Diagrama de Bode

Ver Todos os Exercícios

Teoria

No diagrama de bode representamos razão de amplitude e o ângulo de fase de uma função de transferência em função da frequência de entrada.

📢 Clique para ver mais:

Ele tem essa carinha aqui:

Diagrama de Bode: Exemplo
Diagrama de Bode: Exemplo

O primeiro gráfico é o de razão de amplitude, entretanto, com o objetivo de facilitar os cálculos e as representações gráficas, muitas vezes opta-se por representar em vez de simplesmente .

Quando fazemos essa modificação, chamamos a unidade de decibel , e portanto a primeira curva é uma curva de em função do .
O segundo gráfico representa o ângulo de fase, em graus, em função do .

Vamos entender um pouco melhor esse tal de diagrama de Bode e ainda ver algumas técnicas de como esboçar esses diagramas?

Traçado por assíntotas: Razão de amplitude

O diagrama de Bode pode ser esboçado de maneira aproximada a partir de uma sequência de retas, e é nisso que focaremos a partir de agora. Vamos continuar usando a seguinte função:


Sempre que formos fazer o traçado por assíntotas do diagrama de bode, será interessante representar os polos e zero com um “mais um”, então vamos dividir toda a equação por :

Então:

Muitas vezes a curva é feita em decibéis, ou seja:

Vamos usar propriedades logarítmicas para manipular um pouco essa expressão:

Ou seja, a curva de pode ser escrita como a soma de duas curvas:

  • que é uma constante, já que não depende da frequência
  • variável, em função da frequência .

Para a segunda curva, vamos analisar o que acontece em altas e em baixas frequências.

Baixas Frequências de Entrada

Se temos baixas frequências de entrada, podemos dizer que:

Então podemos desprezar o termo da frequência e a expressão fica:

Ficamos então com:

Ou seja, em frequências muito baixas o polo não impacta na razão de amplitude.

Altas Frequências de Entrada

Agora é o inverso, temos altas frequências de entrada, então:

Fazemos a seguinte aproximação:

Substituindo na expressão para :

Ou seja, em altas frequências, esse termo se comporta como uma reta de inclinação , já que o diagrama de Bode está em função do logaritmo da frequência.

Esboço do Diagrama de Bode

Vamos colocar isso no diagrama para entender melhor onde queremos chegar:

Esboço do diagrama de bode.
Esboço do diagrama de bode.

Nós vimos que a expressão para seria:

Nesse gráfico representamos em vermelho o primeiro termo, , que é uma constante, e em verde o segundo termo, . Esse segundo termo, como analisamos, é em frequências muito baixas, e uma reta com inclinação em frequências muito altas.

Nós dizemos que a reta tem inclinação , ou seja, diminui a cada múltiplo de no gráfico.O ponto onde ocorre a transição entre os dois intervalos é o módulo do polo da função de transferência, ou seja, . Esse ponto é chamado de frequência de quebra.

Como o gráfico da razão de amplitude é uma soma desses dois termos (ou dessas duas retas), para desenhar então a versão final só nos resta juntar as duas retas:

Diagrama de Bode.
Diagrama de Bode.

Em baixas frequência, a razão de amplitude só é impactada por , a partir de , o segundo termo começa a fazer efeito sobre a razão de amplitude e a curva começa a decair com uma taxa de .

Prontinho! Agora vamos praticar com exercícios?

Traçado por assíntotas: Razão de amplitude

Esboço do Diagrama de Bode

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 30 s + 5

Passo 1

Primeiramente vamos dividir toda a função por 5 para conseguir aquele “mais um” no denominador:

G s = 6 s 5 + 1

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 6 i ω 5 + 1 = 20 log ⁡ 6 - 20 log ⁡ i ω 5 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 6 - 20 log ⁡ ω 5 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 6 - ∠ i ω 5 + 1 = - tan - 1 ⁡ ω 5

Passo 2

Vamos começar pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 6 - 20 log ⁡ ω 5 2 + 1

O primeiro termo é uma constante, portanto será uma linha horizontal no diagrama de Bode, vamos representa-lo com uma linha verde:

20 log ⁡ 6 = 15,56

Passo 3

Já o segundo termo:

- 20 log ⁡ ω 5 2 + 1

Em frequências muito baixas será uma constante de valor 0 , e em frequências altas será uma reta com inclinação - 20   d B / d e c a d a (sabemos que a inclinação é negativa por causa do sinal, mas você pode guardar que sempre que um termo estiver no denominador da função de transferência, sua inclinação será negativa). O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é 5   r a d / s e g . Vamos represetar esse termo com uma linha vermelha.

