Controle cascata

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Teoria

Introdução

O controle feedback é o mais comum e o mais usado na indústria, isso é notícia velha já. Entretanto, nem todo processo que a gente vai encontrar por aí o feedback vai dar conta de controlar adequadamente. Por isso é necessário criar estratégias mais elaboradas de controle para atender a esses processos mais rigorosos.

Uma delas é o controle feedforward, que é aquele que mede um distúrbio para tentar controlar o processo antes mesmo desse distúrbio impactar o processo, lembra?

E uma outra opção é o controle representado pelo diagrama de blocos da figura abaixo:

Esse cara aí é, nada mais nada menos, que o sistema de controle em cascata.

Esse sistema apresenta ótimos resultados para processos lentos e com alto número de distúrbios e por isso é considerado uma das melhores estratégias de controle que existe. O gráfico abaixo mostra uma comparação para o controle de temperatura de um mesmo processo usando o controle feedback e o controle cascata.

Controle cascata

Vamos começar a entender então como esse controle funciona.

O controle cascata pode ser explicado como dois controles feedback acoplados. No controle cascata temos dois sensores, dois controladores, porém apenas uma válvula.

Além disso, o controle cascata pode ser dividido em duas malhas, a malha primária (externa) e a malha secundária (interna):

A malha primária é quem mede e controla a variável controlada do processo. Para a malha primária é como se a malha secundária fosse uma parte do processo. Repare que se toda a malha secundária for reduzida a apenas um bloco, esse bloco funcionaria como o elemento final de controle da malha primária que seria um feedback clássico.

A malha secundária mede e controla uma variável secundária que afeta diretamente a variável primária. Essa variável secundária tem, obrigatoriamente, dinâmica mais rápida e por isso ela é controlada primeiro de forma a corrigir o desvio da variável controlada o mais rápido possível. Alguns livros sugerem que a constante de tempo de G P 2 seja pelo menos três vezes menor que a de G P 1 .

Uma outra coisa bacana de se reparar é que o sinal de saída do controlador primário é quem determina o setpoint do controlador secundário. Na prática isso quer dizer que quando acontece algum distúrbio na variável primária, que é a nossa variável controlada, o controlador primário muda o setpoint da variável secundária fazendo ela se ajustar e corrigir o distúrbio da variável primária.

É por isso que em alguns livros a variável primária é chamada de mestre e a secundária é chamada de servo.

Como a variável secundária é a serva, ela é a primeira a corrigir algum distúrbio que aconteça no processo, isso pode ser notado pelo fato do elemento final de controle (válvula, bomba, amplificador, etc) estar diretamente ligado ao controlador secundário.

Por isso, uma exigência do controle cascata é que a malha secundária tenha resposta mais rápida às alterações na variável manipulada do que a malha primária. Caso isso não ocorra, o controle cascata fica instável.

Exemplo - controle cascata

Vamos ver um exemplo na prática de controle cascata comparando com um feedback.

Imagina que em um reator acontece uma reação exotérmica e deseja-se controlar a temperatura de saída desse reator. O controle pode ser feito através do feedback medindo-se a temperatura de saída e manipulando a entrada do reagente B no reator que é o reagente limitante, conforme a figura abaixo:

Vamos tentar pensar então em uma forma de introduzir o controle cascata no processo acima.

Recapitulando: precisamos controlar a temperatura de saída e estamos controlando a entrada do reagente limitante da reação exotérmica que está acontecendo no nosso reator.

Para introduzir o controle cascata, precisamos de uma variável secundária. A variável secundária é uma variável intermediária, isso porque ela “se encontra” sempre entre a variável manipulada e a controlada. Nesse caso, então, podemos adotar como variável secundária a temperatura dentro do reator.

Nesse cenário, nosso controle cascata ficaria assim:

Dessa forma, quando varrições na temperatura do reator começarem a acontecer, a variável manipulada já será corrigida.

Repare também que a saída do controlador primário é o controlador secundário, pois como a gente viu ali em cima é o controlador primário quem determina o setpoint do controlador secundário.

Exemplo - controle cascata

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Explique resumidamente como funciona o controle cascata.

Passo 1

O controle cascata usa a correção de uma variável secundária que responde mais rapidamente à mudanças no processo para controlar a variável primária. Sendo assim, após a definição da variável primária controlada, é definida uma segunda variável chamada de secunária (ou servo) cuja função será garantir que a variável primária não saia do valor desejado.

A lógica é a seguinte: se a variável secundária sair do seu setpoint, ela irá se autocorrigir antes mesmo do erro se propagar para a variável primária, e, se a variável primária sair do seu setpoint, o controlador primário (que está atrelado à variável primária) mudará o setpoint do controlador secundário (que está atrelado à variável secundária) de modo que o novo setpoint da variável servo corrija o mais rapidamente possível a variável primária e a mesma possa voltar ao seu setpoint quase que instantaneamente.

Em outras palavras, a variável secundária vive para atender às necessidades da variável primária, e, como a variável secundária responde mais rapidamente (menor constante de tempo), as correções na variável primária acontecem mais rapidamente.

Resposta

O controle cascata usa a correção de uma variável secundária que responde mais rapidamente à mudanças no processo para controlar a variável primária.

Exercício Resolvido #2

Deduza a função de transferência de uma malha de controle em cascata convencional:

Passo 1

Se a gente reparar bem, a malha de controle em cascata pode ser interpretada como duas malhas feedback uma dentro da outra, então, para deduzir a função de transferência vamos nos aproveitar dessa característica.

Primeiramente, vamos olhar só para a malha de “dentro”, a malha secundária:

Todo o trecho destacado é uma malha feedback comum, e nós já vimos como se calcula a função de transferência dessa malha antes. Se você não lembra, é só lembrar da dica:

c a m i n h o   d i r e t o 1 + c a m i n h o   d o   l o o p

Essa e outras regras de álgebra do diagarama de blocos você pode revisar na nossa aula sobre o assunto aqui no Responde Aí!

Sendo assim, vamos reduzir todo o trecho destacado no diagarama acima em apenas um bloco, usando a regrinha aí de cima:

Passo 2

Agora que já reduzimos o primeiro loop, ficamos mais uma vez com um loop comum, e por isso, vamos usar a mesma regra que usamos ali em cima:

c a m i n h o   d i r e t o 1 + c a m i n h o   d o   l o o p

Portanto:

C s R s = G C 1 G C 2 G V G p 2 1 + H 2 G C 2 G V G p 2 G p 1 1 + H 1 G C 1 G C 2 G V G p 2 1 + H 2 G C 2 G V G p 2 G p 1

Multiplicando o numerador e o denominador po 1 + H 2 G C 2 G V G p 2 teremos:

C s R s = G C 1 G C 2 G V G p 2 G p 1 1 + H 2 G C 2 G V G p 2 + H 1 G C 1 G C 2 G V G p 2 G p 1

Resposta

C s R s = G C 1 G C 2 G V G p 2 G p 1 1 + H 2 G C 2 G V G p 2 + H 1 G C 1 G C 2 G V G p 2 G p 1

Exercício Resolvido #3

Considere o diagrama de blocos da figura abaixo com as seguintes funções de transferência:

4

G V = 5 s + 1

G P 1 = 4 ( 4 s + 1 ) ( 2 s + 1 )

G p 2 = 1

H 1 = 0,05

H 2 = 0,2

Determine o limite de estabilidade para um sistema de controle em cascada com dois controladores proporcionais. Assuma K C 2 = 4 para o controlador secundário.

Passo 1

O exercício quer que a gente determine o limite de estabilidade do sistema, ou seja, ele quer que a gente diga queal o maior valor possível de K C 1 para que o sistema continue estável. Ele já nos deu a dica de que ambos os controladores são do tipo proporcional, ou seja, a função se transferência dos controladores é do tipo:

G C 1 = K C 1

G C 2 = K C 2

Como K C 2 já foi dado, precisamos apenas encontrar o valor máximo de K C 1 .

Para conseguir encontrar esse limite, nós vamos precisar encontrar a função de transferência do sistema, porque com essa função dessa transferência conseguiremos tirar a equação característica da malha.

Então vamos tentar encontrar a função de transferência, mas vamos combinar que por enquanto não vamos trabalhar com números,porque isso vai facilitar a nossa vida.

Primeiramente então, vamos reduzir o loop interno em um só bloco:

Aplicando a regra do loop:

Ficamos então novamente com um loop simples, aí vamos aplicar novamente a regra do loop: C s R s = G C 1 G C 2 G V G p 2 1 + H 2 G C 2 G V G p 2 G p 1 1 + H 1 G C 1 G C 2 G V G p 2 1 + H 2 G C 2 G V G p 2 G p 1

Essa regra do loop tá ensinada direitinho na aula de álgebra de diagrama de blocos. Se você tem dúvidas, ou não lembra como faz, seria bacana dar uma revisadinha nessa aula.

