Análise em frequência

Teoria Completa

Introdução

Uma técnica muito antiga e clássica de análise de sistemas de controle é a análise da resposta em frequência.

Essa técnica vai analisar o impacto da frequência quando temos entradas senoidais nos sistemas. Entradas senoidais gerarão respostas senoidais com a mesma frequência, porém com ângulo de fase e amplitude diferentes.

Por exemplo, considere um sistema com função de transferência de primeira ordem:

Y s X s = K τ s + 1

Vamos considerar que a entrada x ( t ) é uma entrada senoidal do tipo:

x t = X 0 sen ⁡ ω t

Onde:

X 0 → amplitude;

ω → frequência.

A transformada de Laplace dessa função é então:

X s = X 0 ω s 2 + ω 2

Nós vimos como fazer isso no tópico de transformadas de Laplace, caso você não se lembre, dá uma revisadinha lá.

Sendo assim, a expressão para Y ( s ) fica:

Y s = K τ s + 1 X 0 ω s 2 + ω 2

Cuja inversa é:

y t = K X 0 ω τ 1 + ω 2 τ 2 e - t τ + K X 0 1 + ω 2 τ 2 sen ⁡ ω t + θ

E, portanto, a saída também será do tipo senoidal, porém com alguns parâmetros diferentes.

As técnicas de análise em frequência são úteis então para analisar como esses parâmetros, principalmente ângulo de fase e amplitude variam de acordo com a frequência de entrada.

Então nesse tópico vamos entender primeiramente o que são esses conceitos e em seguida ver como eles são impactados pela frequência de entrada.

Definições

Suponha que a função de entrada x ( t ) seja da seguinte forma:

x t = 2 sen ⁡ ( π t )

Então para esse caso a amplitude, X 0 , será 2 e a frequência da entrada, ω , será π .

O gráfico para essa entrada será então:

Agora suponha que essa entrada gere uma saída do tipo

y t = 3 sen ⁡ π t + π 2

Repare que a frequência da saída é igual a frequência da entrada, e sempre será assim. Entretanto a magnitude da saída é diferente, e além disso, temos um termo novo, π 2 , que é o que chamamos de ângulo de fase.

O gráfico para essa saída fica:

Então vamos às definições que serão importantes para nós:

Razão de amplitude ( R A ) será a razão entre a amplitude da saída e a amplitude da entrada, ou seja:

R A = Y 0 X 0

Em alguns casos, podemos encontrar também a razão de magnitude ( R M ) que nada mais é que a razão de amplitude dividida pelo ganho do processo:

R M = R A K

R M = Y 0 K X 0

E por fim temos também o ângulo de fase ( θ ) que é o ângulo em radianos que avança ou atrasa a resposta com relação a entrada. No exemplo anterior por exemplo esse ângulo era π 2 e como ele era positivo nós dizemos que a resposta estava avançada em π 2 radianos com relação à entrada. Casso fosse negativo, seria um ângulo de atraso.

Razão de amplitude e razão de magnitude

Como vimos no início desse tópico, o objetivo da análise de frequência é analisar como a razão de amplitude e o ângulo de fase da resposta variam de acordo com a frequência da função da entrada.

Existem mecanismos matemáticos que nos permitem calcular esses parâmetros usando apenas os parâmetros da função de transferência do processo e a frequência da entrada.

Vamos sempre considerar como exemplo a função de transferência de primeira ordem padrão:

G s = K τ s + 1

Para o cálculo da razão de amplitude nós vamos precisar calcular o módulo da função de transferência quando s tende a i ω :

R A = G s s → i ω

R A = K τ i ω + 1

O módulo de um quociente é o mesmo que o módulo do numerador pelo módulo do denominador:

R A = K τ i ω + 1

Supondo K positivo, o módulo de K será o próprio K e o módulo de um número complexo é a raiz quadrada da parte imaginária ao quadrado mais a parte real ao quadrado, ou seja:

R A = K τ 2 ω 2 + 1

E a razão de magnitude:

R M = 1 τ 2 ω 2 + 1

Sendo assim, quando tivermos uma função de transferência e desejarmos calcular sua razão de amplitude em função da frequência de entrada, devemos substituir s por i ω e calcular o módulo da função de transferência. Lembrando sempre que o módulo do quociente pode ser calculado pela divisão entre o módulo do numerador pelo módulo do denominador e que o módulo de um número complexo pode ser calculado da seguinte forma:

a i + b = a 2 + b 2

Ângulo de fase

O ângulo de fase também tem uma forma bem direta de ser calculado, ele será igual ao ângulo de fase da função de transferência quando s tende a i ω

θ = ∠ G s s → i ω

Para o exemplo de função de primeira ordem:

θ = ∠ K i ω τ + 1

O ângulo de fase de um quociente pode ser reescrito como o ângulo de fase do numerador menos o ângulo de fase do denominador:

θ = ∠ K - ∠ ( i ω τ + 1 )

O ângulo de fase pode ser algebricamente calculado como a t g - 1 da parte imaginária de um número:

∠ a i + b = tan - 1 ⁡ a

Sendo assim para o nosso exemplo:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ ω τ = - tan - 1 ⁡ ω τ

Resumindo tudo: para calcular o ângulo de fase da resposta em função da frequência de entrada a partir da função de transferência do processo devemos primeiramente substituir s por i ω e calcular o ângulo de fase da função de transferência. O ângulo de fase pode ser calculado fazendo-se o ângulo de fase do numerador menos o ângulo de fase do denominador. Se um número for puramente real seu ângulo de fase sempre será 0 .

Partiu exercício?

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Exercício Resolvido #1

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exemplo 10.1. Adaptado.

Determine a expressão analítica da magnitude da resposta em frequência e da fase da resposta em frequência para o sistema:

G s = 1 s + 2

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Passo 1

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 1 i ω + 2

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 1 i ω + 2

O módulo de um quociente pode ser reescrito como o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador. Sendo assim:

R A = 1 i ω + 2

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = 1 ω 2 + 4

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser resscrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 1 i ω + 2 = ∠ 1 - ∠ i ω + 2

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ ω 2

Portanto:

θ = - tan - 1 ⁡ ω 2

Resposta

R A = 1 ω 2 + 4

θ = - tan - 1 ⁡ ω 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Determine a resposta analítica para a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência abaixo:

G s = 5 3 s + 5

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Passo 1

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 5 3 i ω + 5

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 5 3 i ω + 5

O módulo de um quociente pode ser reescrito como o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador. Sendo assim:

R A = 5 3 i ω + 5

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = 5 9 ω 2 + 25

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser resscrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 5 3 i ω + 5 = ∠ 5 - ∠ 3 i ω + 5

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ 3 ω 5

Portanto:

θ = - tan - 1 ⁡ 3 ω 5

Resposta

R A = 5 9 ω 2 + 25

θ = - tan - 1 ⁡ 3 ω 5

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Calule a razão de amplitude e o ângulo de fase para a resposta considerando a função de transferência abaixo:

G s = 3 s + 5

A entrada é senoidal e tem a seguinte forma:

Dê a expressão da resposta y ( t ) .

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Passo 1

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 3 i ω + 5

Pelo gráfico podemos ver que a entrada efetua um ciclo a cada 2,5   s e g u n d o s , sendo assim, a frequência em hertz será:

f = 1 2,5 = 0,4   s e g 1

Para passar para r a d / s e g :

ω = 2 π f

ω = 2 π * 0,4 = 0,8 π

Substituindo na função de transferência:

G i ω = 3 0,8 π i + 5

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 3 0,8 π i + 5

O módulo de um quociente pode ser reescrito como o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador. Sendo assim:

R A = 3 0,8 π i + 5

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = 3 0,64 π 2 + 25 = 0,54

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser reescrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 3 0,8 π + 5 = ∠ 3 - ∠ 0,8 π i + 5

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ 0,8 π 5

Portanto:

θ = - tan - 1 ⁡ 0,8 π 5 = - 0,47   r a d

Passo 4

A resposta y ( t ) terá a seguinte forma:

y t = Y 0 sen ⁡ ( ω t + θ )

A frequência, ω , será a mesma da frequência da entrada, então:

ω = 0,8 π

O ângulo de fase já foi calculado:

θ = - 0,47   r a d / s  

Já para calcular a amplitude, devemos usar a definição de razão de amplitude, que é a razão entra a amplitude da saída pela amplitude de entrada

R A = Y 0 X 0  

A razão de amplitude já foi calculada e a amplitude da entrada pode ser obtida pelo gráfico, sendo assim:

Y 0 = R A * X 0

R A = 0,54

X 0 = 2

Y 0 = 0,54 * 2 = 1,08

A expressão da resposta y ( t ) será, então:

y t = 1,08 sen ⁡ 0,8 π t - 0,47

Resposta

R A = 0,54

θ = - 0,47   r a d

y t = 1,08 sen ⁡ 0,8 π t - 0,47

Exercício Resolvido #4

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exercício 10.1. Adaptado.

