Projeto de controlador cascata

Teoria Completa

Introdução

O controle cascata é aquela técnica de controle quase perfeita que corrige os distúrbios do sistema de forma rápida e eficiente.

Nele, temos uma variável primária e uma variável secundária que juntas promovem o controle da variável controlada de maneira extremamente eficiente.

No controle cascata nós temos duas variáveis medidas, e consequentemente, temos também dois controladores. O controlador primário, também chamado de mestre, e o controlador secundário, também chamado de escravo. O controlador primário é quem define o setpoint do controlador secundário.

E se temos dois controladores, nós precisamos sintonizar esses dois controladores, isto é, acertar os valores de seus parâmetros (ganho, constante de tempo integral e constante de tempo derivativo) de modo que o funcionamento do sistema de controle seja o mais otimizado possível.

Entretanto, como a malha primária e a malha secundária estão intricadas uma na outra, a tarefa de sintonizar esses dois controladores não é muito simples.

A verdade é que não existe um método 100 % certo e eficaz de se sintonizar controladores em cascata. Hoje vamos ver um método que, apesar de limitado, é consideravelmente bom na sintonização desses controladores.

Método de Austin e Lopez

Este método, que foi proposto por Austin (1986) e posteriormente aprimorado por Lopez (2003), apresenta técnicas de sintonização tanto do controlador primário quanto do secundário.

O método consiste na introdução de um sinal de degrau no elemento final de controle e após isso gravar a resposta da variável primária e secundária.

Dessa forma, aumenta-se em uma unidade o sinal para o elemento final de controle e observa-se a resposta tanto da variável secundária quanto da variável primária ao longo do tempo, gerando-se dois gráficos no final.

Os gráficos gerados, vão ser aqueles que a gente já conhece e que vamos aproximar para um modelo FOPDT (primeira ordem mais tempo morto). Se você não se lembra disso, é legal dar uma revisada na aula sobre métodos de Ziegler-Nichols.

O gráfico FOPDT é aquele assim:

Dessa forma teremos duas funções FOPDT, uma para o processo primário e outra para o processo secundário:

K 1 τ 1 s + 1 e - θ 1 s

E

K 2 τ 2 s + 1 e - θ 2 s  

Sintonia do controlador secundário

Sempre que formos sintonizar dois controladores em cascata, devemos sempre começar pelo controlador secundário. Sendo assim, a sintonização é feita sempre de dentro para fora.

No controle cascata, convencionalmente se usa controladores P ou PI como o secundário, e PI ou PID como o primário.

A sintonização do controlador secundário é feita pelos métodos que a gente já conhece (Ziegler-Nichols ou Cohen-Coon). A tabela de sintonização do controlador secundário usando Ziegler-Nichols será então:

Ou usando Cohen-Coon:

Com 0,6 < θ τ < 4,5

Método de Austin e Lopez

Para o cálculo dos parâmetros do controlador primário, usaremos as correlações de Lopez e Austin. Usando os valores dos parâmetros das funções de transferência FOPDT obtidas.

Repare que existe uma correlação diferente para cada tipo de combinação entre o controlador secundário e o controlador primário.

Isso quer dizer, basicamente, que a correlação usada para fazer a sintonia do controlador primário depende do tipo de controlador secundário que está sendo usado.

Além disso, outro ponto crucial é que as correlações são limitadas por uma faixa de aplicação. Cada combinação tem sua própria faixa e a gente deve sempre checar se o nosso processo está dentro daquela faixa antes de usarmos a correlação que queremos.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Um engenheiro de controle desejava implementar um sistema de controle cascata em um dos processos pelos quais era responsável visto os vários benefícios agregados pelo controle em cascata em comparação com o controle feedback simples.

Sendo assim, o engenheiro estudou o processo que desejava aplicar o controle em cascata e definiu a variável primária e secundária que seriam usadas.

