Diagrama de Bode
Teoria
Diagrama de Bode
Continuando o nosso caminho na jornada do estudo das respostas em frequência, vamos nos aprofundar mais um pouco nesse assunto.
No último tópico vimos como calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase de uma função de transferência em função da frequência da entrada. Por exemplo, para a função de primeira ordem:
Nós vimos que:
Repare que esses dois parâmetros estão em função da frequência. Quando representamos graficamente essas duas grandezas em função da frequência temos o que chamamos de diagrama de bode. Por exemplo, para o caso acima o diagrama de bode para a função de transferência será:
O primeiro gráfico é o de razão de amplitude, entretanto, com o objetivo de facilitar os cálculos e as representações gráficas, muitas vezes opta-se por representar em vez de simplesmente . Quando fazemos essa modificação, chamamos a unidade de decibel (), e portanto a primeira curva é uma curva de em função do .
O segundo gráfico representa o ângulo de fase, em graus, em função do .
Vamos entender um pouco melhor esse tal de diagrama de Bode e ainda ver algumas técnicas de como esboçar esses diagramas?
Traçado por assíntotas – Razão de amplitude
O diagrama de Bode pode ser esboçado de maneira aproximada a partir de uma sequência de retas, e é nisso que focaremos a partir de agora.
Vamos continuar usando a função do exemplo:
Sempre que formos fazer o traçado por assíntotas do diagrama de bode, será interessante representar os polos e zero com um “mais um”, então vamos dividir toda a equação por
Então:
Como já discutimos, muitas vezes a curva é feita em decibéis, ou seja:
Vamos usar propriedades logarítmicas para manipular um pouco essa expressão:
Ou seja, a curva de pode ser escrita como a soma de duas curvas: uma constante, já que não depende da frequência, e uma outra curva que está em função da frequência. Vamos pensar um pouco a respeito essa segunda curva:
Vamos analisar o que acontece com essa curva em altas e em baixas frequências.
Em frequências muito baixas, podemos dizer que:
Então podemos desprezar o termo da frequência e a expressão fica:
Ou seja, em frequências muito baixas o polo não impacta na razão de amplitude pois .
Entretanto, em frequências muito altas:
E, portanto, podemos aproximar o termo como:
Ou seja, em altas frequências, esse termo se comporta como uma reta de inclinação , já que o diagrama de Bode está em função do logaritmo da frequência.
Vamos colocar isso no diagrama para entender melhor onde queremos chegar:
Nós vimos que a expressão para seria:
Nesse gráfico representamos em vermelho o primeiro termo, , que é uma constante, e em verde o segundo termo, . Esse segundo termo, como analisamos, é em frequências muito baixas, e uma reta com inclinação em frequências muito altas. Nós dizemos que a reta tem inclinação , ou seja, diminui a cada múltiplo de no gráfico. O ponto onde ocorre a transição entre os dois intervalos é o módulo do polo da função de transferência, ou seja, . Esse ponto é chamado de frequência de quebra.
Como o gráfico da razão de amplitude é uma soma desses dois termos (ou dessas duas retas), para desenhar então a versão final só nos resta juntar as duas retas:
Em baixas frequência, a razão de amplitude só é impactada por , a partir de , o segundo termo começa a fazer efeito sobre a razão de amplitude e a curva começa a decair com uma taxa de .
Compare o gráfico que esboçamos com o gráfico feito por um software que foi apresentado no início desse tópico. Você verá que eles são satisfatoriamente próximos.
Traçado por assíntotas – Ângulo de fase
Nós vimos no tópico anterior que para calcular o ângulo de fase em função da frequência de uma função de transferência devemos fazer o ângulo de fase do numerador menos o ângulo de fase do denominador. E para calcular o ângulo de fase, basta calcular a da parte imaginária dividida pela parte real. Para o nosso exemplo então:
Logo:
Novamente teremos o nosso parâmetro, nesse caso o ângulo de fase, como a soma de dois ou mais parâmetros.
O primeiro é uma constante:
Para o segundo, vamos fazer a mesma análise que fizemos para a razão de amplitude: ver como se comporta em altas e baixas frequências.
Em frequências muito baixas:
Então:
Em frequências muito altas:
Logo
Vamos colocar isso no gráfico então:
Em verde, temos o primeiro termo que como vimos é uma constante igual a . Em vermelho temos o termo referente ao polo da função de transferência. Em baixas frequência ele é , em altas frequências . Para saber onde fazer a transição, nós pegamos a frequência de quebra, , e determinamos que uma década antes dele teremos o trecho de baixa frequência, e uma década depois, o termo de alta frequência, em seguida ligamos as duas retas.
Para finalizar, basta somar as duas retas:
Como a reta verde era igual a do início ao fim, a resposta será idêntica à reta vermelha.
Compare o gráfico que esboçamos com o gráfico apresentado no início desse tópico feito por um software e você vai ver que são bem parecidos.
O efeito dos polos e zeros
Nós vimos acima um exemplo bem básico onde tínhamos apenas um polo.
Mas e quando tivermos polos e zeros?
Considere a função de transferência:
Aqui temos dois polos e um zero.
Vamos fazer primeiramente a análise da razão de amplitude:
Novamente a nossa expressão para será a soma de vários termos. Sendo assim, para representa-la no diagrama de Bode devemos representar cada termo separadamente e depois somar todos eles em uma curva só.
Mas repare no termo do zero:
Ele é muito parecido com os polos da função de transferência, porém ele é positivo.
Ou seja, em baixas frequências teremos:
E em altas frequências:
Portanto, tanto polos quanto zeros terão valor em baixas frequências, e serão uma reta com inclinação em altas frequências. A diferença será que os polos terão inclinação negativa e os zeros terão inclinação positiva.
Para o ângulo de fase teremos algo parecido. O termo do zero em baixas frequências será aproximado por:
E em altas frequências:
Portanto, os zeros em baixa frequência serão, assim como os polos, . Já em alta frequência, enquanto os polos serão , os zeros serão .
Alguns casos especiais
Mas e quando tivermos algo do tipo:
Bom, quando for assim devemos proceder da mesma forma:
Usando propriedades logarítmicas, teremos:
Ou seja, quando tivermos um termo quadrático, seja ele um zero ou um polo, nós procederemos da mesma forma, entretanto, em altas frequências a inclinação da reta ao invés de será .
Para o ângulo de fase, as mesmas regras explicadas anteriormente também se aplicam. Entretanto, em altas frequências, ao invés de , teremos .
E quando tivermos uma função do tipo:
Nós novamente agiremos da mesma forma, entretanto, a frequência de quebra, ou seja, o ponto em que a curva deixa de ser uma reta horizontal e passa a ser uma reta inclinada, será e a inclinação, por se tratar de um termo quadrático, será . Se esse termo estivesse no numerador, seria .
Para o ângulo de fase será o mesmo. A frequência de quebra será e em baixas frequências (uma década antes de ) o ângulo de fase será , e em altas frequências (uma década depois de ), será .
Um último caso é quando temos um termo , ou . Esses termos nós trataremos ele como tratamos os zeros ou polos normais. Como para esses casos o zero/polo está em , significa que eles serão uma reta com inclinação de desde o início do diagrama de Bode, ou seja, não terão aquele trecho igual a zero até a frequência de quebra que os polos e zeros comuns têm, já que a frequência de quebra deles é . Nesses casos, o ângulo de fase será desde o início.
Para entender como tudo isso se junta e conseguir mandar ver no diagrama de Bode só praticando. Bora?
Traçado por assíntotas – Ângulo de fase
O efeito dos polos e zeros
Alguns casos especiais
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:
Passo 1
Primeiramente vamos dividir toda a função por para conseguir aquele “mais um” no denominador:
Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):
Portanto:
E o ângulo de fase:
Passo 2
Vamos começar pela razão de amplitude.
O primeiro termo é uma constante, portanto será uma linha horizontal no diagrama de Bode, vamos representa-lo com uma linha verde:
Passo 3
Já o segundo termo:
Em frequências muito baixas será uma constante de valor , e em frequências altas será uma reta com inclinação (sabemos que a inclinação é negativa por causa do sinal, mas você pode guardar que sempre que um termo estiver no denominador da função de transferência, sua inclinação será negativa). O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é . Vamos represetar esse termo com uma linha vermelha.
Passo 4
Somando as duas parcelas:
Passo 5
Agora vamos trabalhar com o ângulo de fase:
Repare que em frequências muito baixas o ângulo de fase será , e em frequências muito altas, será . A mudança entre essas duas fazes acontece uma década antes e vai até uma década depois da frequência de quebra, que nesse caso é . Sendo assim:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:
Passo 1
Primeiramente vamos dividir toda a função por para conseguir aquele “mais um” no denominador:
Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):
Portanto:
E o ângulo de fase:
Passo 2
Começando pela razão de amplitude.
O primeiro termo é uma constante, portanto será uma linha horizontal no diagrama de Bode, vamos representa-lo com uma linha verde:
Passo 3
Já o segundo termo é uma reta com inclinação para qualquer faixa de frequência. Desde frequências muito baixas até frequências muito altas:
Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:
Em frequências muito baixas será uma constante de valor , e em frequências altas será uma reta com inclinação (sabemos que a inclinação é negativa por causa do sinal, mas você pode guardar que sempre que um termo estiver no denominador da função de transferência, sua inclinação será negativa). O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é . Vamos represetar esse termo com uma linha vermelha.
