Lugar geométrico das raízes

Teoria Completa

Introdução

Agora que já aprendemos um pouco sobre estabilidade e quais critérios usar para determinar se um sistema é estável ou não, vamos aprender uma técnica muito importante em controle de processos que nos permite analisar o efeito do ganho da malha sobre a sua resposta e estabilidade.

Imagina que a gente esteja projetando uma malha e queremos saber como a estabilidade do sistema muda conforma variamos o ganho. O lugar das raízes vai nos mostrar onde se encontrarão as raízes da equação característica em malha fechada conforme alteramos o valor do ganho. Legal né?

Vamos analisar o seguinte sistema:

Nesse caso, a nossa função de transferência será:

C s R s = 1 s K s + 10 1 + 1 s K s + 10

Rearranjando:

C s R s = K s 2 + 10 s + K

Então, a nossa equação característica vai ser:

s 2 + 10 s + K = 0

Perceba que ela está em função de K , e que dependendo do valor de K , os valores das raízes serão alterados.

O lugar das raízes é uma técnica que nos permite determinar o lugar das raízes no plano quando variamos o valor do K .

Antes de começar...

Vamos definir algumas coisas antes de começar para facilitar nossa vida daqui para frente.

Primeiramente, olha essa função de transferência aqui:

C s R s = s + 2 s + 1 s s + 3 s + 4

Nós chamamos de zero as raízes da equação do numerador e de polos as raízes da equação do denominador. Sendo assim, a equação acima tem dois zeros, - 2 e - 1 , e três polos, 0 , - 3 e - 4 .

Agora considere a seguinte equação de transferência:

C s R s = K G s 1 + K G s H ( s )

Essa é a função de transferência de um sistema feedback normal, porém ela está em função de K . A equação característica é:

1 + K G s H s = 0

K G s H s = - 1

Agora iremos aplicar uma propriedade que será muito importante para nós em lugar das raízes e mais futuramente em resposta em frequência que se chama ângulo de fase. O ângulo de fase é o ângulo que o número complexo forma no plano com o eixo dos reias.

∠ K G s H s = ∠ - 1

Como - 1 é um número real puro negativo, seu ângulo de fase é 180 º .

Entretanto, como os ângulos se repetem a cada 360 º , o ângulo de fase de - 1 acaba sendo todos os múltiplos ímpares de 180 º .

∠ K G s H s = 180 º ( 2 r + 1 )

r = 0,1 , 2,3 …

Dessa forma, nós podemos perceber que a soma dos ângulos de fase de todos os zeros e polos da função de transferência tem que ser igual a um múltiplo ímpar de 180 º .

Os primeiros passos

Vamos então estabelecer algumas regras para conseguirmos esboçar nosso diagrama de lugar das raízes.

Vamos trabalhar com a seguinte função de transferência:

G s = K s + 2 s s + 3 ( s + 1 )

No diagrama de lugar das raízes, a primeira coisa sempre será marcar os zeros da função de transferência com um círculo e os polos com um x. Então, para a função de transferência acima teremos:

As assíntotas

O próximo passo será desenhar nossas assíntotas. Em alguns casos teremos zeros no infinito e as assíntotas indicam onde esses zeros no infinito se encontram. No nosso exemplo, nós temos dois polos a mais que zeros, isso indica que teremos dois zeros no infinito que serão indicados pelas assíntotas.

Para traçar essas assíntotas, nós usaremos uma fórmula para saber onde elas interceptam o eixo dos reais:

σ a = ∑ p o l o   f i n i t o s - ∑ z e r o s   f i n i t o s n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s

E também temos uma fórmula para determinar o ângulo que essa interceptação acontece:

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s

Vamos calcular para o nosso exemplo:

σ a = - 3 + 0 + ( - 1 ) - - 2 3 - 1 = - 1

θ a = ± 180 2 r - 1 3 - 1 = ± 90 ( 2 r - 1 )

r = 0,1 ,   2 ,   3 … .

Se r for igual a 0 , o ângulo será 90 º , se r for igual a 1 , o ângulo será 270 º (ou - 90 º ). A partir daí os resultados se repetem. Como precisamos de dois zeros no infinito, duas assíntotas são suficientes. E pela primeira fórmula, calculamos que essas assíntotas interceptam o eixo dos reais em - 1 .

Desenhando as assíntotas no diagrama:

As regrinhas

Agora que já temos as nossas assíntotas traçadas, só nos resta esboçar os ramos. Os ramos representam o lugar das raízes de fato, são eles que marcam onde as raízes estarão caso variemos o valor de K (ou do parâmetro que está sendo avaliado). Para desenhar os ramos, devemos sempre seguir as regrinhas abaixo:

  • O número de ramos é igual ao número de polos;
  • O diagrama sempre será simétrico com relação ao eixo real;
  • Os ramos sempre estarão à esquerda de um número ímpar de polos e zeros;
  • Os ramos sempre começam nos polos e terminam nos zeros;
  • As funções podem possuir polos e zeros no infinito. Se a função tende a zero quando o s tende a infinito, então ela tem um zero no infinito. Se a função tende a infinito quanto s tende a infinito, então ela tem um polo no infinito.

Aplicando isso ao nosso exemplo, nós sabemos que um ramo sempre nasce em um polo e morre em um zero, como temos dois polos a mais que zeros, dois ramos morrerão nos zeros no infinito indicados pelas assíntotas. Vamos esboçar isso então:

Vamos analisar então o que a gente fez.

Primeiramente devemos ter em mente que os únicos trechos sobre o eixo dos reais que pode existir ramos é entre - 3 e - 2 , e entre - 1 e 0 , pois nesses trechos existe um número ímpar de polos e zeros à esquerda. É por isso que o ramo que nasce em - 3 morre em - 2 e não o que nasce - 1 .

Entre - 1 e 0 existe um trecho onde pode existir ramos. Como esse intervalo está delimitado por dois polos, os ramos nascem nesses polos e se encontram no meio do intervalo. Quando eles se encontram eles precisam morrer em um zero, e por isso tendem assintoticamente aos zeros no infinito determinados pelas assíntotas.

Por fim, podemos ver pelo diagrama que a regra de simetria com relação ao eixo dos reais foi obedecida. Ou seja, tudo certinho.

Um detalhe importante: as assíntotas não fazem parte do diagrama do lugar das raízes, elas simplesmente indicam em que lugar estarão os zeros no infinito. As raízes estão sempre localizadas sobre os ramos que estão representados por setas azuis.

A principal análise que podemos fazer com esse exemplo é que o sistema é estável não importa qual seja o valor de K , uma vez que os ramos nunca atravessam o eixo dos números imaginários e ficam sempre no semiplano esquerdo do diagrama.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pag 254, Problema 8-1b

Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para o sistema mostrado abaixo:

G s = K ( 3 s + 1 ) ( 2 s + 1 )

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Passo 1

Essa função de transferência apresenta um zero, - 1 3 , e um polo, - 1 2 . Vamos começar representando eles em nosso diagrama:

Passo 2

Essa função de transferência tem o mesmo número de polo e de zeros, ou seja, não existe nenhum zero no infinito, e portanto, não precisamos calulcar as assíntotas para determinar esse zero.

Sendo assim, já podemos representar nossos ramos. Lembrando sempre de observar todas as regrinhas.

O número de ramos é igual ao número de polos, nesse caso então, só teremos um ramo.

Só pode existir um ramo se à esquerda dele existir um número ímpar de polos e zeros. Ou seja, à direita de - 1 3 não existe ramo pois nesse intervalo não existe nenhum zero ou polo à esquerda e à esquerda de - 1 2 também não pode ter ramo porque nesse intervalo existe um zero e um polo à esquerda, dando um total de dois que é um núemero par.

Outra regra importante é que todo ramos nasce em um polo e morre em um zero. Como só temos um polo e um zero, nosso diagrama ficará da seguinte forma:

Repare que dessa forma, todas as regras foram obedecidas.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pag 254, Exemplo 8-2.1. Adaptado

Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para o sistema mostrado abaixo:

G s = K C ( 3 s + 1 ) ( s + 1 )

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Passo 1

Como sempre, a primeira coisa que devemos começar fazendo é identificar quantos e quais são os polos e zeros da função de transferência.

Para este caso, nós não temos nenhum zero na função de transferência, porém temos dois polos, - 1 3 e - 1 . Vamos marcar eles no diagrama então:

Passo 2

Como temos dois polos a mais que zeros, isso indica que teremos dois zeros no infinito no nosso diagrama. Para saber a localização desses zeros desenharemos assíntotas no diagarama de lugar das raízes que vão nos indicar onde eles se encontram.

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s =   ± 180 2 r + 1 2 - 0 = 9 0 ( 2 r + 1 )

Podemos perceber que se   r for igual a 0 o ângulo será 9 0 º , se for 1 , será 27 0 º . Após isso, os valores 90 º e 180 º começam a se repetir.

Agora vamos calcular onde a assíntota intercepta o eixo real:

σ a = ∑ p o l o   f i n i t o s - ∑ z e r o s   f i n i t o s n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s = - 1 - 1 / 3 - 0 2 - 0 =   - 2 3

Coocando no diagrama de lugar das raízes:

Repare que temos duas assíntotas, uma com inclinação 90 º e outra com inclinação 270 º .

Passo 3

Por fim devemos representar os ramos, eu são as linhas eu indicam o lugar das raízes conforme varíamos algum coeficiente (nesse caso, o ganho). Lembre-se sempre que o número de ramos é sempre igual ao númeor de polos e que cada ramos “nasce” em um polo e “morre” em um zero. Então nesse caso nós teremos um ramo saindo de cada um dos polos e indo até um zero no infinito pois não temos nenhum zero finito.

Outro detalhe importante é que os ramos só existem no eixo dos reais se estiverem à esquerda de um número ímpar de polos, ou seja, não pode existir nenhum ramo à direita de - 1 3 pois nesse caso não teríamos nenhum polo à esquerda, nem à esquerda de - 1 pois aí teríamos dois polos à esquerda.

Sendo assim, o nosso diagram de lugar das raízes fica da seguinte forma:

Nesse caso, coincidentemente, o ramo do lugar das raízes ficou sobre as assíntotas, mas tenha em mente que nem sempre será assim.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para o sistema mostrado abaixo:

G s = K ( s + 1 ) ( 0,5 s + 1 ) ( 2 s + 1 )

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Passo 1

O primeiro passo sempre será identificar os polos e zeros da função de transferência. Nesse exercício temos um zero, - 2 , e dois polos, - 1 e - 1 2 .

Representando esses polos e zeros no diagrama de lugar das raízes:

Passo 2

Como temos um polo a mais que zero, teremos um zero no infinito. Então precisamos calular nossas assíntotas para saber onde esse zero no infinito se encontra.

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s =   ± 180 2 r + 1 2 - 1 = 180 ( 2 r + 1 )

A assíntota terá inclinação 180 º não importa qual seja o valor de r .

Como a inclinação da assíntota é de 180 º , ela está sobre todo o eixo dos reais, então não é preciso calcular onde essa asspintota intercepta o eixo.

Passo 3

Só precisamos agora representar os ramos do lugar das raízes seguindo todas aquelas regrinhas. Os ramos nascem nos polos e morrem nos zeros. O número de ramos é igual ao número de polos, e os ramos só existem se à esquerda deles existir um número ímpar de polos e zeros.

Portanto:

O ramo que sai do polo - 2 é o ramo que morre no zero no infinito que se encontra sobre o eixo dos reais, já que a assíntota tem inclinação 180 º .

Entre - 1 e - 1 2 não pode existir ramos pois existe um número par de ramos e zeros à esquerda desse intervalo.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exercício 8.3

Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para o sistema mostrado abaixo:

G s = K ( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 6 )

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Passo 1

O primeiro passo para montar o nosso esboço do lugar das raízes sempre será identidicar os polos e zeros da nossa função de transferência e representa-los no diagrama.

A função de transferência do exercício não apresenta zeros porém possui três polos, - 2 , - 4 e - 6 .

Passo 2

Agora, vamos aplicar as nossas fórmulas para encontrar o ângulo das assíntotas com o eixo dos reais e em que ponta elas vão interceptar esse eixo:

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s =   ± 180 2 r + 1 3 - 0 = 60 ( 2 r + 1 )

Podemos perceber que se   r for igual a 0