Diagrama de Bode

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Teoria

Diagrama de Bode

Continuando o nosso caminho na jornada do estudo das respostas em frequência, vamos nos aprofundar mais um pouco nesse assunto.

No último tópico vimos como calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase de uma função de transferência em função da frequência da entrada. Por exemplo, para a função de primeira ordem:

G s = 1 s + 2

Nós vimos que:

R A = 1 ω 2 + 4

θ =   - tan - 1 ⁡ ω 2

Repare que esses dois parâmetros estão em função da frequência. Quando representamos graficamente essas duas grandezas em função da frequência temos o que chamamos de diagrama de bode. Por exemplo, para o caso acima o diagrama de bode para a função de transferência será:

O primeiro gráfico é o de razão de amplitude, entretanto, com o objetivo de facilitar os cálculos e as representações gráficas, muitas vezes opta-se por representar 20 log ⁡ R A em vez de simplesmente R A . Quando fazemos essa modificação, chamamos a unidade de decibel ( d B ), e portanto a primeira curva é uma curva de d B em função do log ⁡ ω .

O segundo gráfico representa o ângulo de fase, em graus, em função do log ⁡ ω .

Vamos entender um pouco melhor esse tal de diagrama de Bode e ainda ver algumas técnicas de como esboçar esses diagramas?

Traçado por assíntotas – Razão de amplitude

O diagrama de Bode pode ser esboçado de maneira aproximada a partir de uma sequência de retas, e é nisso que focaremos a partir de agora.

Vamos continuar usando a função do exemplo:

G s = 1 s + 2

Sempre que formos fazer o traçado por assíntotas do diagrama de bode, será interessante representar os polos e zero com um “mais um”, então vamos dividir toda a equação por 2

G s = 1 2 s 2 + 1

Então:

R A = 1 / 2 ω 2 4 + 1

Como já discutimos, muitas vezes a curva é feita em decibéis, ou seja:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 / 2 ω 2 4 + 1

Vamos usar propriedades logarítmicas para manipular um pouco essa expressão:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 2 - 20 log ⁡ ω 2 4 + 1

Ou seja, a curva de 20 log ⁡ R A pode ser escrita como a soma de duas curvas: uma constante, já que 20 log ⁡ 1 não depende da frequência, e uma outra curva que está em função da frequência. Vamos pensar um pouco a respeito essa segunda curva:

- 20 log ⁡ ω 2 4 + 1

Vamos analisar o que acontece com essa curva em altas e em baixas frequências.

Em frequências muito baixas, podemos dizer que:

ω 2 4 ≪ 1

Então podemos desprezar o termo da frequência e a expressão fica:

- 20 log ⁡ ω 2 4 + 1 ≅ - 20 log ⁡ 1

Ou seja, em frequências muito baixas o polo não impacta na razão de amplitude pois log ⁡ 1 = 0 .

Entretanto, em frequências muito altas:

ω 2 4 ≫ 1

E, portanto, podemos aproximar o termo como:

- 20 log ⁡ ω 2 4 + 1 ≅ - 20 log ⁡ ω 2 4 = - 20 log ⁡ ω 2 =   - 20 l o g ω + 20 l o g 2

Ou seja, em altas frequências, esse termo se comporta como uma reta de inclinação - 20 , já que o diagrama de Bode está em função do logaritmo da frequência.

Vamos colocar isso no diagrama para entender melhor onde queremos chegar:

Nós vimos que a expressão para 20 l o g R A seria:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 2 - 20 log ⁡ ω 2 4 + 1

Nesse gráfico representamos em vermelho o primeiro termo, 20 log ⁡ 1 2 , que é uma constante, e em verde o segundo termo, - 20 log ⁡ ω 2 4 + 1 . Esse segundo termo, como analisamos, é 0 em frequências muito baixas, e uma reta com inclinação - 20 em frequências muito altas. Nós dizemos que a reta tem inclinação - 20   d B / d e c a d a , ou seja, diminui 20   d B a cada múltiplo de 10 no gráfico. O ponto onde ocorre a transição entre os dois intervalos é o módulo do polo da função de transferência, ou seja, 2 . Esse ponto é chamado de frequência de quebra.

Como o gráfico da razão de amplitude é uma soma desses dois termos (ou dessas duas retas), para desenhar então a versão final só nos resta juntar as duas retas:

Em baixas frequência, a razão de amplitude só é impactada por - 20 log ⁡ 1 2 , a partir de 2 , o segundo termo começa a fazer efeito sobre a razão de amplitude e a curva começa a decair com uma taxa de - 20   d B / d e c a d a .

Compare o gráfico que esboçamos com o gráfico feito por um software que foi apresentado no início desse tópico. Você verá que eles são satisfatoriamente próximos.

Traçado por assíntotas – Ângulo de fase

Nós vimos no tópico anterior que para calcular o ângulo de fase em função da frequência de uma função de transferência devemos fazer o ângulo de fase do numerador menos o ângulo de fase do denominador. E para calcular o ângulo de fase, basta calcular a t g - 1 da parte imaginária dividida pela parte real. Para o nosso exemplo então:

θ = ∠ G i ω = ∠ 1 2 - ∠ i ω 2 + 1

Logo:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ ω 2

Novamente teremos o nosso parâmetro, nesse caso o ângulo de fase, como a soma de dois ou mais parâmetros.

O primeiro é uma constante:

tan - 1 ⁡ 0 = 0

Para o segundo, vamos fazer a mesma análise que fizemos para a razão de amplitude: ver como se comporta em altas e baixas frequências.

Em frequências muito baixas:

ω ≅ 0

Então:

- tan - 1 ⁡ 0 = 0 º

Em frequências muito altas:

ω ≅ ∞

Logo

- tan - 1 ⁡ ∞ = - 90 º

Vamos colocar isso no gráfico então:

Em verde, temos o primeiro termo que como vimos é uma constante igual a 0 . Em vermelho temos o termo referente ao polo da função de transferência. Em baixas frequência ele é 0 º , em altas frequências - 90 º . Para saber onde fazer a transição, nós pegamos a frequência de quebra, 2 , e determinamos que uma década antes dele teremos o trecho de baixa frequência, e uma década depois, o termo de alta frequência, em seguida ligamos as duas retas.

Para finalizar, basta somar as duas retas:

Como a reta verde era igual a 0 do início ao fim, a resposta será idêntica à reta vermelha.

Compare o gráfico que esboçamos com o gráfico apresentado no início desse tópico feito por um software e você vai ver que são bem parecidos.

O efeito dos polos e zeros

Nós vimos acima um exemplo bem básico onde tínhamos apenas um polo.

Mas e quando tivermos polos e zeros?

Considere a função de transferência:

G s = K s a + 1 s b + 1 s c + 1

Aqui temos dois polos e um zero.

Vamos fazer primeiramente a análise da razão de amplitude:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ K + 20 log ⁡ ω 2 a + 1 - 20 log ⁡ ω 2 b + 1 - 20 log ⁡ ω 2 c + 1

Novamente a nossa expressão para 20 log ⁡ R A será a soma de vários termos. Sendo assim, para representa-la no diagrama de Bode devemos representar cada termo separadamente e depois somar todos eles em uma curva só.

Mas repare no termo do zero:

20 log ⁡ ω 2 a + 1

Ele é muito parecido com os polos da função de transferência, porém ele é positivo.

Ou seja, em baixas frequências teremos:

20 log ⁡ 1 = 0

E em altas frequências:

20 log ⁡ ω a = 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ a

Portanto, tanto polos quanto zeros terão valor 0 em baixas frequências, e serão uma reta com inclinação 20   d B / d e c a d a   em altas frequências. A diferença será que os polos terão inclinação negativa e os zeros terão inclinação positiva.

Para o ângulo de fase teremos algo parecido. O termo do zero em baixas frequências será aproximado por:

tan - 1 ⁡ 0 = 0 º

E em altas frequências:

tan - 1 ⁡ ∞ = 90 º

Portanto, os zeros em baixa frequência serão, assim como os polos, 0 º . Já em alta frequência, enquanto os polos serão - 90 º , os zeros serão + 90 º .

Alguns casos especiais

Mas e quando tivermos algo do tipo:

G s = 1 s + 1 2

Bom, quando for assim devemos proceder da mesma forma:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 - 20 log ⁡ ( ω 2 + 1 ) 2

Usando propriedades logarítmicas, teremos:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 - 40 log ⁡ ( ω 2 + 1 )

Ou seja, quando tivermos um termo quadrático, seja ele um zero ou um polo, nós procederemos da mesma forma, entretanto, em altas frequências a inclinação da reta ao invés de ± 20 d B / d e c a d a será ± 40 d B / d e c a d a .

Para o ângulo de fase, as mesmas regras explicadas anteriormente também se aplicam. Entretanto, em altas frequências, ao invés de ± 90 º , teremos ± 180 º .

E quando tivermos uma função do tipo:

G s = 1 s 2 + 2 ζ z ω n + ω n 2

Nós novamente agiremos da mesma forma, entretanto, a frequência de quebra, ou seja, o ponto em que a curva deixa de ser uma reta horizontal e passa a ser uma reta inclinada, será ω n e a inclinação, por se tratar de um termo quadrático, será - 40 d B / d e c a d a . Se esse termo estivesse no numerador, seria 40   d B / d e c a d a .

Para o ângulo de fase será o mesmo. A frequência de quebra será ω n e em baixas frequências (uma década antes de ω n ) o ângulo de fase será 0 º , e em altas frequências (uma década depois de ω n ), será 180 º .

Um último caso é quando temos um termo s , ou 1 s . Esses termos nós trataremos ele como tratamos os zeros ou polos normais. Como para esses casos o zero/polo está em 0 , significa que eles serão uma reta com inclinação de ± 20   d B / d e c a d a desde o início do diagrama de Bode, ou seja, não terão aquele trecho igual a zero até a frequência de quebra que os polos e zeros comuns têm, já que a frequência de quebra deles é 0 . Nesses casos, o ângulo de fase será ±   90 º desde o início.

Para entender como tudo isso se junta e conseguir mandar ver no diagrama de Bode só praticando. Bora?

Traçado por assíntotas – Ângulo de fase

O efeito dos polos e zeros

Alguns casos especiais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 30 s + 5

Passo 1

Primeiramente vamos dividir toda a função por 5 para conseguir aquele “mais um” no denominador:

G s = 6 s 5 + 1

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 6 i ω 5 + 1 = 20 log ⁡ 6 - 20 log ⁡ i ω 5 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 6 - 20 log ⁡ ω 5 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 6 - ∠ i ω 5 + 1 = - tan - 1 ⁡ ω 5

Passo 2

Vamos começar pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 6 - 20 log ⁡ ω 5 2 + 1

O primeiro termo é uma constante, portanto será uma linha horizontal no diagrama de Bode, vamos representa-lo com uma linha verde:

20 log ⁡ 6 = 15,56

Passo 3

Já o segundo termo:

- 20 log ⁡ ω 5 2 + 1

Em frequências muito baixas será uma constante de valor 0 , e em frequências altas será uma reta com inclinação - 20   d B / d e c a d a (sabemos que a inclinação é negativa por causa do sinal, mas você pode guardar que sempre que um termo estiver no denominador da função de transferência, sua inclinação será negativa). O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é 5   r a d / s e g . Vamos represetar esse termo com uma linha vermelha.

Passo 4

Somando as duas parcelas:

Passo 5

Agora vamos trabalhar com o ângulo de fase:

θ = - tan - 1 ⁡ ω 5

Repare que em frequências muito baixas o ângulo de fase será 0 º , e em frequências muito altas, será - 90 º . A mudança entre essas duas fazes acontece uma década antes e vai até uma década depois da frequência de quebra, que nesse caso é 5   r a d / s e g . Sendo assim:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 30 s ( s + 3 )

Passo 1

Primeiramente vamos dividir toda a função por 3 para conseguir aquele “mais um” no denominador:

G s = 10 s s 3 + 1

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 i ω i ω 3 + 1 = 20 log ⁡ 10 - 20 log ⁡ i ω - 20 log ⁡ i ω 3 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 3 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 6 - ∠ i ω - ∠ i ω 3 + 1 = - tan - 1 ⁡ ∞ - tan - 1 ⁡ ω 3

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 3 2 + 1

O primeiro termo é uma constante, portanto será uma linha horizontal no diagrama de Bode, vamos representa-lo com uma linha verde:

20 log ⁡ 10 = 20

Passo 3

Já o segundo termo é uma reta com inclinação - 20   d B para qualquer faixa de frequência. Desde frequências muito baixas até frequências muito altas:

- 20 log ⁡ ω

Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Em frequências muito baixas será uma constante de valor 0 , e em frequências altas será uma reta com inclinação - 20   d B (sabemos que a inclinação é negativa por causa do sinal, mas você pode guardar que sempre que um termo estiver no denominador da função de transferência, sua inclinação será negativa). O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é 5   r a d / s e g . Vamos represetar esse termo com uma linha vermelha.

Por fim, o terceiro termo em frequências muito baixas será uma constante de valor 0 , e em frequências altas será uma reta com inclinação - 20   d B / d e c a d a . O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é 3   r a d / s e g . Vamos represetar esse termo com uma linha amarela:

Somando as três linhas:

Podemos perceber que o ponto inicial é em 20 log ⁡ 10 , a curca decai linearmente com inclinação - 20   d B / d e c a d a desde o início do diagrama devido ao polo na origem. Em 3   r a d / s e g a curva começa a sofrer a influência do outro polo e começa a decair com inclinação - 40   r a d / s e g

Passo 4

Partindo agora para o ângulo de fase:

θ = - tan - 1 ⁡ ∞ - tan - 1 ⁡ ω 3

A primeira linha é uma constante, já que:

- tan - 1 ⁡ ∞ =   - 90   º

Vamos representar essa linha com vermelho:

O segundo termo é um polo normal. Para esse tipo de polo consideraremos que em frequências muito baixas o ângulo de fase será 0 º , e em frequências muito altas, será - 90 º . A mudança entre essas duas fazes acontece uma década antes e vai até uma década depois da frequência de quebra, que nesse caso é 3   r a d / s e g . Vamos representar esse polo com uma linha amarela. Sendo assim:

Somando as duas linhas:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 5 s + 5 2

Passo 1

Nessa função de transferência temos dois polos e um zero, nosso primeiro passo será transformar todos na forma ( a s + 1 ) . Então

G s = 5 5 2 s + 5 2 5 2 = 0,8 s 5 + 1 2

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = 0,2 i ω 5 + 1 2

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 0 , 2 i ω 5 + 1 2 = 20 log ⁡ 0,2 - 20 log ⁡ i ω 5 + 1 2

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 0,2 - 4 0 log ⁡ i ω 5 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 0,2 - ∠ i ω 5 + 1 2 = - 2 tan - 1 ⁡ ω 5

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 0,2 - 40 log ⁡ i ω 5 + 1

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada termo separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

20 log ⁡ 0,2 = - 13,98

Passo 3

Além da constanste, temos também um termo referente ao polo. Os polos são 0 em frequência muito baixa e na frequência de quebra eles se tornam uma reta com inclinação negativa. Como polo da função de transferência está elevado ao quadrado, ao invés de uma inclinação de - 20   d B / d e c a d a , a reta terá inclinação - 40   d B / d e c a d a a partir da frequência de quebra que é 5   r a d / s e g . Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Passo 4

Agora, só precisamos somar as duas linhas:

Passo 5

Agora o ângulo de fase:

θ = - 2 tan - 1 ⁡ ω 5

Como só temos um termo, não precisamos esboçar cada termo separadamente e depois somar, podemos fazer diretão.

Como temos um polo de grau 2 , em frequências muito baixas o ângulo de fase será 0 º e em frequência altas será - 180 º . A transição começa uma década antes da frequência de quebra e termina uma década depois da frequência de quebra que é 5   r a d / s e g , gerando uma reta com inclinação - 90 º / d é c a d a .

Resposta

Exercício Resolvido #4

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 10 ( s + 2 ) ( s + 0,1 ) ( s + 20 )

Passo 1

Nessa função de transferência temos dois polos e um zero, nosso primeiro passo será transformar todos na forma ( a s + 1 ) . Então

G s = 10 s 2 + 1 s 0,1 + 1 s 20 + 1

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = 10 i ω 2 + 1 i ω 0,1 + 1 i ω 20 + 1

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 i ω 2 + 1 i ω 0,1 + 1 i ω 20 + 1 = 20 log ⁡ 10 + 20 log ⁡ i ω 2 + 1 - 20 log ⁡ i ω 0,1 + 1 - 20 log ⁡ i ω 20 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 + 20 log ⁡ ω 2 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 0,1 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 20 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 10 + ∠ i ω 2 + 1 - ∠ i ω 0,1 + 1 - ∠ i ω 20 + 1 = tan - 1 ⁡ ω 2 - tan - 1 ⁡ ω 0,1 - tan - 1 ⁡ ω 20

