Compensadores de avanço-atraso de fase

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Teoria

Introdução

Já vimos que alguns processos precisam do auxílio de compensadores para que eles possam ter suas respostas ajustadas.

Alguns processos podem ter sua resposta muito oscilatória e instável, e então, para melhorar essas características nós usamos um compensador de avanço de fase para fazer a correção:

C s = K s + a s + b

Com

a < | b |

Outras vezes, podemos ter processos com erro em regime permanente muito grande, e então desejamos reduzir esse erro, para esses casos utilizamos os compensadores de atraso de fase:

C s = K s + a s + b

Com

a > | b |

Mas e se precisarmos corrigir as duas coisas? E se a resposta do nosso processo não estiver lá grandes coisas e o erro em regime permanente estiver horrível? A resposta é mais simples do que parece: é só usar as duas estratégias combinadas. Esses compensadores são os compensadores de avanço-atraso de fase.

C s = K s + a s + b s + c s + d

A primeira parte dessa função de transferência é referente ao compensador de avanço de fase, e por isso:

a < | b |

E a segunda parte vem do compensador de atraso de fase, então:

c > d

Projeto de compensador de avanço-atraso de fase

Para projetar esses compensadores nós não usaremos nada novo. O que iremos fazer basicamente é reciclar as técnicas, métodos e macetes que usamos para projetar os controladores de avanço de fase e de atraso de fase separadamente.

Sendo assim, para projetar um controlador de avanço-atraso, podemos primeiramente projetar um compensador de avanço, atendendo aos critérios da resposta transiente, em seguida, projetamos um controlador de atraso (considerando a existência do controlador de avanço) que atenda aos critérios de erro em regime permanente.

É recomendado fazer nessa ordem porque a parte do atraso geralmente não altera significativamente os parâmetros de projeto da resposta transitória (overshoot e tempo de sedimentação). Porém, a parte do avanço causa mudanças significativas no erro em estado estacionário. Por isso, não é vantajoso projetar primeiramente o atraso e atender à especificação de erro em estado estacionário se quando o avanço for projetado bagunçar tudo o que você já tinha feito anteriormente.

Vamos botar a mão na massa então. Lembra como faz o projeto de controladores usando o lugar das raízes?

Se não, eu te aconselho a ir dar uma conferida nesse conteúdo, mas se você só precisar de uma refrescada na lembrança, vou fazer um resumão porque eu tô muito legal hoje.

Para o compensador de avanço da fase:

  • Utilizando as especificações para a resposta transitória, nós devemos calcular os polos dominantes em malha fechada usando as seguintes fórmulas:
  • s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

    Sendo que:

    O S = e - ζ π 1 - ζ 2

    T s = 4 ζ ω n

  • Com os polos dominantes definidos, devemos arbitrar uma posição para o zero e então usando a condição de fase, aquela que diz que a soma de todos os ângulos dos polos e dos zeros deve ser um múltiplo ímpar de 180 º , calculamos onde devemos colocar o nosso polo.
  • ∠ K G s C s = 180 º ( 2 r + 1 )

  • Agora que já temos o polo e o zero da parte de avanço de fase, para calcular o ganho, devemos usar a condição de módulo, que diz que o produto do módulo de todos os zeros e polos deve ser igual a 1 .
  • K G s C s = 1

    Pronto, temos a parcela de avanço do nosso compensador, precisamos agora da parcela de atraso. Para o atraso precisamos:

  • Acoplar a função de transferência do compensador de avanço projetado anteriormente à função de transferência do sistema;
  • Determinar os polos dominantes para esse sistema (que serão os mesmos que o que a gente já achou para projetar o avanço);
  • Com a especificação do erro requerido, ou do k p , determinar a relação entre o zero e o polo, isto é, quantas vezes o zero deve ser maior que o polo para que a especificação da faixa de erro seja atendida.
  • Após determinar essa relação, deve-se arbitrar um valor para o polo. É interessante que o valor arbitrado seja baixo, entretanto, se for muito baixo o sistema pode ficar muito lento, geralmente não se recomenda escolher valores de polo abaixo de 0,01 .
  • Após arbitrar o valor do polo, posicione o zero através da relação que você encontrou anteriormente;
  • Caso o polo e o zero do compensador de atraso de fase tenham ficado muito afastado, é recomendado recalcular o ganho da mesma forma que foi feita anteriormente, ou seja, usando o critério do módulo.

K G s C s = 1

Às vezes, a introdução do compensador de atraso, pode acabar bagunçando um pouco as especificações de resposta transiente que você ajustou com o compensador de avanço. Essa bagunçada geralmente não é muito grande porque como o compensador de atraso tem polo e zero muito pequenos e próximos um do outro, o impacto na resposta transiente é baixo. Entretanto, se o seu projeto é muito rigoroso e as especificações precisam ser seguidas à risca, seria legal deixar uma folguinha quando você for projetar a parte de avanço já antecipando que a parte do atraso vai alterar um pouco as especificações da resposta transiente.

Projeto de compensador de avanço-atraso de fase

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Para o controle de um processo industrial, usa-se um compensador em série com a planta. O compensador apresenta em sua função de transferência um zero e um polo, ambos reais e posicionados em -8 e -12, respectivamente. Composto de apenas um zero e um polo, esse compensador, com o ajuste do ganho de malha, vai posicionar os polos do sistema em malha fechada numa posição de interesse para o melhor desempenho do sistema.

A classificação desse tipo de compensador e a respectiva justificativa estão adequadamente apresentadas em

a) atraso de fase, porque o valor absoluto do polo é maior do que o valor absoluto do zero

b) avanço de fase, porque, para valores positivos de frequência, o ângulo de fase do compensador será sempre positivo

c) atraso, porque o zero está mais próximo da origem do plano complexo do que o polo.

d) atraso de fase, porque, para valores positivos de frequência, o ângulo de fase do compensador será sempre negativo.

e) Avanço de fase, porque o ângulo de fase do compensador, para qualquer valor de frequência, nunca ultrapassa os 90º.

Passo 1

Bom, vamos analisar todas as informaçãoe que nós temos aqui. O nosso compensador está com o zero em - 8 e o polo em - 12 . O enunciado não fala explicitamente o ganho, então podemos afirmar apenas que a função de transferência desse compensador é:

C s = K s + 8 s + 12

Nesse compensador, o zero é menor, em módulo, que o polo, o que é uma estrutura característica de um compensador de avanço de fase.

Os compensadores de avanços de fase tem esse nome justamente porque o fato do módulo do numerador ser menor que o do denominador faz com que o ângulo de fase do compensador seja sempre positivo. Caso o contrário acontecesse, o ângulo de fase seria sempre negativo.

Isso pode ser melhor visto na imagem abaixo:

O ângulo de fase resultante é igual à soma dos ângulos de fase dos polos e zeros, sendo que os polos contribuem com valor negativo e os zeros com valor negativo, ou seja, o ângulo de fase θ resultante será:

θ = θ 1 - θ 2

Como θ 1 é maior que θ 2 o ângulo de fase resultante sempre será positivo (avanço).

Portanto, a resposta que mais se adequa é:

b) avanço de fase, porque, para valores positivos de frequência, o ângulo de fase do compensador será sempre positivo

Resposta

b) avanço de fase, porque, para valores positivos de frequência, o ângulo de fase do compensador será sempre positivo

Exercício Resolvido #2

Com relação as técnicas de projeto de controladores para os diferentes sistemas, é

CORRETO afirmar:

A) o compensador avanço de fase é empregado quando deseja-se diminuir o

sobressinal da resposta temporal .

B) o compensador de avanço de fase atua na compensação nas altas frequências.

C) o compensador atraso de fase é empregado quando deseja-se diminuir o erro de

regime permanente.