Passo 4

Somando as duas parcelas:

Passo 5

Agora vamos trabalhar com o ângulo de fase:

θ = - tan - 1 ⁡ ω 5

Repare que em frequências muito baixas o ângulo de fase será 0 º , e em frequências muito altas, será - 90 º . A mudança entre essas duas fazes acontece uma década antes e vai até uma década depois da frequência de quebra, que nesse caso é 5   r a d / s e g . Sendo assim:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 30 s ( s + 3 )

Passo 1

Primeiramente vamos dividir toda a função por 3 para conseguir aquele “mais um” no denominador:

G s = 10 s s 3 + 1

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 i ω i ω 3 + 1 = 20 log ⁡ 10 - 20 log ⁡ i ω - 20 log ⁡ i ω 3 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 3 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 6 - ∠ i ω - ∠ i ω 3 + 1 = - tan - 1 ⁡ ∞ - tan - 1 ⁡ ω 3

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 3 2 + 1

O primeiro termo é uma constante, portanto será uma linha horizontal no diagrama de Bode, vamos representa-lo com uma linha verde:

20 log ⁡ 10 = 20

Passo 3

Já o segundo termo é uma reta com inclinação - 20   d B para qualquer faixa de frequência. Desde frequências muito baixas até frequências muito altas:

- 20 log ⁡ ω

Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Em frequências muito baixas será uma constante de valor 0 , e em frequências altas será uma reta com inclinação - 20   d B (sabemos que a inclinação é negativa por causa do sinal, mas você pode guardar que sempre que um termo estiver no denominador da função de transferência, sua inclinação será negativa). O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é 5   r a d / s e g . Vamos represetar esse termo com uma linha vermelha.

Por fim, o terceiro termo em frequências muito baixas será uma constante de valor 0 , e em frequências altas será uma reta com inclinação - 20   d B / d e c a d a . O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é 3   r a d / s e g . Vamos represetar esse termo com uma linha amarela:

Somando as três linhas:

Podemos perceber que o ponto inicial é em 20 log ⁡ 10 , a curca decai linearmente com inclinação - 20   d B / d e c a d a desde o início do diagrama devido ao polo na origem. Em 3   r a d / s e g a curva começa a sofrer a influência do outro polo e começa a decair com inclinação - 40   r a d / s e g

Passo 4

Partindo agora para o ângulo de fase:

θ = - tan - 1 ⁡ ∞ - tan - 1 ⁡ ω 3

A primeira linha é uma constante, já que:

- tan - 1 ⁡ ∞ =   - 90   º

Vamos representar essa linha com vermelho:

O segundo termo é um polo normal. Para esse tipo de polo consideraremos que em frequências muito baixas o ângulo de fase será 0 º , e em frequências muito altas, será - 90 º . A mudança entre essas duas fazes acontece uma década antes e vai até uma década depois da frequência de quebra, que nesse caso é 3   r a d / s e g . Vamos representar esse polo com uma linha amarela. Sendo assim:

Somando as duas linhas:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 5 s + 5 2

Passo 1

Nessa função de transferência temos dois polos e um zero, nosso primeiro passo será transformar todos na forma ( a s + 1 ) . Então

G s = 5 5 2 s + 5 2 5 2 = 0,8 s 5 + 1 2

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = 0,2 i ω 5 + 1 2

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 0 , 2 i ω 5 + 1 2 = 20 log ⁡ 0,2 - 20 log ⁡ i ω 5 + 1 2

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 0,2 - 4 0 log ⁡ i ω 5 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 0,2 - ∠ i ω 5 + 1 2 = - 2 tan - 1 ⁡ ω 5