Determine as expressões analíticas para a magnitude e a fase da resposta de:

G s = 1 ( s + 2 ) ( s + 4 )

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Passo 1

Primeiramente vamos efetuar a multiplicação entre os termos do denominador:

G s = 1 s 2 + 6 s + 8

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 1 i ω 2 + 6 i ω + 8

Como:

i ω 2 = - ω 2

Teremos:

G i ω = 1 6 i ω + 8 - ω 2

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 1 6 i ω + 8 - ω 2

O módulo de um quociente pode ser reescrito como o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador. Sendo assim:

R A = 1 6 i ω + 8 - ω 2

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = 1 36 ω 2 + 8 - ω 2 2

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser escrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 1 6 i ω + 8 - ω 2 = ∠ 1 - ∠ 6 i ω + 8 - ω 2

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ 6 ω 8 - ω 2

Portanto:

θ = - tan - 1 ⁡ 6 ω 8 - ω 2

Resposta

R A = 1 36 ω 2 + 8 - ω 2 2

θ = - tan - 1 ⁡ 6 ω 8 - ω 2

Exercício Resolvido #5

Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pag 263, Exemplo 8-4.4

Determine as expressões de R A e θ para um integrador:

G s = 1 s

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Passo 1

Primeiramente devemos expressar nossa função de transferência substituindo s por i ω .

G i ω = 1 i ω

Passo 2

A razão de amplitude pode ser calculada através do módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 1 i ω

Como:

G 1 G 2 = G 1 G 2

R A = 1 i ω

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Nesse caso, o numerador é um número real puro e o denominador é um imaginário puro. Portanto:

R A = 1 ω 2 = 1 ω

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser escrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 1 i ω = ∠ 1 - ∠ i ω

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ ∞

Portanto:

θ = - 90 º

Uma coisa bacana de lembrar é que o ânglo de fase de um número real puro sempre será 0 º e de um número imaginário puro sempre será 90 º

Resposta

R A = 1 ω

θ = - 90 º

Exercício Resolvido #6

Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pag 262, Exemplo 8-4.2

Considere a seguinte função de transferência de avanço de primeira ordem:

G s = K ( 1 + τ s )

Esta é uma função de transferência composta de um ganho vezes um avanço de primeira ordem. Determine as expressões para R A e θ .

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Passo 1

O primeiro passo será reescrever a função de transferência em termos de i ω :

G i ω = K ( 1 + i ω τ )

Passo 2

A razão de amplitude pode ser calculada através do módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = K ( 1 + i ω τ )

Como:

G 1 G 2 = G 1 G 2

R A = K 1 + i ω τ

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = K 1 + ω 2 τ 2

Passo 3

O ângulo de fase de um produto pode ser resscrito como a soma do ângulo de fase das parcelas:

θ = ∠ K 1 + i ω τ = ∠ 1 + ∠ 1 + i ω τ

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 + tan - 1 ⁡ ω τ

Portanto:

θ = tan - 1 ⁡ ω τ

Repare que o ângulo de fase é positivo, é por isso que esse tipo de função de transferência do exercício é chamada de função de transferência de avanço.

Resposta

R A = K 1 + ω 2 τ 2

θ = - tan - 1 ⁡ ω τ

Exercício Resolvido #7

Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pag 262, Exemplo 8-4.1

Considere a seguinte função de transferência de segunda ordem:

G s = K τ 2 s 2 + 2 τ ζ s + 1

Determine as expressões para R A e θ .

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Passo 1

Primeiramente devemos substituir s por i ω

G i ω = K τ 2 i ω 2 + 2 τ ζ i ω + 1

Como:

i ω 2 = - ω 2

G i ω = K 2 τ ζ i ω - ω 2 τ 2 + 1

Passo 2

A razão de amplitude pode ser calculada através do módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = K 2 τ ζ i ω - ω 2 τ 2 + 1

Como:

G 1 G 2 = G 1 G 2

R A = K 2 τ ζ i ω - ω 2 τ 2 + 1

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real.

A parte real do número do denominador é - ω 2 τ 2 + 1 e a parte imaginária é 2 τ ζ ω . Sendo assim:

R A = K 1 - ω 2 τ 2 2 + 4 τ 2 ζ 2 ω 2  

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser escrito como a diferença do ângulo de fase dos termos:

θ = ∠ K 2 τ ζ i ω - ω 2 τ 2 + 1 = ∠ K - ∠ 2 τ ζ i ω - ω 2 τ 2 + 1

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ 2 τ ζ ω 1 - ω 2 τ 2

Portanto:

θ = - tan - 1 ⁡ 2 τ ζ ω 1 - ω 2 τ 2

Resposta

R A = K 1 - ω 2 τ 2 2 + 4 τ 2 ζ 2 ω 2  

θ = - tan - 1 ⁡ 2 τ ζ ω 1 - ω 2 τ 2

Exercício Resolvido #8

Elaboração prórpria

Determine expressões analíticas para a magnitude e a fase da resposta de:

G s = 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )

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Passo 1

Primeiramente vamos efetuar a multiplicação entre os termos do denominador:

G s = 2 ( s + 1 ) s 2 + 5 s + 6

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 2 ( i ω + 1 ) i ω 2 + 5 i ω + 6

Como:

i ω 2 = - ω 2

Teremos:

G i ω = 2 ( i ω + 1 ) 5 i ω + 6 - ω 2

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω