Diagrama de Bode

Teoria Completa

Diagrama de Bode

Continuando o nosso caminho na jornada do estudo das respostas em frequência, vamos nos aprofundar mais um pouco nesse assunto.

No último tópico vimos como calcular a razão de amplitude e o ângulo de fase de uma função de transferência em função da frequência da entrada. Por exemplo, para a função de primeira ordem:

G s = 1 s + 2

Nós vimos que:

R A = 1 ω 2 + 4

θ =   - tan - 1 ⁡ ω 2

Repare que esses dois parâmetros estão em função da frequência. Quando representamos graficamente essas duas grandezas em função da frequência temos o que chamamos de diagrama de bode. Por exemplo, para o caso acima o diagrama de bode para a função de transferência será:

O primeiro gráfico é o de razão de amplitude, entretanto, com o objetivo de facilitar os cálculos e as representações gráficas, muitas vezes opta-se por representar 20 log ⁡ R A em vez de simplesmente R A . Quando fazemos essa modificação, chamamos a unidade de decibel ( d B ), e portanto a primeira curva é uma curva de d B em função do log ⁡ ω .

O segundo gráfico representa o ângulo de fase, em graus, em função do log ⁡ ω .

Vamos entender um pouco melhor esse tal de diagrama de Bode e ainda ver algumas técnicas de como esboçar esses diagramas?

Traçado por assíntotas – Razão de amplitude

O diagrama de Bode pode ser esboçado de maneira aproximada a partir de uma sequência de retas, e é nisso que focaremos a partir de agora.

Vamos continuar usando a função do exemplo:

G s = 1 s + 2

Sempre que formos fazer o traçado por assíntotas do diagrama de bode, será interessante representar os polos e zero com um “mais um”, então vamos dividir toda a equação por 2

G s = 1 2 s 2 + 1

Então:

R A = 1 / 2 ω 2 4 + 1

Como já discutimos, muitas vezes a curva é feita em decibéis, ou seja:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 / 2 ω 2 4 + 1

Vamos usar propriedades logarítmicas para manipular um pouco essa expressão:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 2 - 20 log ⁡ ω 2 4 + 1

Ou seja, a curva de 20 log ⁡ R A pode ser escrita como a soma de duas curvas: uma constante, já que 20 log ⁡ 1 não depende da frequência, e uma outra curva que está em função da frequência. Vamos pensar um pouco a respeito essa segunda curva:

- 20 log ⁡ ω 2 4 + 1

Vamos analisar o que acontece com essa curva em altas e em baixas frequências.

Em frequências muito baixas, podemos dizer que:

ω 2 4 ≪ 1

Então podemos desprezar o termo da frequência e a expressão fica:

- 20 log ⁡ ω 2 4 + 1 ≅ - 20 log ⁡ 1

Ou seja, em frequências muito baixas o polo não impacta na razão de amplitude pois log ⁡ 1 = 0 .

Entretanto, em frequências muito altas:

ω 2 4 ≫ 1

E, portanto, podemos aproximar o termo como:

- 20 log ⁡ ω 2 4 + 1 ≅ - 20 log ⁡ ω 2 4 = - 20 log ⁡ ω 2 =   - 20 l o g ω + 20 l o g 2

Ou seja, em altas frequências, esse termo se comporta como uma reta de inclinação - 20 , já que o diagrama de Bode está em função do logaritmo da frequência.

Vamos colocar isso no diagrama para entender melhor onde queremos chegar:

Nós vimos que a expressão para 20 l o g R A seria:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 1 2 - 20 log ⁡ ω 2 4 + 1

Nesse gráfico representamos em vermelho o primeiro termo, 20 log ⁡ 1 2 , que é uma constante, e em verde o segundo termo, - 20 log ⁡ ω 2 4 + 1 . Esse segundo termo, como analisamos, é 0 em frequências muito baixas, e uma reta com inclinação - 20 em frequências muito altas. Nós dizemos que a reta tem inclinação - 20   d B / d e c a d a , ou seja, diminui 20   d B a cada múltiplo de 10 no gráfico. O ponto onde ocorre a transição entre os dois intervalos é o módulo do polo da função de transferência, ou seja, 2 . Esse ponto é chamado de frequência de quebra.

Como o gráfico da razão de amplitude é uma soma desses dois termos (ou dessas duas retas), para desenhar então a versão final só nos resta juntar as duas retas:

Em baixas frequência, a razão de amplitude só é impactada por - 20 log ⁡ 1 2 , a partir de 2 , o segundo termo começa a fazer efeito sobre a razão de amplitude e a curva começa a decair com uma taxa de - 20   d B / d e c a d a .

Compare o gráfico que esboçamos com o gráfico feito por um software que foi apresentado no início desse tópico. Você verá que eles são satisfatoriamente próximos.

Traçado por assíntotas – Ângulo de fase

Nós vimos no tópico anterior que para calcular o ângulo de fase em função da frequência de uma função de transferência devemos fazer o ângulo de fase do numerador menos o ângulo de fase do denominador. E para calcular o ângulo de fase, basta calcular a t g - 1 da parte imaginária dividida pela parte real. Para o nosso exemplo então:

θ = ∠ G i ω = ∠ 1 2 - ∠ i ω 2 + 1

Logo:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ ω 2

Novamente teremos o nosso parâmetro, nesse caso o ângulo de fase, como a soma de dois ou mais parâmetros.

O primeiro é uma constante:

tan - 1 ⁡ 0 = 0

Para o segundo, vamos fazer a mesma análise que fizemos para a razão de amplitude: ver como se comporta em altas e baixas frequências.

Em frequências muito baixas:

ω ≅ 0

Então:

- tan - 1 ⁡ 0 = 0 º

Em frequências muito altas:

ω ≅ ∞

Logo

- tan - 1 ⁡ ∞ = - 90 º

Vamos colocar isso no gráfico então:

Em verde, temos o primeiro termo que como vimos é uma constante igual a 0 . Em vermelho temos o termo referente ao polo da função de transferência. Em baixas frequência ele é 0 º , em altas frequências - 90 º . Para saber onde fazer a transição, nós pegamos a frequência de quebra, 2 , e determinamos que uma década antes dele teremos o trecho de baixa frequência, e uma década depois, o termo de alta frequência, em seguida ligamos as duas retas.

Para finalizar, basta somar as duas retas:

Como a reta verde era igual a 0 do início ao fim, a resposta será idêntica à reta vermelha.

Compare o gráfico que esboçamos com o gráfico apresentado no início desse tópico feito por um software e você vai ver que são bem parecidos.

O efeito dos polos e zeros

Nós vimos acima um exemplo bem básico onde tínhamos apenas um polo.

Mas e quando tivermos polos e zeros?

Considere a função de transferência:

G s = K s a + 1 s b + 1 s c + 1

Aqui temos dois polos e um zero.

Vamos fazer primeiramente a análise da razão de amplitude:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ K + 20 log ⁡ ω 2 a + 1 - 20 log ⁡ ω 2 b + 1 - 20 log ⁡ ω 2 c + 1

Novamente a nossa expressão para 20 log ⁡ R A será a soma de vários termos. Sendo assim, para representa-la no diagrama de Bode devemos representar cada termo separadamente e depois somar todos eles em uma curva só.

Mas repare no termo do zero:

20 log ⁡ ω 2 a + 1

Ele é muito parecido com os polos da função de transferência, porém ele é positivo.

Ou seja, em baixas frequências teremos:

20 log ⁡ 1 = 0

E em altas frequências:

20 log ⁡ ω a = 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ a

Portanto, tanto polos quanto zeros terão valor 0 em baixas frequências, e serão uma reta com inclinação 20   d B / d e c a d a   em altas frequências. A diferença será que os polos terão inclinação negativa e os zeros terão inclinação positiva.

Para o ângulo de fase teremos algo parecido. O termo do zero em baixas frequências será aproximado por:

tan - 1 ⁡ 0 = 0 º

E em altas frequências:

tan - 1 ⁡ ∞ = 90 º