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 0,2 - 40 log ⁡ i ω 5 + 1

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada termo separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

20 log ⁡ 0,2 = - 13,98

Passo 3

Além da constanste, temos também um termo referente ao polo. Os polos são 0 em frequência muito baixa e na frequência de quebra eles se tornam uma reta com inclinação negativa. Como polo da função de transferência está elevado ao quadrado, ao invés de uma inclinação de - 20   d B / d e c a d a , a reta terá inclinação - 40   d B / d e c a d a a partir da frequência de quebra que é 5   r a d / s e g . Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Passo 4

Agora, só precisamos somar as duas linhas:

Passo 5

Agora o ângulo de fase:

θ = - 2 tan - 1 ⁡ ω 5

Como só temos um termo, não precisamos esboçar cada termo separadamente e depois somar, podemos fazer diretão.

Como temos um polo de grau 2 , em frequências muito baixas o ângulo de fase será 0 º e em frequência altas será - 180 º . A transição começa uma década antes da frequência de quebra e termina uma década depois da frequência de quebra que é 5   r a d / s e g , gerando uma reta com inclinação - 90 º / d é c a d a .

Resposta

Exercício Resolvido #4

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 10 ( s + 2 ) ( s + 0,1 ) ( s + 20 )

Passo 1

Nessa função de transferência temos dois polos e um zero, nosso primeiro passo será transformar todos na forma ( a s + 1 ) . Então

G s = 10 s 2 + 1 s 0,1 + 1 s 20 + 1

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = 10 i ω 2 + 1 i ω 0,1 + 1 i ω 20 + 1

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 i ω 2 + 1 i ω 0,1 + 1 i ω 20 + 1 = 20 log ⁡ 10 + 20 log ⁡ i ω 2 + 1 - 20 log ⁡ i ω 0,1 + 1 - 20 log ⁡ i ω 20 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 + 20 log ⁡ ω 2 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 0,1 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 20 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 10 + ∠ i ω 2 + 1 - ∠ i ω 0,1 + 1 - ∠ i ω 20 + 1 = tan - 1 ⁡ ω 2 - tan - 1 ⁡ ω 0,1 - tan - 1 ⁡ ω 20

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 + 20 log ⁡ ω 2 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 0,1 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 20 2 + 1

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada um dos quatro termos separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

20 log ⁡ 10 = 20

Passo 3

O segundo termo é o termo referente ao zero da função de transferência. Ele será 0 em frequências baixas e uma reta com inclinação + 20   d B / d e c a d a a partir da frequência de quebra que é 2 . A inclinação é positiva porque se trata de um zero. Lembre-se sempre: zeros têm inclinações positivas a partir da frequência de quebra e polos têm inclinações negativas. Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Passo 4

Além do zero, temos ainda dois polos que terão frequências de quebra em 0,1 e 20 . Como são polos, a inclinação deles a partir dessa frequência será negativa. Vamos representar essas retas em azul e amarelo:

Agora só precisamos somar todas as linhas:

No início só temos a influência da constante, e por isso a linha permanece reta. Quando a frequência atinge 0,1   r a d / s e g a curva começa a sentir o efeito do primeiro polo e cai a uma taxa de - 20 d B / d e c a d a até 2   r a d / s e g . Nesse ponto, o zero também começa a ser sentido, e dessa forma, o zero e o polo se anulam. Em 20   r a d / s e g os efeitos do segundo polo passam a contar e então, a curva volta a ter inclinação negativa

Passo 5

Agora vamos olhar para o ângulo de fase:

θ = tan - 1 ⁡ ω 2 - tan - 1 ⁡ ω 0,1 - tan - 1 ⁡ ω 20

Vamos usar as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude. O zero representado por uma linha vermelha e um polo com uma linha azul e o outro com uma linha amarela:

O ângulo de fase é sempre 0 º em baixas frequências e + 90 º em altas frequências caso seja um zero, e - 90 º em altas frequências caso seja um polo. A transição começa uma década antes da frequência de quebra e vai até uma década depois da frequência de quebra, gerando uma reta com inclinação ± 45 º / d é c a d a .

Vamos somar as três linhas então:

Resposta

Exercício Resolvido #5

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 3 ( s + 3 ) s 2 + 2 s + 9

Passo 1

Nesse caso nós temos um zero de primeira ordem e um polo de segunda ordem, nosso primeiro passo será transformar todos na forma ( a s + 1 ) . Então

G s = s 3 + 1 s 2 9 + 2 s 9 + 1

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = i ω 3 + 1 ( i ω ) 2 9 + 2 i ω 9 + 1 = i ω 3 + 1 2 i ω 9 + 1 - ω 2 9

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ i ω 3 + 1 2 i ω 9 + 1 - ω 2 9 = + 20 log ⁡ i ω 3 + 1 - 20 log ⁡ 2 i ω 9 + 1 - ω 2 9

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 9 2 + 1 - ω 2 9 2

E o ângulo de fase:

θ = ∠ i ω 3 + 1 - ∠ 2 ω i 9 + 1 - ω 2 9

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 9 2 + 1 - ω 2 9 2

Para a expressão da razão de amplitude temos dois termos, o primeiro referente ao zero da função de transferência e o segundo referente ao polo.

O termo do zero é um termo comum, de primeira ordem, com frequência de quebra em 3   r a d / s e g . Vamos representar esse termo com uma linha verde:

Passo 3

Já o segundo termo, referente ao polo da função de transferência, é um termo de seguda ordem. A frequência de quebra nesse caso será 9 = 3   r a d / s e g . Ou seja, no mesmo ponto do zero. Como se trata de um polo, a inclinação será negativa e por ser de segunda ordem, a inclinação será - 40   d B / d e c a d a . Vamos representar o polo com uma linha vermelha:

Passo 4

Agora só precisamos somar as duas linhas as linhas. Até o ponto em que ω = 3 r a d / s e g ambas as linhas apresentam razão de amplitude 0 . Nesse ponto, começamos a ter a influência de um zero que contribui com uma reta + 20   d B / d e c a d a e de um polo que contribui com - 40   d B / d e c a d a . Portanto, a partir de 3   r a d / s e g a razão de amplitude total começará a decais a uma taxa de - 20 d B / d e c a d a .

Passo 5

Vamos passar agora para o ângulo de fase:

θ = ∠ i ω 3 + 1 - ∠ 2 ω i 9 + 1 - ω 2 9

O ângulo de fase referente ao zero, é 0 º em baixas frequências e + 90 º em altas frequências. Já o ângulo referenre ao polo, também é 0 º em baixas frequências porém é - 180 º em altas frequências porque é um polo de segunda ordem. O sinal negativo é devido ao fato de se tratar de um polo e não de um zero. Representando no gráfico com as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude, temos:

A transição entre o ângulo de baixas frequências e o ângulo de altas frequências começa uma década antes da frequência de quebra, que é 3   r a d / s e g para ambas as curvas, e vai até uma década depois da frequência de quebra.

Agora só precisamos somar as duas curvas:

Resposta

Exercício Resolvido #6

Dada a seguinte função de transferência:

G s = 4 s + 1 s + 1

  1. Faça um esboço das assíntotas da parte de razão de amplitude do diagrama de Bode.
  2. Indique o atraso de fase (ou avanço) em altas frequências ( ω → ∞ ) .

Passo 1

O item a) pede que a gente construa somente a parte de razão de amplitude do diagrama de Bode. Então vamos lá.

A função de transferência já veio do jeito que a gente gosta, naquele formato ( a s + 1 ) tanto no polo quanto no zero, então não precisamos multiplicar/dividir a função de transferência por nada.

Sendo assim, já podemos substituir s por i ω :

G i ω = 4 i ω + 1 i ω + 1

A expressão para a razão de amplitude será:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 4 i ω + 1 - 20 log ⁡ i ω + 1

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 4 ω 2 + 1 - 20 l o g   ω 2 + 1

Passo 2

O primeiro termo é o termo referente ao zero. Sendo assim, em frequências baixas a razão de amplitude será 0 e a partir da frequência de quebra, a razão de amplitude começará a subir a uma taxa de 20   d B / d e c a d a . A frequência de quebra nesse caso será ω = 1 4 = 0,25   r a d / s e g . Vamos representar esse termo com uma linha verde no diagrama:

O segundo termo, que é referente ao polo, assim como o primeiro será 0 em frequências baixas. Entretanto, ao contrário do zero, a partir de sua frequência de quebra, o polo começa a decair a uma taxa de - 20 d B / d e c a d a . Para esse caso, a frequência de quebra será ω = 1   r a d / s e g . Vamos representar esse segundo termo usando uma linha vermelha:

Passo 3

Agora que já representamos tanto o polo quanto o zero. Só precisamos juntar as duas linhas:

Entre ω = 0   r a d / s e g e ω = 0,25   r a d / s e g a razão de amplitude é 0 pois a frequência é muito baixa tanto para o polo quanto para o zero exercerem qualquer tipo de influência. A partir de ω = 0,25 r a d / s e g os efeitos do zero começam a ser sentidos e a razão de amplitude começa a se elevar, entretanto, em ω = 1   r a d / s e g , o efeito do polo também começa a se fazer presente, se anulando com o efeito do zero e mantendo a razão de amplitude constante.

Passo 4

O item b) pergunta qual o avanço\atraso de fase da função de transferência em altas frequências.

Apesar de não termos esboçado a parte do diagrama de Bode para o ângulo de fase, é possível prever essa resposta se pensarmos um pouco sobre a estrutura da função de transferência.

A função de transferência em questão apresenta um polo, de primeira ordem, e um zero, também de primeira ordem. Vamos pensar como o polo e o zero se comportam em altas frequências.

O zero em baixas frequências tem ângulo de fase 0 º e em altas frequências, + 90 º . Já o polo é o oposto, em baixas frequências ele também tem ângulo de fase 0 º , mas em altas frequências o ângulo de fase se torna - 90 º .

Sendo assim, em altas frequências teremos o efeito de um polo, - 90 º , e de um zero, + 90 º . Quando combinamos os dois o ângulo de fase resultante é 0 º . Portanto:

θ ω →   ∞ = 0 º

Resposta

θ ω →   ∞ = 0 º

Exercício Resolvido #7

Esboce o diagrama de Bode da razão de amplitude da função de transferência abaixo:

G s = ( s + 3 ) s ( s + 1 ) ( s + 2 )

Passo 1

Bora lá então. O primeiro passo é deixar todos os polos e zeros no formato ( a s + 1 ) , como o polo que tá na origem não tem como ficar nesse formato, então não fazemos nada com ele.

G s = 3 2 s 3 + 1 s s + 1 s 2 + 1

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = 3 2 i ω 3 + 1 i ω i ω + 1 i ω 2 + 1

A expressão para razão de amplitude, em d B , vai ficar:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 3 2 i ω 3 + 1 i ω i ω + 1 i ω 2 + 1 = 20 log ⁡ 3 2 + 20 log ⁡ i ω 3 + 1 - 20 log ⁡ i ω - 20 log ⁡ i ω + 1 - 20 log ⁡ i ω 2 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 3 2 + 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 2 2 + 1

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 3 2 + 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 2 2 + 1

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada um dos termos separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

20 log ⁡ 3 2 = 3,52

Passo 3

O segundo termo é o termo referente ao zero da função de transferência. Ele será 0 em frequências baixas e uma reta com inclinação + 20   d B / d e c a d a a partir da frequência de quebra que é 3 . A inclinação é positiva porque se trata de um zero. Lembre-se sempre: zeros têm inclinações positivas a partir da frequência de quebra e polos têm inclinações negativas. Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Passo 4

Agora vamos representar os polos. Essa função de trnsgerÊncia tem três polos. Os polos tem razaõ de amplitude igual a 0 em baixas frequências e começam a decair a uma taza de - 20   d B / d e c a d a quando atingem a frequência de quebra. Para a função de transferência do exercício as função de quebra são 0   r a d / s e g , 1   r a d / s e g   e 2   r a d / s e g e nós vamos representar esses polos com linhas azul, amarelo e laranja, respectivamente:

Agora só precisamos somar todas as linhas:

O diagrama começa em 3,52 que é o valor da constante inicial. Ele tem inclinação negativa de - 20   d B / d e c a d a desde o início devido ao polo na origem. Em ω = 1   r a d / s e g os efeitos do segundo polo surgem e a inclinação passa a ser de - 40   d B / d e c a d a . Em ω = 2   r a d / s e g o terceiro polo também começa a se manifestar e a reta fica mais acentuada ainda com inclinação - 60   d B / d e c a d a . Entretanto, em ω = 3   r a d / s e g começa-se a sentir o efeito do zero, e a inclinação da curva volta a ser de - 40   d B / d e c a d a .

Resposta

Exercício Resolvido #8

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 1 ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) ( 10 s + 1 )

Passo 1

Nessa função de transferência temos três polos e um zero e todos já estão no formato ( a s + 1 ) , então já podemos partir direto para a substituição:

G ( i ω ) = 1 ( i ω + 1 ) ( 2 i ω + 1 ) ( 10 i ω + 1 )

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 ( i ω + 1 ) ( 2 i ω + 1 ) ( 10 i ω + 1 ) = - 20 log ⁡ i ω + 1 - 20 log ⁡ 2 i ω + 1 - 20 log ⁡ 10 i ω + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = - 20 log ⁡ ω 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 2 + 1 - 20 log ⁡ 10 ω 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 1 - ∠ i ω + 1 - ∠ 2 i ω + 1 - ∠ 10 i ω + 1 = - tan - 1 ⁡ ω - tan - 1 ⁡ 2 ω - tan - 1 ⁡ 10 ω

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = - 20 log ⁡ ω 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 2 + 1 - 20 log ⁡ 10 ω 2 + 1

Essa função de transferência apresenta três polos. Os polos têm razão de amplitude 0 em baixas frequência e em altas frequências eles decaem a uma taxa de - 20   d B / d e c a d a . As frequências de quebra são 0,1   r a d / s e g , 0,5   r a d / s e g e 1,0   r a d / s e g . Vamos representar esses três polos então:

Passo 3

Agora só precisamos somar as três curvas:

A curva de razão de amplitude começa em 0 , a partir da primeira frequência de quebra ela começa a decair a - 20   d B / d e c a d a , depois da segunda ela passa a decair a - 40   d B / d e c a d a e por fim, quando ultrapassa ω = 1   r a d / s e g que é a última frequência de quebra a inclinação da curva dica - 60   d B / d e c a d a .

Passo 4

Agora vamos olhar para o ângulo de fase:

θ = = - tan - 1 ⁡ ω - tan - 1 ⁡ 2 ω - tan - 1 ⁡ 10 ω

Vamos usar as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude. O ângulo de fase de um polo é 0 º em baixas frequências e - 90 º em altas frequências. Vamos representar o ângulo de fase para os três polos então:

A transição entre o valor do ângulo de fase em baixa frequência para o ângulo de fase em alta frequência começa uma década antes da frequência de quebra e vai até uma década depois, gerando assim uma reta com inclinação - 45 º / d e c a d a .

Vamos somar as três linhas então:

Entre 10 - 2 r a d / s e g   e 5 * 10 - 2 r a d / s e g só temos os efeitos do decaimento do ângulo de fase de um polo. A partir de 10 - 2 r a d / s e g o segundo polo começa a fazer efeito e a inclinação da curva fica - 90 º / d e c a d a . Em ω = 0,1   r a d / s e g o efeito do primeiro polo para de ser sentido pois ele se torna uma constante, mas nesse ponto começa-se a se sentir o efeito do terceiro polo, e por isso a inclinação da reta permanece inalterada. Em ω = 0,5   r a d / s e g o segundo polo ta,bém se torna uma constante e a inclinação da reta é reduzida pela metade, e em 1   r a d / s e g o terceiro polo também para de ser sentido e a partir daí demos uma reta constante.

Resposta