D) o LGR não pode ser utilizado como uma técnica de projeto de um compensador de

avanço de fase.

E) no compensador avanço de fase, o valor do zero da função de transferência do

controlador é maior que o valor do polo.

Passo 1

Vamos analisar cada uma das opções separadamente.

A primeira diz que os compensadores de avanço de fase são usado para diminuir o sobressinal (overshoot).

Apesar de os compensadores de avanço poderem ser usados para esse objetivo, não é sempre que isso acontece. Na verdade, o compensador de avanço serve para você escolher o overshoot qur você quer, e isso pode significar uma diminuição ou um aumento.

Portanto, esta alternativa está incorreta.

Passo 2

A segunda alternativa diz que o compensador de avanço atua na compensação em altas frequências.

Essa alternativa também está incorreta, na verdade, o compensador de avanço de fase em altas frequências fica vulnerável a ruídos de alta frequência, o que não é nada bom.

Passo 3

A terceira alternativa diz que o compensador de atraso de fase é usado quando se deseja diminuir o erro em regime permanente de um sistema.

Essa alternativa está correta uma vez que o principal motivo de se usar o compensador de atraso de fase é justamente a diminuição desse erro em regime permanente, também conhecido como offset.

Passo 4

Essa é quase uma ofensa, ela diz que o LGR (lugar geométrico das raízes) não pode ser usado para projetar um compensador.

Bom, basicamente o que a gente mais fez até aqui foi usar o LGR para projetar compensador, então essa resposta está claramente errada.

Passo 5

Para terminar, a última alternativa diz que no compensador de avanço o valor do zero é maior que o do polo.

Ess afirmativa está incorreta porque o que acontece é justamente o contrário. Para um compensandor ser considerado de avanço, o valor do zero deve ser menor que o do polo.

Resposta

C) o compensador atraso de fase é empregado quando deseja-se diminuir o erro de

regime permanente.

Exercício Resolvido #3

Dado o sistema de controle acima, calcule o ganho do compensador sabendo que é desejado que o polo dominante seja:

s = - 2,0 ± 3 i

Passo 1

Primeiramente, vamos representar todos os polos e zero no diagrama de lugar das raízes.

Como o compensador tem um zero em - 2 e também existe um polo nesse mesmo ponto, podemos fazer um cancelamente polo/zero.

Passo 2

Vamos agora, calcular as distâncias desses polos e zeros até o polo dominante:

Usando o Teorema de Pitágoras:

h 1 = 3,0 2 + 2,0 2 = 3,6 0

h 2 = 3,0 2 + 1,99 2 = 3,60

h 3 = 3,0 2 + 1,5 2 = 3,35

h 4 = 3,0 2 + 1 2 = 3,16

h 5 = 3,0 2 + 8,0 2 = 8,54

O ganho poderá ser calculado da seguinte maneira:

K C K h 3 h 1 h 2 h 4 h 5 = 1

O h 3 ficou no numerador pois é o único zero que estamos avaliando.

K é o ganho da função de transferência em malha aberta, nesse caso, 5 e K C é o ganho do compensador que desejamos encontrar:

K C = h 1 h 2 h 4 h 5 K h 3 = 104,40

Resposta

K C = 104,40

Exercício Resolvido #4

Dados os dois sistemas compensados acima. Responda qual dos dois compensadores será mais efetivo em diminuir o erro em estado estacionárioa e qual dos dois irá afetar mais significativamente a resposta transitória.

Levando em consideração ambos os fatores, qual você acredita que seja o melhor compensador?

Passo 1

Só existe uma diferença entre os dois sistema que é a parte do atraso do compensador de avanço/atraso. O atraso é justamente o responsável por diminuir o erro em regime permanente.

Para saber qual dos dois será mais efetivo em diminuir o erro, devemos olhar a razão entre o zero e o polo. Quanto maior for essa razão, menor será o erro em regime permanente.