Rearranjando a expressão encontrada teremos a função de transferência da malha: C s R s = G C 1 G C 2 G V G p 2 G p 1 1 + H 2 G C 2 G V G p 2 + H 1 G C 1 G C 2 G V G p 2 G p 1

Passo 2

Agora que já temos a função de transferência, precisamos da equação característica. A equação característica nada mais é que o denominador da função de transferência da malha, ou seja:

1 + H 2 G C 2 G V G p 2 + H 1 G C 1 G C 2 G V G p 2 G p 1 = 0

Vamos agora finalmente substituir as expressões de funções de transferência dadas no enunciado do exercício:

1 + 4 s + 1 + 4 K C 1 ( 4 s + 1 ) ( 2 s + 1 ) ( s + 1 ) = 0

Multiplicando os dois lados da expressão por ( 4 s + 1 ) ( 2 s + 1 ) ( s + 1 ) :

4 s + 1 2 s + 1 s + 1 + 4 4 s + 1 2 s + 1 + 3,2 K C 1 = 0

Rearranjando:

8 s 2 + 6 s + 1 s + 1 + 4 8 s 2 + 6 s + 1 + 4 K C 1 = 0

8 s 3 + 14 s 2 + 7 s + 1 + 32 s 2 + 24 s + 4 + 4 K C 1 = 0

8 s 3 + 46 s 2 + 31 s + 5 + 4 K C 1 = 0

Passo 3

Agora que já temos a equação carcterística, precisamos determinar o valor máxoma de K C 1 . Para isso, podemos usar o método da substituição direta ou o método de Routh-Hurwitz, o que você achar mais fácil.

Eu particularmente, prefiro o método da susbtituiçõa direta, então vou usar ele. Aplicando as substituições:

s = i ω u

K C 1 = K C 1 u

8 i ω u 3 + 46 i ω u 2 + 31 i ω u + 5 + 4 K C 1 u = 0

- 8 i ω u 3 - 46 ω u 2 + 31 i ω u + 5 + 4 K C 1 u = 0

Podemos formar então um sistema com a parte real e a imaginária:

- 8 i ω u 3 + 31 i ω u = 0

- 46 ω u 2 + 5 + 4 K C 1 u = 0

Resolvendo a parte imaginária:

- 8 i ω u 3 + 31 i ω u = 0

- 8 ω u 2 + 31 = 0

ω u 2 = 31 8

Para encontrar o valor de K C 1 u basta substituir o valor de ω u 2 na expressão da parte real:

- 46 * 31 8 + 5 + 4 K C 1 u = 0

K C 1 u = 43,3

Logo o maior valor de ganho do controlador primário assumindo dois controladores proporcionais e que K C 2 = 4 é 43,3

Resposta

K C 1 u = 43,3

Exercício Resolvido #4

Considete o sistema de tanque aquecida agitado mostrado na figura abaixo. É desejado controlar a temperatura T 2 ajustando a taxa de calor trocada Q 1 alterando-se a voltagem da serpentina elétrica, V 1 . Foi sugerido que as medições de T 1 e T 0 , assim como de T 2 , podem prover um melhor controle de T 2 .

  1. Descreva brevemente como o controle sugerido poderá operar e esboce um diagrama explicando.
  2. Indique como você classificaria o sistema de controle: feedback, feedforward ou cascata.
  3. Desenhe o diagrama de blocos para o sistema de controle.

Passo 1

Aqui nós temos a medição de três variáveis: T 2 que é a nossa variável principal, T 1 que é uma variável intermediária no processo e T 0 que é uma variável de entrada, ou, um distúrbio.

Como temos três informações disponíveis, vamos tentar usar todas elas. O controle cascata por exemplo, precisa da medição da variável controlada e de uma variável intermediária. Sendo assim, podemos usar T 2 como sendo a variável primária de um controle cascata e T 1 como sendo a variável secundária.

Já o controle feedforward precisa da medição de um distúrbio, sendo assim, podemo aplicar um controle feedforward também, usando T 0 comoi distúrbio medido.

O esquema do sistema de controle ficaris assim:

Sendo assim, o controlador TC2 comanda o setpoint do controlador TC1 que manda o sinal para o elemento final de controla fazendo assim o controle cascata.

O FFC (feedforward controller) também emite um sinal para o elemento final de controle, sendo assim, ambos os sinais se somama antes de alterar o valor de V 1 .

Passo 2

Nessa malha temos duas estratégias em uso ao mesmo tempo. Temos o controle cascata que se utiliza das medições de T 2 e T 1 e também o controle feddforward que se utiliza de T 0 como variável distúrbio.

Passo 3

Fazendo a junção do cascada com o feedforward, teremos o seguinte diagrama de blocos:

Repare que o processo e transmissor com índice 1 estão na malha interna (secundária) e os com índice 2 estão na malha externa (primária). Isso acontece porque os índices estão seguindo os índices das variáveis. Como T 1 é a variável servo (secundária) o processo com índice 1 ficou na malha interna e como T 2 é a variável mestre (primária) os blocos com esse índice ficaram na malha externa. Apenas os plocos dos controladores mantiveram os índices normais. Sendo assim G C 2 é o controlador secundário e G C 1 o primário.

Resposta

  1. Controle Cascata em paralelo com Controle Feedforward