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 + 20 log ⁡ ω 2 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 0,1 2 + 1 - 20 log ⁡ ω 20 2 + 1

Para representar a razão de amplitude da função de transferência, devemos representar cada um dos quatro termos separadamente e depois somar tudo. O primeiro termo é uma constante e será representado por uma linha verde:

20 log ⁡ 10 = 20

Passo 3

O segundo termo é o termo referente ao zero da função de transferência. Ele será 0 em frequências baixas e uma reta com inclinação + 20   d B / d e c a d a a partir da frequência de quebra que é 2 . A inclinação é positiva porque se trata de um zero. Lembre-se sempre: zeros têm inclinações positivas a partir da frequência de quebra e polos têm inclinações negativas. Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Passo 4

Além do zero, temos ainda dois polos que terão frequências de quebra em 0,1 e 20 . Como são polos, a inclinação deles a partir dessa frequência será negativa. Vamos representar essas retas em azul e amarelo:

Agora só precisamos somar todas as linhas:

No início só temos a influência da constante, e por isso a linha permanece reta. Quando a frequência atinge 0,1   r a d / s e g a curva começa a sentir o efeito do primeiro polo e cai a uma taxa de - 20 d B / d e c a d a até 2   r a d / s e g . Nesse ponto, o zero também começa a ser sentido, e dessa forma, o zero e o polo se anulam. Em 20   r a d / s e g os efeitos do segundo polo passam a contar e então, a curva volta a ter inclinação negativa

Passo 5

Agora vamos olhar para o ângulo de fase:

θ = tan - 1 ⁡ ω 2 - tan - 1 ⁡ ω 0,1 - tan - 1 ⁡ ω 20

Vamos usar as mesmas cores que usamos para a razão de amplitude. O zero representado por uma linha vermelha e um polo com uma linha azul e o outro com uma linha amarela:

O ângulo de fase é sempre 0 º em baixas frequências e + 90 º em altas frequências caso seja um zero, e - 90 º em altas frequências caso seja um polo. A transição começa uma década antes da frequência de quebra e vai até uma década depois da frequência de quebra, gerando uma reta com inclinação ± 45 º / d é c a d a .

Vamos somar as três linhas então:

Resposta

Exercício Resolvido #5

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 3 ( s + 3 ) s 2 + 2 s + 9

Passo 1

Nesse caso nós temos um zero de primeira ordem e um polo de segunda ordem, nosso primeiro passo será transformar todos na forma ( a s + 1 ) . Então

G s = s 3 + 1 s 2 9 + 2 s 9 + 1

Para calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase, precisamos substituir s por i ω :

G i ω = i ω 3 + 1 ( i ω ) 2 9 + 2 i ω 9 + 1 = i ω 3 + 1 2 i ω 9 + 1 - ω 2 9

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ i ω 3 + 1 2 i ω 9 + 1 - ω 2 9 = + 20 log ⁡ i ω 3 + 1 - 20 log ⁡ 2 i ω 9 + 1 - ω 2 9

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 9 2 + 1 - ω 2 9 2

E o ângulo de fase:

θ = ∠ i ω 3 + 1 - ∠ 2 ω i 9 + 1 - ω 2 9

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ ω 3 2 + 1 - 20 log ⁡ 2 ω 9 2 + 1 - ω 2 9 2

Para a expressão da razão de amplitude temos dois termos, o primeiro referente ao zero da função de transferência e o segundo referente ao polo.

O termo do zero é um termo comum, de primeira ordem, com frequência de quebra em 3   r a d / s e g . Vamos representar esse termo com uma linha verde:

Passo 3

Já o segundo termo, referente ao polo da função de transferência, é um termo de seguda ordem. A frequência de quebra nesse caso será 9 = 3   r a d / s e g . Ou seja, no mesmo ponto do zero. Como se trata de um polo, a inclinação será negativa e por ser de segunda ordem, a inclinação será - 40   d B / d e c a d a . Vamos representar o polo com uma linha vermelha:

Passo 4

Agora só precisamos somar as duas linhas as linhas. Até o ponto em que ω = 3 r a d / s e g ambas as linhas apresentam razão de amplitude 0 . Nesse ponto, começamos a ter a influência de um zero que contribui com uma reta + 20   d B / d e c a d a e de um polo que contribui com - 40   d B / d e c a d a