Para o primeiro caso temos:

0,1 0,05 = 2

E para o segundo:

0,5 0,01 = 50

Dessa forma, o sistema b terá erro em regime permanente muito menor que o sistema a .

Passo 2

Para que a parte do atraso do compensador de avanço e atraso interfira o mínimo possível na resposta transitória (overshoot e tempo de assentamento) a distância do polo e do zero deve ser a menor possível.

Podemos reparar que no primeiro caso o zero está mais próximo do polo do que no segundo caso, por isso esse par polo/zero terá poquíssimo efeito sobre a resposta transitória.

Passo 3

Sendo assim, o compensador b reduz o erro com uma efetividade muito melhor que o compensador a mas ele afeta a resposta transitória mais significantemente também.

Entretanto, podemos perceber que a diferença entre a distância do par polo/zero do atraso desses compensadores não é tão grande.

Sendo assim o compensador b é muito melhor em corrigir o erro enquanto o compensador a é ligeiramente melhor quanto à interferência na resposta transitória. Portanto, o compensador b é a melhor opção.

Resposta

Compensador b reduz melhor o erro.

Compensador a impacta menos a respota transitória.

Compensador b é melhor.

Exercício Resolvido #5

Dado o sistema com realimentação unitária, sem compensação mostrado abaixo

G s = 10 s + 0,5 s + 1 ( s + 5 )

Projete um compensador para resultar nas seguintes especificações:

Overshoot: 25 % ;

Tempo de acomodação para uma faixa de 2 % : 3   s e g u n d o s ;

Erro em regime permanente para uma entrada degrau: 0 , 05 .

Passo 1

Vamos começar projetando a parte de avanço do nosso compensador. Vamos fazer isso da mesma forma que fazíamos quando estavámos projentando um compensador de avanço de fase simples. Bora lá!

Primeiramente, precisaremos determinar os polos dominantes em malha fechada do sistema compensado, ou seja, os polos dominantes que produzirão o overshoot e o tempo de acomodação desejados.

O polo dominante poderá ser encontrado através da expressão:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

Para encontrar ζ e ω n usaremos as especificações do projeto.

O fator de amortecimento ζ pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Como queremos um overshoot de 25 % :

ζ = 0 , 404

Para encontrar ω n devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % :

T s = 4 ζ ω n

Como T s = 3

ω n = 4 ζ T s = 3,30

Portanto, o polo dominante será:

s = - 1,3 ± 3,0 i

Passo 2

Vamos então representar no diagrama de lugar das raízes os dois polos dominantes e também os polos e zeros da nossa função de transferência em malha aberta. Nesse caso, a função só tem polos e ficaremos com a seguinte representação:

Vamos usar os “x” vermelho para representar os polos do compensador e o ponto preto é o polo dominante que nós encontramos, mas eu representei no diagrama só um dos dois polos porque para fazer o projeto é necessário apenas um.

Quando estamos projetando m compensador de avanço podemos arbitrar a posição do zero e fazer com que o polo obedeça essa posição encontada.

E já que podemos escolher qualquer posição para o zero, a gente que não é bobo nem nada vai escolher uma posição que beneficia a gente. Se colocarmos o zero do compensador na mesma posição que um do polos. O zero vai cancelar o polo e então teremos menos pontos para trabalhar no projeto. Sendo assim, vamos assumir:

a = 1

Agora que arbitramos a posição do zero, vamos encontrar o zero através da regra dos ângulos:

Não temos mais o polo em - 1 pq ele foi cortado com o zero do compensador. O polo do compensador que precisamos determinar, está representado pelo - b . Para saber onde ele está, usaremos a regra dos ângulos

∠ K G s C s = 180 ° 2 r + 1

Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de - 180 ° .

Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:

θ 1 = 180 - t g - 1 3,0 1,3 - 0,5 = 104,93 °

θ 2 = t g - 1 3 5 - 1,7 = 39,03 °

Sendo assim:

θ 3 + 104,93 + 39,03 = 180 °

θ 3 = 36,04 °

E com o ângulo θ 3 , conseguimos determinar a posição de b :

tan ⁡ 36,04 = 3 b - 1,3

b = 5,4

Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em - 5,4 .

Sendo assim já determinamos o polo e o zero da parte de avanço, e ainda falta determinar o ganho, o polo e o zero do compensador.

C ( s ) = K c s + 1 s + 5,4 s + c s + d

Passo 3

Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:

K G s C s = 1

Vamos calcular as distâncias h 1 , h 2 e h 3 :

h 1 = 3,0 2 + 0,8 2 = 3,10

h 2 = 3,0 2 + 3,7 2 = 4,76

h 3 = 3,0 2 + 4,1 2 = 5,08

Sendo assim, o ganho será:

K C K h 1 h 2 h 3 = 1

Sendo K o ganho da função de transferência em malha aberta, nesse caso, 10 e K C o ganho do compensador que desejamos encontrar:

K C = h 1 h 2 h 3 K = 7,48

Portanto, estamos assim com o nosso projeto:

C ( s ) = 7,48 s + 1 s + 5,4 s + c s + d

Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.

Passo 4

Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar. Para isso usaremos a especificação do erro em regime permanente.

Para uma entrada degrau unitário, teremos a seguinte expressão para o erro:

e ∞ = 1 1 + lim s → 0 ⁡ C ( s ) G s

Como queremos que o erro seja igual a 0,05 teremos:

1 1 + lim s → 0 ⁡ 7,48 s + 1 s + 22,4 s + c s + d 10 s + 0,5 s + 1 s + 5 = 0,05

1 + lim s → 0 ⁡ 7,48 s + 1 s + 5,4 s + c s + d 10 s + 0,5 s + 1 s + 5 = 20

lim s → 0 ⁡ 7,48 s + 1 s + 5,4 s + c s + d 10 s + 0,5 s + 1 s + 5 = 19

Com isso, conseguimos obter:

c d ≅ 3,4

Ou seja, o zero dever ser maior que o polo por um fator de 3,4   vezes para que o erro em regime estacionário do sistema compensado seja igual a 0,05 .

Sabemos que o polo e o zero do compensador de atraso devem ser o menor possível para não impactar na resposta transiente. Portanto, um bom valor para esse par seria:

d = 0,01

c = 0,034

Portanto, teremos:

C ( s ) = 7,48 s + 1 s + 5,4 s + 0,034 s + 0,01

Se quiséssemos ser muito precisos, poderíamos calcular novamente o ganho usando o critério do módulo. Entretanto a inclusão do novo polo e do novo zero quase não alterariam o ganho encontrado anteriormente uma vez que eles têm o módulo praticamente iguais por estarem muito próximos um do outro, e portanto, se anulariam. Sendo assim, para nós o projeto já está satisfatório.

Resposta

C ( s ) = 7,48 s + 1 s + 5,4 s + 0,034 s + 0,01

Exercício Resolvido #6

Projete um compensador de avanço e atraso de fase para o sistema mostrado abaixo de modo que o sistema opere com overshoot de 20 % e tempo de acomodação de 1,11   s e g u n d o s . Além disso, o sistema compensado deverá apresentar melhoria de dez vezes no erro em regime permanente para uma entrada em rampa.

G s = 192,1 s s + 6 s + 10

Passo 1

Vamos começar o fazendo o projeto da parte de avanço do nosso compensardor.

Para isso, precisamos primeiramente determinar os polos dominantes em malha fechada do sistema compensado, ou seja, os polos dominantes que produzirão o overshoot e o tempo de acomodação desejados.

O polo dominante poderá ser encontrado através da expressão:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

O fator de amortecimento ζ pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Como queremos um overshoot de 20 % :

ζ = 0 , 456

Para encontrar ω n devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % :

T s = 4 ζ ω n

Como T s = 1,11

ω n = 4 ζ T s = 7,90

Portanto, o polo dominante será:

s = - 3,6 ± 7,0 i

Passo 2

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui. Vamos colocar os polos dominantes da resposta compensada e também os polos da função de transferência do processo.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e os pontos pretos são os polos dominantes.

Vamos então começar a implementar o nosso avanço. Para isso precisamos arbitrar um valor para o zero e depois encontrar o valor para o polo.

Para facilitar o nosso lado, podemos estimar o valor do zero do compensador como sendo - 6 , porque aí o zero do compensador vai cortar com o polo do processo e aí diminui o número de cálculos que precisamos fazer. Portanto:

a = 6

Sendo a o zero do compensador de avanço. Para determinar o polo da parte de avanço, precisamos usar a regra dos ângulos aqui:

Repare que o polo em - 6 sumiu porque ele foi cortado com o zero do compensador. Além disso, adicionamos um polo em - b que é o polo do compensador que precisamos determinar através da regra:

∠ K G s C s = 180 ° 2 r + 1

Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de - 180 ° .

Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:

θ 1 = 180 ° - t g - 1 7 3,6 = 117,21 °

θ 2 = t g - 1 7 10 - 3,6 = 47,56 °

Sendo assim:

θ 3 + 117,21 + 47,56 = 180

θ 3 = 15,23 °

E por fim, conseguimos encontrar a posição de b :

tan ⁡ 15,23 ° = 7 b - 3,6

b = 29,3

Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em - 29,3 e até agora já estamos assim com a noss função de transferência:

C ( s ) = K c s + 6 s + 29,3 s + c s + d

Passo 3

Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:

K G s C s = 1

Devemos então calular as distâncias dos polos ao polos dominante e aplicar o critério:

h 1 = 7 2 + 3,6 2 = 7,87

h 2 = 7 2 + 6,4 2 = 9,48

h 3 = 7 2 + 25,7 2 = 26,63

Sendo assim, o ganho será:

K C K h 1 h 2 h 3 = 1

K C = h 1 h 2 h 3 K = 10,34

Portanto, estamos assim com o nosso projeto:

C ( s ) = 10,34 s + 6 s + 29,3 s + c s + d

Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.

Passo 4

Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar.

Para uma entrada rampa, teremos a seguinte expressão para o erro:

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s G s

Como queremos que o erro seja reduzido em 10 vezes, podemos fazer a razão do erro sem compensação e com compensação:

1 lim s → 0 ⁡ s G s 1 lim s → 0 ⁡ s C ( s ) G s = 10

Ou,

lim s → 0 ⁡ s C s G s lim s → 0 ⁡ s G s = 10

Substituindo o que temos:

lim s → 0 ⁡ s 10,34 s + 6 s + 29,3 s + c s + d 192,1 s s + 6 s + 10 lim s → 0 ⁡ s 192,1 s s + 6 s + 10 = 10

Teremos que:

c d = 4,72

Ou seja, o zero dever ser maior que o polo por um fator de 4,72   vezes.

Sabemos que o polo e o zero do compensador de atraso devem ser o menor possível para não impactar na resposta transiente. Portanto, um bom valor para esse par seria:

d = 0,01

c = 0,0472

Portanto, teremis:

C ( s ) = 10,34 s + 6 s + 29,3 s + 0,0472 s + 0,01

Se quiséssemos ser muito precisos, poderíamos calcular novamente o ganho usando o critério do módulo. Entretanto a inclusão do novo polo e do novo zero quase não alterariam o ganho encontrado anteriormente uma vez que eles têm o módulo praticamente iguais por estarem muito próximos um do outro, e portanto, se anulariam. Sendo assim, para nós o projeto já está satisfatório.

Resposta

C ( s ) = 10,34 s + 6 s + 29,3 s + 0,0472 s + 0,01

Exercício Resolvido #7

Dado o sistema com realimentação unitária, sem compensação mostrado abaixo

G s = 10 s s + 1 s + 3

Projete um compensador para resultar nas seguintes especificações: tempo de acomodação de 2,86   s e g u n d o s ; ultrapassagente percentual de 4,32 % e o erro em regime permanente deve ser melhorado por um fator de 20 vezes em relação ao do sistema sem compensação para uma entrada rampa.

Passo 1

Vamos começar com as especificações da resposta transitória que vão nos dar as informações que precisamos para determinar o polo e zero da parte de avanço do compensador.

Para isso, precisamos primeiramente determinar os polos dominantes em malha fechada do sistema compensado, ou seja, os polos dominantes que produzirão o overshoot e o tempo de acomodação desejados.

O polo dominante poderá ser encontrado através da expressão:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

O fator de amortecimento ζ pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Como queremos um overshoot de 4,32 % :

ζ = 0 , 707

Para encontrar ω n devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % :

T s = 4 ζ ω n

Como T s = 2,86

ω n = 4 ζ T s = 1,97

Portanto, o polo dominante será:

s = - 1,4 ± 1,4 i

Passo 2

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui. Vamos colocar os polos dominantes da resposta compensada e também os polos da função de transferência do processo.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e o ponto preto é um dos polos dominantes que vamos usar no nosso projeto.

Vamos então começar a implementar o nosso avanço. Para isso precisamos arbitrar um valor para o zero e depois encontrar o valor para o polo.

Para diminuir o número de contas, podemos colocar o zero do compensador “em cima” de um dos polos em malha fechada para que o zero cancele esse polo. Sendo assim:

a = 1

Sendo a o zero do compensador de avanço. Para determinar o polo da parte de avanço, precisamos usar a regra dos ângulos aqui:

Não temos mais o polo em - 1 pq ele foi cortado com o zero do compensador. O polo do compensador que precisamos determinar, está representado pelo - b . Para saber onde ele está, usaremos a regra dos ângulos

∠ K G s C s = 180 ° 2 r + 1

Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de - 180 ° .

Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:

θ 1 = 180 ° - t g - 1 1,4 1,4 = 135 °

θ 2 = t g - 1 1,4 3 - 1,4 = 41,19 °

Sendo assim:

θ 3 + 135 + 41,19 = 180

θ 3 = 3,81 °

E com o ângulo θ 3 , conseguimos determinar a posição de b :

tan ⁡ 3,81 = 1,4 b - 1,4

b = 22,4

Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em - 22,4 .

Sendo assim já determinamos o polo e o zero da parte de avanço, e ainda falta determinar o ganho, o polo e o zero do compensador.

C ( s ) = K c s + 1 s + 22,4 s + c s + d

Passo 3

Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:

K G s C s = 1

Vamos calcular as distâncias h 1 , h 2 e h 3 :

h 1 = 1,4 2 + 1,4 2 = 1,98

h 2 = 1,4 2 + 1,6 2 = 2,13

h 3 = 1,4 2 + 21 2 = 21,04

Sendo assim, o ganho será:

K C K h 1 h 2 h 3 = 1

K C = h 1 h 2 h 3 K = 8,87

Portanto, estamos assim com o nosso projeto:

C ( s ) = 8,87 s + 1 s + 22,4 s + c s + d

Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.

Passo 4

Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar.

Para uma entrada rampa, teremos a seguinte expressão para o erro:

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s G s

Como queremos que o erro seja reduzido em 20 vezes, podemos fazer a razão do erro sem compensação e com compensação:

1 lim s → 0 ⁡ s G s 1 lim s → 0 ⁡ s C ( s ) G s = 20

Ou,

lim s → 0 ⁡ s C s G s lim s → 0 ⁡ s G s = 20

Substituindo o que temos:

lim s → 0 ⁡ s 8,87 s + 1 s + 22,4 s + c s + d 10 s s + 1 s + 3 lim s → 0 ⁡ s 10 s s + 1 s + 3 = 20