Por fim, o terceiro termo em frequências muito baixas será uma constante de valor , e em frequências altas será uma reta com inclinação . O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é . Vamos represetar esse termo com uma linha amarela:
Somando as três linhas:
Podemos perceber que o ponto inicial é em , a curca decai linearmente com inclinação desde o início do diagrama devido ao polo na origem. Em a curva começa a sofrer a influência do outro polo e começa a decair com inclinação
Passo 4
Partindo agora para o ângulo de fase:
A primeira linha é uma constante, já que:
Vamos representar essa linha com vermelho:
O segundo termo é um polo normal. Para esse tipo de polo consideraremos que em frequências muito baixas o ângulo de fase será , e em frequências muito altas, será . A mudança entre essas duas fazes acontece uma década antes e vai até uma década depois da frequência de quebra, que nesse caso é 3. Vamos representar esse polo com uma linha amarela. Sendo assim:
Somando as duas linhas:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:
Passo 1
Nessa função de transferência temos dois polos e um zero, nosso primeiro passo será transformar todos na forma . Então
Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir por :
Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):
Portanto:
E o ângulo de fase:
Passo 2
Começando pela razão de amplitude.
Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada termo separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:
Passo 3
Além da constanste, temos também um termo referente ao polo. Os polos são em frequência muito baixa e na frequência de quebra eles se tornam uma reta com inclinação negativa. Como polo da função de transferência está elevado ao quadrado, ao invés de uma inclinação de , a reta terá inclinação a partir da frequência de quebra que é . Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:
Passo 4
Agora, só precisamos somar as duas linhas:
Passo 5
Agora o ângulo de fase:
Como só temos um termo, não precisamos esboçar cada termo separadamente e depois somar, podemos fazer diretão.
Como temos um polo de grau , em frequências muito baixas o ângulo de fase será e em frequência altas será . A transição começa uma década antes da frequência de quebra e termina uma década depois da frequência de quebra que é , gerando uma reta com inclinação .
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:
Passo 1
Nessa função de transferência temos dois polos e um zero, nosso primeiro passo será transformar todos na forma . Então
Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir por :
Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):
Portanto:
E o ângulo de fase:
Passo 2
Começando pela razão de amplitude.
Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada um dos quatro termos separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:
Passo 3
O segundo termo é o termo referente ao zero da função de transferência. Ele será em frequências baixas e uma reta com inclinação a partir da frequência de quebra que é . A inclinação é positiva porque se trata de um zero. Lembre-se sempre: zeros têm inclinações positivas a partir da frequência de quebra e polos têm inclinações negativas. Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:
Passo 4
Além do zero, temos ainda dois polos que terão frequências de quebra em e . Como são polos, a inclinação deles a partir dessa frequência será negativa. Vamos representar essas retas em azul e amarelo:
Agora só precisamos somar todas as linhas:
No início só temos a influência da constante, e por isso a linha permanece reta. Quando a frequência atinge a curva começa a sentir o efeito do primeiro polo e cai a uma taxa de até . Nesse ponto, o zero também começa a ser sentido, e dessa forma, o zero e o polo se anulam. Em os efeitos do segundo polo passam a contar e então, a curva volta a ter inclinação negativa
Passo 5
Agora vamos olhar para o ângulo de fase:
Vamos usar as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude. O zero representado por uma linha vermelha e um polo com uma linha azul e o outro com uma linha amarela:
O ângulo de fase é sempre em baixas frequências e em altas frequências caso seja um zero, e em altas frequências caso seja um polo. A transição começa uma década antes da frequência de quebra e vai até uma década depois da frequência de quebra, gerando uma reta com inclinação .
Vamos somar as três linhas então:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração própria
Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:
Passo 1
Nesse caso nós temos um zero de primeira ordem e um polo de segunda ordem, nosso primeiro passo será transformar todos na forma . Então
Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir por :
Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em ):
Portanto:
E o ângulo de fase:
Passo 2
Começando pela razão de amplitude.
Para a expressão da razão de amplitude temos dois termos, o primeiro referente ao zero da função de transferência e o segundo referente ao polo.
O termo do zero é um termo comum, de primeira ordem, com frequência de quebra em . Vamos representar esse termo com uma linha verde:
Passo 3
Já o segundo termo, referente ao polo da função de transferência, é um termo de seguda ordem. A frequência de quebra nesse caso será . Ou seja, no mesmo ponto do zero. Como se trata de um polo, a inclinação será negativa e por ser de segunda ordem, a inclinação será . Vamos representar o polo com uma linha vermelha:
Passo 4
Agora só precisamos somar as duas linhas as linhas. Até o ponto em que ambas as linhas apresentam razão de amplitude . Nesse ponto, começamos a ter a influência de um zero que contribui com uma reta e de um polo que contribui com