O próximo passo seria sintonizar os dois controladores, para isso, ele introduziu um degrau unitário no elemento final de controle e registrou a resposta da variável primária e da variável secundária que ele havia escolhido. Com esse registto das respostas ao longo do tempo, ele conseguiu traçar o modelo FOPDT (primeira ordem mais tempo morto) das respostas:

G p 2 = 1,2 1,3 s + 1 e - 0,5 s

G p 1 = 2,0 s + 1 e - 0 , 8 s

Ao chegar nessa etapa ele notou que não seria possível implementar o controle cascata da forma que ele havia determinado. Explique o motivo e dê uma sugestão do que poderia ser feito.

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Resposta

Uma das exigências para se implementar o controle em cascata é que a variável secundária deve responder mais rapidamente à variações do que a variável primária.

Através dos modelos FOPDT mostrado acima, podemos ver que:

τ 2 = 1,3

τ 1 = 1 , 0

Como a constante de tempo do processo da variável secundária é maior do que da variável primária, isso indica que a variável secundária é mais lenta do que a primária, impossibilitando assim o uso do controle cascata com essas escolhas de variáveis.

De fato, se olharmos a tabela com as correlações de Austin e Lopez abaixo podemos ver que a razão τ 2 / τ 1   deve ser sempre menor que 0,7, não importa qual combinação de controladores seja escolhida.

No exemplo dado temos:

τ 2 τ 1 = 1,3 1,0 = 1,3

O que está totalmente fora da faixa desejada.

Sendo assim, o pobre engenheiro de controle deverá tentar identificar uma outra variável intermediária que responda mais rapidamente que a variável primária. Caso não seja possível, ele ainda pode tentar identificar um distúrbio que possa ser medido para implementar um controle feedforward em paralelo com o feedback de forma a otimizar o controle.

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Como queria implementar uma malha em cascata para controlar a temperatura de um reator, um engenheiro de controle precisava decidir qual variável intermediária seria mais adequada para usar como variável secudária na malha.

Para isso ele fez o teste de ralé (inserção de um degrau e monitoramento da resposta) na variável primária e nas duas variáveis candidadatas a se tornarem a variável secundária.

Para a variável primária, foi obtida seguinte curva de reação:

Para a a primeira variável intermediária testada, a curva de resposta é dada abaixo:

Já para a segunda opção de variável secunária, o gráfico da resposta de reação é dado abaixo:

Indique e justifique qual é a melhor opção de escolha para a variável secunária: a primeira ou a segunda opção?

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Passo 1

Para a escolha da variável secundária de uma malha em cascata o critério predominante a ser levado em consideração é a velocidade de resposta a distúrbios.

A variável secundária deve responder mais rapidamente que a variável primária. Alguns autores dizem que o ideal é que a variável secundária seja três vezes mais rápido, entretanto, quando a variável secundária tem constante de tempo 70% menor que a primária o efeito na malha de controle já começa a aparecer.

Sendo assim, podemos vez que no enunciado temos o gráfico de resposta da variável primária que usaremos como referência para comparar com os outros dois gráficos dados.

Fazendo a análise visual dos gráficos, podemos ver que a resposta referente à primeira opção de variável secundária é levemente mais rápida que da variável primária, o que não é o ideal.

Já a segunda opção de variável secundária apresenta uma resposta consideravelmente mais rápida que a variável primária, e portanto, essa variável deverá ser escolhida para ser a variável secundária do projeto.

Resposta

Segunda opção.

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Após a introdução de um degrau unitário no elemento final de controle numa malha em cascata, os comportamentos da variável secundária e as variável primária foram registrados e foi possível aproximar as funções de transferência da malha secundária e primária a um modelo FOPDT como mostrado abaixo:

G p 2 = 2 1,7 s + 1 e - 0,2 s

G p 1 = 1,2 3,3 s + 1 e - 0,7 s

Sintonize ambos os controladores do sistema em cascata utilizando as correlações de Ziegler-Nichols para a malha secundária e de Austin e Lopez para a malha primária. Suponha um controlador P secundário e um PI primário

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Passo 1

Quando sintonizamos uma malha em cascata, sempre sintonizamos os controladores de dentro primeiro, portanto vamos começar sintonizando o controlador secundário.

