Sistemas multivariável

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Teoria

Introdução

Tudo o que a gente estudou em controle de processos até aqui a gente tinha um objetivo bem simples: controlar uma variável do nosso processo manipulando uma outra variável do processo.

Esse tipo de controle é chamado de controle SISO, que quer dizer single input, single output, ou em bom português, “entrada única e saída única”.

Mas não existe apenas o controle SISO. Vamos pensar num exemplo.

Imagina que você está controlando o produto de um reator, e você precisa garantir a quantidade e a qualidade da sua produção, ou seja, você precisa controlar a vazão do produto e também a composição do produto. Imagina também que esse reator possui duas correntes de entrada que podem ser controladas.

Esse é um exemplo clássico de um controle MIMO (tutupom?) que significa multiple input, multipli output, que na língua tupiniquim significa “várias entradas, várias saídas”

Um tanque de mistura

Imagine que a gente tenha um tanque de mistura com duas correntes de entrada, e assim como no exemplo que eu dei acima, a gente precisa controlar a vazão e a concentração da corrente de saída.

Nesse exemplo, teremos duas variáveis de saída (respostas do processo) que são x e w . Como entrada do processo teremos as duas vazões de entrada w 1 w 2 que são as variáveis de entrada que podemos controlar com uma válvula por exemplo. x 1 e x 2 vamos considerar como distúrbios.

Antes de analisar esse processo multivariável, vamos entender um pouco melhor a sua dinâmica.

Esse tanque foi projetado para trabalhar com os seguintes valores em estado estacionário:

x 1 - = 0,10

x 2 - = 0,35

w 1 = 60   k g / h

w 2 = 40   k g / h

O balanço de massa global do processo nos permite encontrar w :

w = w 1 + w 2

w = 100   k g / h

Já o balanço por componente nos permite encontrar a concentração da saída:

x w = x 1 w 1 + x 2 w 2

x = 0,20

Ganho em malha aberta e em malha fechada

Quando a gente estava trabalhando com controle SISO, a forma de se calcular o ganho era bem direta. Pela definição, ganho é a razão entre a variação da saída, dada uma certa variação da entrada.

K = Δ s a í d a Δ e n t r a d a

Quando estivermos trabalhando com controle MIMO, será muito importante saber como cada saída vai reagir dependendo da variação de cada resposta, ou seja, precisamos saber determinar o ganho de cada saída com relação a cada entrada.

Num processo como o do nosso exemplo, com duas entradas e duas saídas, teremos quatro possíveis combinações de entradas com saída.

O ganho K 22 , por exemplo, seria o ganho referente à saída composição do produto, com a entrada vazão da corrente 2.

Uma forma de calcular o ganho K 22 , é aplicar uma variação em w 2 e observar como a composição do produto varia, mantendo-se a outra entrada ( w 1 ) constante:

K 22 = Δ x Δ w 2 w 1 = c t e

Vamos imaginar, se a vazão da corrente 2 aumentar para 42   k g / h (um aumento de 2   k g / h em relação ao estado estacionário), aplicando as equações do balanço obteremos uma nova composição de saída:

x = 0,203

Logo, o ganho será:

K 22 = 0,203 - 0,20 42,0 - 40,0 = 0,0015

Esse ganho, que é calculado mantendo-se as outras entradas constantes é chamado de ganho de malha aberta.

Entretanto, também podemos calcular o ganho mantendo-se a outra saída constante, ao invés da entrada.

K ' 22 = Δ x Δ w 2 w = c t e

Vamos voltar ao exemplo anterior, nós aumentamos a w 2 de 40,0   k g / h para 42,0   k g / h , e isso causou uma variação na composição de 0,20 para 0,203 .

Agora nós queremos encontrar a variação de x quando w permanece constante, então se w 2 foi aumentada em 2   k g / h , para compensar isso, devemos diminuir w 1 de 60   k g / h para 58   k g / h , de forma que a vazão de saída, w , permaneça em 100   k g / h .

Quando w 1 é 58   k g / h e w 2 é 42   k g / h , a composição da saída, x , passa a ser 0,205 .

Sendo assim, o nosso ganho quando mantemos a vazão de saída constante passa a ser:

K 22 ' = 0,205 - 0,20 42,0 - 40,0 = 0,0025

O ganho calculado mantendo-se as outras saídas constantes é chamado de ganho de malha fechada.

Perceba que para um simples processo com duas entradas e duas saídas, nós temos oito ganhos diferentes: quatro ganhos de malha aberta e quatro ganhos de malha fechada.

Ganhos relativos

Por fim, para que fique mais fácil de visualizar como as saídas interagem com as entradas, é definido também uma medida de ganho relativo.

O ganho relativo é a razão entre o ganho em malha aberta e o ganho em malha fechada:

μ 22 = K 22 K 22 ' = 0,0015 0,0025 = 0,6

Com essa medida que acopla os dois tipos de ganho em um só, fica mais fácil de analisar a interação entre as saídas e as entradas.

Os ganhos relativos podem ser escritos em uma matriz chamada de RGA (Matriz de Ganhos Relativos). Para o nosso exemplo com duas entradas e duas saídas:

R G A = μ 11 μ 12 μ 21 μ 22

Tipos de interação

Por fim, um último conceito importante sobre sistemas MIMO é o tipo de interação entra as variáveis.

No exemplo anterior, nós encontramos um ganho em malha aberta igual a K 22 = 0,0015 . Quando nós fechamos a malha e calculamos novamente o ganho, encontramos K 22 ' = 0,0025 , ou seja, houve um aumento. Isto ocorre porque as malhas não “lutam” uma com outra, pelo contrário, o fechamento de uma malha é positivo para a outra. Portanto dizemos que ocorre uma interação positiva. Quando o fechamento da malha faz com que a variável diminua, significa que as duas malhas estão em conflito, e teremos, portanto, uma interação negativa.

Podemos ver o tipo de interação pelo ganho relativo. Malhas com interação positiva terão ganho relativo positivo e menor que 1. Malhas com interação negativa terão ganho relativo negativo ou maior que 1.

Ganho em malha aberta e em malha fechada

Ganhos relativos

Tipos de interação

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dadas as duas matrizes de ganho relativo para dois diferentes sistemas mostradas abaixo. Classifique a inteação entre os sistemas como sendo positiva ou negativa.

R G A 1 = - 0,7 1,3 1,3 - 0,7

R G A 2 = 0,35 0,65 0,65 0,35

Passo 1

Para classificar o sistemas como de interação positiva ou de interação negativa precisamos apenas avaliar s ganhos relativos. Se os valores de ganho relativo foram entre 0 e 1 a interação entre as malhas é dita positiva. Se os ganhos relativos forem maior que 1 ou negativos a interação é negativa.

Sendo assim, a R G A 1 representa a matriz de ganhos relativos de um sistema mutivariável de interação negativa enquanto a R G A 2 representa uma matriz para um sistema com interação positiva.

Resposta

R G A 1 → Interação negativa

R G A 2 → Interação positiva

Exercício Resolvido #2

Sabendo-se que o ganho relativo de uma variável x em relação a uma variável y é 1,2 e que o ganho em malha aberta é 1,4 , determine o valor de saída da variável y quando a variável x sofre uma perturbação degrau de ordem 5 e todas as outras saídas são mantidas constantes. Considere que o valor de y inicialmente era 0 .

Passo 1

Para saber o valor final da variável y quando x sofre uma perturbação e as outras saídas se mantêm constantes, precisamos determinar o ganho em malha fechada desse par entrada/saída.

Como o enunciado forneceu o ganho em malha aberta e o ganho relativo, podemos calcular o ganho em malha fechada pela fórmula abaixo:

μ = K K '

K ' = K μ

Como:

μ = 1,2

K = 1,4

Teremos:

K ' = 1,4 1,2 = 1,17

Passo 2

O ganho em malha fechada, pode ser definido como a variação da variável de saída pela variação da variável de entrada quando as outras saídas são constantes. Ou seja:

K ' = Δ y Δ x s a í d a s = c t e

Pelo enunciado temos que:

Δ x = 5

y 0 = 0

Portanto:

1,17 = y - 0 5

y = 5,85

Resposta

y = 5,85

Exercício Resolvido #3

Sabe-se que o ganho relativo de uma variável x em relação a uma variável y é 0,75 e que o ganho em malha fechada é 2 , 0 . Uma perturbação é feita na variável x fazendo com que ela passe de 15 para 12 , e todas as outras entradas são mantidas constantes. Qual será a variação sentida na variável y ?

Passo 1

Para determinar a variação sofrida pela variável y quando x sofre uma perturbação e as outras entradas se mantêm constantes, precisamos determinar o ganho em malha aberta desse par entrada/saída.

Já temos o ganho relativo, e o ganho em malha fechada, o que possibilita o cálculo do ganho em malha aberta

μ = K K '

K = μ K '

Como:

μ = 0,75

K = 2,0

Teremos:

K = 1,5

Passo 2

O ganho em malha aberta, pode ser definido como a variação da variável de saída pela variação da variável de entrada quando as outras entradas são constantes. Ou seja:

K = Δ y Δ x e n t r a d a s = c t e

Pelo enunciado temos que:

Δ x = 12 - 15 = - 3

Portanto:

1,5 = Δ y - 3

Δ y = - 4,5

Resposta

Δ y = - 4,5

Exercício Resolvido #4

Para que um trocador de não saia das especificações é necessária que tanto a temperatura de saída do fluito frio, T 1 , quanto a temperatura de saída do fluido quente, T 2 sejam controladas por um sistema de controle multivariável. Para que isso aconteça, as variáveis de entrada manipulada serão a vazão de entrada do fluido frio, q 1 , e a vazão de entrada do fluido quente, q 2 .

Sabe-se que quando a vazão de entrada do fluido quente q 2 varia de 60   l b / m i n para 65   l b / m i n a temperatura do fluido frio T 1 varia de 120   ° F para 135   ° F se q 1 permanecer constante e varia de 120   ° F para 150   ° F se T 2 se mantiver constante.

Calcule o ganho relativo entre a temperatura de saída do fluido frio e a vazão de entrada do fluido quente e diga se as malhas do sistema têm interação positiva ou negativa.

Passo 1

O ganho relativo é calculado como a razão entre o ganho de malha aberta e o ganho de malha fechada:

μ 1 2 = K 12 K ' 12

Vamos começar calculando o ganho em malha aberta, K 11 . O ganho em malha aberta é definido como a razão entra a variação da saída e a variação da entrada quando as outrs entradas permanecem iguais. Para o nosso exemplo:

K 12 = Δ T 1 Δ q 2 q 1 = c t e

Ou seja, quando q 2 é constante, teremos as seguintes variações:

K 1 2 = 135 - 120 65 - 60 = 3   ° F l b / m i n

Passo 2

Vamos calcular agora o ganho da temperatura T 1 em relação à vazão q 1 em malha fechada, ou seja, com T 2 constante.

K ' 1 2 = Δ T 1 Δ q 2 T 2 = c t e

Em malha fechada, para a mesma variação na vazão do fluido quente, a temperatura de saída do fluido frio varia de 120   ° F para 150   ° F , portanto:

K 12 = 150 - 120 65 - 60 = 6   ° F l b / m i n

Passo 3

O ganho relativo será portanto:

μ 12 = K 12 K ' 12 = 3 6 = 0,5

Sendo assim, dizemos que a interação entre as malhas é positiva uma vez que o ganho relativo está entre 0 e 1 .

Resposta

μ 12 = 0,5

Interação positiva

Exercício Resolvido #5

Considere um reator com reação exotérmica do tipo:

A + B → C

Nesse reator, é desejado que tanto a temperatura da corrente de saída, T , quanto a concentração do produto nessa corrente, C C , se mantenham num valor pré-definido. Para que esses requisitos sejam atendidos pode se manipular aa corrente de entrada do reagente A no reator, q A , ou a vazão de fluido refrigerante na camisa que é usada para resfriar o tanque, q f .

Sabe-se que quando a vazão de fluido refrigerante na camisa passa de 10   l b / m i n para 12   l b / m i n mantendo-se a vazão q A constante, a temperatura da corrente de produto passa de 100   ° F para 88   ° F .

Se a mesma perturbação for feita na vazão de fluido refrigenrante, mas dessa vez mantendo-se a concentração do produto constante, a temperatura da corrente de saída passa de 100   ° F para 90   °   F

Calcule o ganho relativo entre a temperatura do produto do reator e a vazão de fluido regrigerante na camisa do reator. Aproveite e diga se as malhas têm interação positiva ou negativa.

Passo 1

O ganho relativo é calculado como a razão entre o ganho de malha aberta e o ganho de malha fechada:

μ = K K '

Vamos começar calculando o ganho em malha aberta, K . O ganho em malha aberta �� definido como a razão entra a variação da saída e a variação da entrada quando as outrs entradas permanecem iguais. Para o ganho da temperatura em relação à vazão do fluido refrigerante teremos:

K = Δ T Δ q f q A = c t e

Ou seja, quando q A é constante, teremos as seguintes variações:

K = 88 - 10 0 12 - 10 = - 6   ° F l b / m i n

Passo 2

Vamos calcular agora o ganho da temperatura da corrente de produto em relação à vazão de fluido refrigerante em malha fechada, ou seja, com C C constante.

K ' = Δ T Δ q f C C = c t e

Em malha fechada, para a mesma variação na vazão do fluido regrigerante, a teremos uma variação de - 10   ° F na corrente de saída:

K ' = 90 - 10 0 12 - 10 = - 5   ° F l b / m i n

Passo 3

O ganho relativo será portanto:

μ = K K ' = ( - 6 ) ( - 5 ) = 1,2

Como o ganho relativo foi maior que a unidade, dizemos que a interação entre as malhas é negativa.

Isso acontece porque quando a malha é fechada, a variação da temperatura de saíde é de menor intensidade, o que indica que as malhas estão competindo entre si. Se a temperatura tivesse caída mais com o fechamento da malha, a interação seria positiva.

Resposta

μ = 1 , 2

Interação negativa.

Exercício Resolvido #6

Dado o sistema multivariável mostrado abaixo, onde y 1 e y 2 são as respostas e x 1 e x 2 são as entradas. Calcule μ 11 .

y 1 = 2 x 1 + x 2

y 2 = x 1 + 4 x 2

Sabe-se que os valores no estado estacionário são:

x 1 - = 2

x 2 - = 1

Passo 1

Primeiramente vamos calcular o valor das respostas em estado estacionário. Substituindo x 1 - e x 2 - teremos:

y 1 - = 5

y 2 - = 6

Passo 2

Como:

μ 11 = K 11 K 11 '

Precisamos calcular os dois ganhos, o de malha aberta e o de malha fechada.

O ganho K 11 é a relação entre a variação da saída y 1 com a entrada x 1 quando x 2 é constante.

Ou seja:

y 1 = 2 x 1 + x 2

Vamos considerar uma variação unitária para x 1 e manteremos x 2 constante. Portanto:

x 1 = 3

x 2 = x 2 - = 1

Assim teremos:

y 1 = 7

Portanto o ganho K 11 será:

K 11 = Δ y 1 Δ x 1 = 7 - 5 3 - 2 = 2

Passo 3

Agora vamos calcular o ganha em malha fechada K 11 ' que é a relação entre a variação de y 1 e x 1 quando y 2 é constante.

Vamos novamente fazer uma variação unitária em x 1 , mas temos que ver qual será a variação sofrida por x 2 para que y 2 fique constante:

y 2 = x 1 + 4 x 2

Com:

x 1 = 3

y 2 = y 2 - = 6

Teremos :

x 2 = 3 4

Jogando na expressão para y 1 teremos:

y 1 = 2 x 1 + x 2

y 1 = 27 4

Calculando K 11 ' :

K 11 ' = Δ y 1 Δ x 1 = 27 4 - 5 3 - 2 = 1,75

Passo 4

Por fim, vamos calcular o ganho relativo:

μ 11 = K 11 K 11 ' = 2 1,75 = 1,14

Resposta

μ 11 = 1,14

Exercício Resolvido #7

Dado o sistema multivariável mostrado abaixo, onde y 1 e y 2 são as respostas e x 1 e x 2 são as entradas.

y 1 = 1 2 x 1 - 3 x 2

y 2 = x 1 + 6 x 2

Sabe-se que os valores no estado estacionário são:

x 1 - = 1

x 2 - = 5

As malhas tem interação positiva ou negativa?

Passo 1

Para calcular se a interalção entre as malhas é positiva ou negativa, devemos calcular qualquer um dos ganhos relativos. Se o ganho relativo estiver entre 0 e 1 a interação será positiva, entretanto, se for maior que 1 ou negativo, a interação será negativa. Sendo assim, vamos calcular o ganho relativo μ 11 e ver o que ele nos diz sobre a interação das malhar

Primeiramente vamos calcular o valor das respostas em estado estacionário. Substituindo x 1 - e x 2 - teremos:

y 1 - = - 29 2

y 2 - = 31

Passo 2

Como:

μ 11 = K 11 K 11 '

Precisamos calcular os dois ganhos, o de malha aberta e o de malha fechada.

O ganho K 11 é a relação entre a variação da saída y 1 com a entrada x 1 quando x 2 é constante.

Ou seja:

y 1 = 1 2 x 1 - 3 x 2

Vamos considerar uma variação unitária para x 1 e manteremos x 2 constante. Portanto:

x 1 = 2

x 2 = x 2 - = 5

Calculando o novo y 1 :

y 1 = - 14

Portanto o ganho K 11 será:

K 11 = Δ y 1 Δ x 1 = - 14 + 29 2 2 - 1 = 1 2

Passo 3

Agora vamos calcular o ganha em malha fechada K 11 ' que é a relação entre a variação de y 1 e x 1 quando y 2 é constante.

Vamos novamente fazer uma variação unitária em x 1 , mas temos que ver qual será a variação sofrida por x 2 para que y 2 fique constante:

y 2 = x 1 + 6 x 2

Com:

x 1 = 2

y 2 = y 2 - = 31

Teremos :

x 2 = 29 6

Jogando na expressão para y 1 teremos:

y 1 = 1 2 x 1 - 3 x 2

y 1 = - 27 2

Calculando K 11 ' :

K 11 ' = Δ y 1 Δ x 1 = - 27 2 + 29 2 2 - 1 = 1

Passo 4

Por fim, vamos calcular o ganho relativo:

μ 11 = K 11 K 11 ' = 1 2 1 = 1 2

Como o ganho relativo está entre 0 e 1 , a interação entre as malhas acontece de forma positiva.

Resposta

Interação positiva

Exercício Resolvido #8

Dado o sistema multivariável mostrado abaixo, onde y 1 e y 2 são as respostas e x 1 e x 2 são as entradas. Calcule μ 12 .

y 1 = 1 2 x 1 - x 2

y 2 = 1 3 x 1 + x 2

Sabe-se que os valores no estado estacionário são:

x 1 - = 6

x 2 - = 1

Passo 1

Primeiramente vamos calcular o valor das respostas em estado estacionário. Substituindo x 1 - e x 2 - teremos:

y 1 - = 2

y 2 - = 3

Passo 2

Como:

μ 12 = K 12 K 1 2 '

Precisamos calcular os dois ganhos, o de malha aberta e o de malha fechada.

O ganho K 1 2 é a relação entre a variação da saída y 1 com a entrada x 2 quando x 1 é constante.

Ou seja:

y 1 = 1 2 x 1 - x 2

Vamos considerar uma variação unitária para x 2 e manteremos x 1 constante. Portanto:

x 1 = x 1 - = 6

x 2 = 2

Assim teremos:

y 1 = 1

Portanto o ganho K 1 2 será:

K 1 2 = Δ y 1 Δ x 2 = 1 - 2 2 - 1 = - 1

Passo 3

Agora vamos calcular o ganha em malha fechada K 1 2 ' que é a relação entre a variação de y 1 e x 2 quando y 2 é constante.

Vamos novamente fazer uma variação unitária em x 1 , mas temos que ver qual será a variação sofrida por x 2 para que y 2 fique constante:

y 2 = 1 3 x 1 + x 2

Com:

x 2 = 2

y 2 = y 2 - = 3

Teremos :

x 1 = 3

Jogando na expressão para y 1 teremos:

y 1 = 1 2 x 1 - x 2

y 1 = - 0,5

Calculando K 11 ' :

K 11 ' = Δ y 1 Δ x 1 = - 0,5 - 2 3 - 2 = - 2,5

Passo 4

Por fim, vamos calcular o ganho relativo:

μ 1 2 = K 11 K 11 ' = - 1 - 2,5 = 0,4

Resposta

μ 12 = 0 , 4