Análise em frequência

Teoria Completa

Introdução

Uma técnica muito antiga e clássica de análise de sistemas de controle é a análise da resposta em frequência.

Essa técnica vai analisar o impacto da frequência quando temos entradas senoidais nos sistemas. Entradas senoidais gerarão respostas senoidais com a mesma frequência, porém com ângulo de fase e amplitude diferentes.

Por exemplo, considere um sistema com função de transferência de primeira ordem:

Y s X s = K τ s + 1

Vamos considerar que a entrada x ( t ) é uma entrada senoidal do tipo:

x t = X 0 sen ⁡ ω t

Onde:

X 0 → amplitude;

ω → frequência.

A transformada de Laplace dessa função é então:

X s = X 0 ω s 2 + ω 2

Nós vimos como fazer isso no tópico de transformadas de Laplace, caso você não se lembre, dá uma revisadinha lá.

Sendo assim, a expressão para Y ( s ) fica:

Y s = K τ s + 1 X 0 ω s 2 + ω 2

Cuja inversa é:

y t = K X 0 ω τ 1 + ω 2 τ 2 e - t τ + K X 0 1 + ω 2 τ 2 sen ⁡ ω t + θ

E, portanto, a saída também será do tipo senoidal, porém com alguns parâmetros diferentes.

As técnicas de análise em frequência são úteis então para analisar como esses parâmetros, principalmente ângulo de fase e amplitude variam de acordo com a frequência de entrada.

Então nesse tópico vamos entender primeiramente o que são esses conceitos e em seguida ver como eles são impactados pela frequência de entrada.

Definições

Suponha que a função de entrada x ( t ) seja da seguinte forma:

x t = 2 sen ⁡ ( π t )

Então para esse caso a amplitude, X 0 , será 2 e a frequência da entrada, ω , será π .

O gráfico para essa entrada será então:

Agora suponha que essa entrada gere uma saída do tipo

y t = 3 sen ⁡ π t + π 2

Repare que a frequência da saída é igual a frequência da entrada, e sempre será assim. Entretanto a magnitude da saída é diferente, e além disso, temos um termo novo, π 2 , que é o que chamamos de ângulo de fase.

O gráfico para essa saída fica:

Então vamos às definições que serão importantes para nós:

Razão de amplitude ( R A ) será a razão entre a amplitude da saída e a amplitude da entrada, ou seja:

R A = Y 0 X 0

Em alguns casos, podemos encontrar também a razão de magnitude ( R M ) que nada mais é que a razão de amplitude dividida pelo ganho do processo:

R M = R A K

R M = Y 0 K X 0

E por fim temos também o ângulo de fase ( θ ) que é o ângulo em radianos que avança ou atrasa a resposta com relação a entrada. No exemplo anterior por exemplo esse ângulo era π 2 e como ele era positivo nós dizemos que a resposta estava avançada em π 2 radianos com relação à entrada. Casso fosse negativo, seria um ângulo de atraso.

Razão de amplitude e razão de magnitude

Como vimos no início desse tópico, o objetivo da análise de frequência é analisar como a razão de amplitude e o ângulo de fase da resposta variam de acordo com a frequência da função da entrada.

Existem mecanismos matemáticos que nos permitem calcular esses parâmetros usando apenas os parâmetros da função de transferência do processo e a frequência da entrada.

Vamos sempre considerar como exemplo a função de transferência de primeira ordem padrão:

G s = K τ s + 1

Para o cálculo da razão de amplitude nós vamos precisar calcular o módulo da função de transferência quando s tende a i ω :

R A = G s s → i ω

R A = K τ i ω + 1

O módulo de um quociente é o mesmo que o módulo do numerador pelo módulo do denominador:

R A = K τ i ω + 1

Supondo K positivo, o módulo de K será o próprio K e o módulo de um número complexo é a raiz quadrada da parte imaginária ao quadrado mais a parte real ao quadrado, ou seja:

R A = K τ 2 ω 2 + 1

E a razão de magnitude:

R M = 1 τ 2 ω 2 + 1

Sendo assim, quando tivermos uma função de transferência e desejarmos calcular sua razão de amplitude em função da frequência de entrada, devemos substituir s por i ω e calcular o módulo da função de transferência. Lembrando sempre que o módulo do quociente pode ser calculado pela divisão entre o módulo do numerador pelo módulo do denominador e que o módulo de um número complexo pode ser calculado da seguinte forma:

a i + b = a 2 + b 2

Ângulo de fase

O ângulo de fase também tem uma forma bem direta de ser calculado, ele será igual ao ângulo de fase da função de transferência quando s tende a i ω

θ = ∠ G s s → i ω

Para o exemplo de função de primeira ordem:

θ = ∠ K i ω τ + 1

O ângulo de fase de um quociente pode ser reescrito como o ângulo de fase do numerador menos o ângulo de fase do denominador:

θ = ∠ K - ∠ ( i ω τ + 1 )

O ângulo de fase pode ser algebricamente calculado como a t g - 1 da parte imaginária de um número:

∠ a i + b = tan - 1 ⁡ a

Sendo assim para o nosso exemplo:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ ω τ = - tan - 1 ⁡ ω τ

Resumindo tudo: para calcular o ângulo de fase da resposta em função da frequência de entrada a partir da função de transferência do processo devemos primeiramente substituir s por i ω e calcular o ângulo de fase da função de transferência. O ângulo de fase pode ser calculado fazendo-se o ângulo de fase do numerador menos o ângulo de fase do denominador. Se um número for puramente real seu ângulo de fase sempre será 0 .

Partiu exercício?

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Exercício Resolvido #1

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exemplo 10.1. Adaptado.

Determine a expressão analítica da magnitude da resposta em frequência e da fase da resposta em frequência para o sistema:

G s = 1 s + 2

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Passo 1

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 1 i ω + 2

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 1 i ω + 2

O módulo de um quociente pode ser reescrito como o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador. Sendo assim:

R A = 1 i ω + 2

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = 1 ω 2 + 4

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser resscrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 1 i ω + 2 = ∠ 1 - ∠ i ω + 2

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ ω 2

Portanto:

θ = - tan - 1 ⁡ ω 2

Resposta

R A = 1 ω 2 + 4

θ = - tan - 1 ⁡ ω 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Determine a resposta analítica para a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência abaixo:

G s = 5 3 s + 5

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Passo 1

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 5 3 i ω + 5

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 5 3 i ω + 5

O módulo de um quociente pode ser reescrito como o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador. Sendo assim:

R A = 5 3 i ω + 5

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = 5 9 ω 2 + 25

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser resscrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 5 3 i ω + 5 = ∠ 5 - ∠ 3 i ω + 5

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ 3 ω 5

Portanto:

θ = - tan - 1 ⁡ 3 ω 5

Resposta

R A = 5 9 ω 2 + 25

θ = - tan - 1 ⁡ 3 ω 5

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Calule a razão de amplitude e o ângulo de fase para a resposta considerando a função de transferência abaixo:

G s = 3 s + 5

A entrada é senoidal e tem a seguinte forma:

Dê a expressão da resposta y ( t ) .

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Passo 1

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g