O enunciado já nos deu a função FOPDT da variável secundária e dela podemos extrair as constantes:

K 2 = 2,0

θ 2 = 0,2

τ 2 = 1,7

Caso você tenha alguma dúvida nesse passo, seria bacana dar uma olhada no material de Métodos de Ziegler-Nichols.

Com esse valores, podemos sintonizar o controlador secundário usando a tabela de Ziegler-Nichols:

O enunciado pediu que o controlador secundário fosse do tipo P, sendo assim:

K C 2 = τ 2 K 2 θ 2 = 1,7 2 * 0,2 = 4,25

G C 2 = 4,25

Passo 2

Agora precisamos sintonizar o controlador primário. O enunciado também nos deu a função FOPDT da variável primária, e dela conseguimos extrair as seguintes constante:

K 1 = 1,2

θ 1 = 0,7

τ 1 = 3,3

Aí com esses valores a gente pega a tabela abixo para sintonizar o controlador primário:

Como o nosso controlador primário é PI e o secundário é P vamos usar as fórmulas do primeiro quadrante da tabela acima.

Mas antes de sair aplicando as correlações, precisamos conferir se estamos dentro da faixa adequada para usar o método:

τ 2 τ 1 = 1,7 3,3 = 0,52

θ 2 θ 1 = 0,2 0,7 = 0,29

Opa tudo certo, podemos seguir!

Passo 3

Finalmente podemos aplicar as correlações da tabela para encontrar os parâmetros do controlador primário:

K C 1 = τ 1 8,2048 K 1 θ 1 τ 2 τ 1 - 1,3965 θ 2 θ 1 - 0,2767 = 3,3 8,2048 * 1,2 * 0,7 1,7 3,3 - 1,3965 0,2 0,7 - 0,2767

K C 1 = 1,68

τ i 1 = τ 1 τ 2 τ 1 - 0,00018 θ 2 θ 1 - 0,2097 = 3,3 1,7 3,3 - 0,00018 0,2 0,7 - 0,2097 = 4,28

O nosso PI primário ficará portanto

G C 1 s = 1,68 1 + 1 4,28 s

Resposta

G C 2 s = 4,25

G C 1 s = 1,68 1 + 1 4,28 s

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Deseja-se sintonizar uma malha em cascata em dois níveis. Para obter os parâmetros de sintonização, introduziu-se um degrau unitário no elemento final de controle e registrou-se as resposta da variável secundária e primária. Após análise das curvas de reação, pode-se deduzir os seguinte modelos FOPDT (primeira ordem mais tempo morto) para as variáveis secundárias e primárias respectivamente:

G p 2 = 1 0,4 s + 1 e - 0,3 s

G p 1 = 1,3 2,1 s + 1 e - 0,5 s

Sintonize ambos os controladores do sistema em cascata utilizando as correlações de Cohen-Coon para a malha secundária e de Austin e Lopez para a malha primária. Suponha que ambos os controladores sejam do tipo PI.

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Passo 1

O primeiro passo quando estamos sintonizando controladores em cascata é sempre começar de dentro para fora, portanto, devemos começar pelo controlador secundário. Para fazer a sintonização desse controlador vamos usar as correlações de Cohen-Coon e para isso precisamos dos parâmetros do modelo FOPDT para essa variável.

O enunciado já nos deu a função FOPDT da variável secundária e dela podemos extrair as constantes:

K 2 = 1,0

θ 2 = 0,3

τ 2 = 0,4

Antes de fazer a sintonização do controlador, vamos checar se os parâmetros estão na faixa permitida pelo método:

τ 2 θ 2 = 0,3 0,4 = 0,75

Como a faixa aceitável é 0,6 < θ τ < 4,5   está tudo certo e podemos prosseguir.

Vamos usar a tabela abaixo para fazer a sintonia do controlador: