a função de transferência de primeira ordem é:

Y s X s = K τ s + 1

Sendo, assim a expressão para a resposta (variável de saída) do sistema é:

Y ( s ) = K τ s + 1 X ( s )

A variável de saída Y ( s ) , depende diretamente da entrada X ( s ) , e portanto, pode reagir de diferentes formas para diferentes variáveis de entrada X ( s ) .

Imagine que no exemplo do tanque de nível, em um dado momento, a vazão de entrada passou de 5   m 3 / s para 10   m 3 / s . Esse tipo de variação da variável de entrada, onde acontece uma mudança pontual no valor da variável é chamado de degrau. Nesse caso, dizemos que ocorreu uma perturbação degrau de amplitude (ou magnitude) 5 .

A transformada de Laplace para a perturbação degrau é:

X s = A s

Onde A é a amplitude do degrau.

Portanto, a expressão de Y ( s ) fica:

Y s = K τ s + 1 A s  

Fazendo a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo:

y t = K A 1 - e - t τ

Antes de fazer a transformada inversa, primeiramente devemos separar a equação em frações parciais, caso você não se lembre como fazer esse processo, seria bacana dar uma revisada na aula de transformadas de Laplace e suas inversas.

Tempo de subida e tempo de acomodação

Vimos ali em cima que a entrada degrau nos dá uma resposta no domínio tempo do tipo:

y t = K A 1 - e - t τ

Essa resposta, devido ao termo exponencial, gera um gráfico mais ou menos assim:

Devido a esse comportamento exponencial da resposta, existem duas constantes que são muito importantes para o estudo das funções de primeira ordem com entrada degrau.

A primeira delas é o tempo de subida T r (esse ‘r’ é de ‘rising’), que se refere ao tempo que a resposta leva para ir de 0,1   y ( t ) a 0,9   y ( t ) . Ela pode ser definida matematicamente como:

T r = 2,2 τ

Além disso, temos ainda o tempo de acomodação ( T s ) (o ‘s’ é de settling), que é o tempo para a resposta alcance uma faixa limite da resposta final. Esse valor pode mudar dependendo da faixa que for estipulada.

Por exemplo, se a exigência for que a resposta atinja uma faixa menor que 2 % da resposta final, esse valor pode ser aproximado como:

T r = 4 τ

Agora, se a sua faixa for mais restrita, menor que 1 % por exemplo, o tempo de acomodação será:

T r = 5 τ

Obs: esses termos podem aparecer com outras nomenclaturas ou outras simbologias dependendo da referência que o seu professor usa ;)

Resposta à rampa

Quando a variável de entrada começa a variar linearmente a partir de um estado inicial, chamamos essa perturbação de rampa:

Para a rampa, a transformada de Laplace é:

X s = r s 2

Onde r é a inclinação da rampa.

Sendo assim, a resposta Y ( s ) fica:

Y s = K τ s + 1 r s 2

Fazendo a inversa:

y t = K r τ e - t τ + K r t - τ u ( t )

Além da rampa e do degrau, existem ainda outros tipos de perturbação, como o impulso e a perturbação senoidal, entretanto esses tipos de perturbação não são tão comuns quanto o degrau e a rampa e por isso nós focamos apenas nessas duas aqui, mas fique ligado que você pode encontrar essas outras por aí também.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Problema 4.2. Adaptado

Obtenha a resposta de saída, c ( t ) , para cada um dos sistemas mostrados abaixo. Além disso, obtenha a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação para uma faixa menor que 1 % da resposta final para cada caso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Esse é aquele tipo clássico de questão onde a gente tem uma função de transferência e precisamos compará-la com a função de transferência padrão para encontrar nossos parâmetros.

A função de transferência padrão de primeira ordem é assim:

Y s X s = K τ s + 1

Precisamos então colocar a nossa função de transferência nessa forma. Para isso, o termo independente de s no denominador precisa ser 1. Então dividimos nossa função de transferência em cima e embaixo por ele. Para o item (a):

C s = 1 1 5 s + 1 . 1 s

Passo 2

Agora já podemos fazer a comparação. No item (a):

K = 1

τ = 1 5   s

Agora que temos nossa constante de tempo, τ , podemos calcular o tempo de subida, T r , e o tempo de acomodação, T s .

T r = 2,2 τ = 2,2 5 = 0,44   s

T s = 5 τ = 5 5 = 1   s

Passo 3

Para encontrar a resposta c ( t ) devemos calcular a transformada de Laplace inversa de

C s = 1 1 5 s + 1 . 1 s

Porém, a gente já tem um modelinho pronto pra funções de primeira ordem com entrada degrau:

y t = K A 1 - e - t τ

Então, só precisamos substituir os valores de ganho, constante de tempo e de amplitude do degrau na equação:

K = 1

A = 1 τ = 1 5

c t = 1 - e - 5 t

Passo 4

Fazendo o mesmo para o item (b)

C s = 1 1 20 s + 1 . 1 s

Comparando com a equação padrão:

K = 1

τ = 1 20   s

Passo 5

Os tempos de subida e acomodação serão:

T r = 2,2 τ = 2,2 20 = 0,11   s

T s = 5 τ = 5 20 = 0,25   s

E a resposta c ( t ) :

c t = 1 - e - 20 t

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Encontre a função de transferência para a equação abaixo e determine K e τ .

6 d y ( t ) d t + 3 y ( t ) = 2 x ( t )  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como a gente tem a EDO no domínio tempo, o primeiro passo será aplicar transformada de Laplace em nossa equação, já que função de trsnferências sempre serão representadas no domínio s.

Vamos aplicar a transformada em cada termo:

L 6 d y t d t = 6 s Y ( s )

L 3 y t = 3 Y ( s )

L 2 x t = 2 X ( s )

Reescrevendo nossa equação agora em termos de s:

6 s Y s + 3 Y s = 2 X ( s )

Passo 2

Agora devemos rearranjar nossa equação para que ela fique com cara de função de transferência. Colocando Y ( s ) em evidência:

6 s + 3 Y s = 2 X ( s )

Y s X s = 2 6 s + 3

Passo 3

Agora já temos nossa função de trsnferência:

Y s X s = 2 6 s + 3

E para achar o ganho, K , e a constante de tempo, τ , precisamos comparar a noss FT com a FT padrão de primeira ordem:

Y s X s = K τ s + 1

Para isso, nós precisamos fazer aparecer aquele 1 no nosso denominador, então vamos dividir toda nossa FT por três:

Y s X s = 2 / 3 2 s + 1

Então, comparando com a FT padrão:

K = 2 3

τ = 2

Resposta

Y s X s = 2 / 3 2 s + 1

K = 2 3

τ = 2

Exercício Resolvido #3

Prof Luiz de França Neto, Introdução ao controle de processos químicos, Santos – SP, 2017, Exercício 3.1, pag. 20

A figura abaixo representa a resposta da variável de saída y ( t ) a uma perturbação degrau de magnitude de 2 unidades na variável de entrada de um processo, a partir de um instante em que o processo estava em regime permanente. Com base nessas informações defina a função de transferência do processo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O exercício pede que a gente determine a função de transferência do processo, e pela cara do gráfico já dá pra matar que é uma função de transferência de primeira ordem.

A função de transferência de primeira ordem padrão é desse jeitinho aqui ó:

Y s X s = K τ s + 1  

Então, para determinar nossa F.T. devemos encontrar os valores dos parâmentros K e τ .

Passo 2

Vamos focar primeiramente no nosso ganho K .

O ganho, por definição é a razão entre a variação da variável de saída sobre