Margem de ganho e margem de fase

Teoria Completa

Introdução

Agora que já aprendemos o que é resposta em frequência, já vimos como esboçar os diagramas de Bode e Nyquist e também como analisar a estabilidade de um sistema através deles, só está faltando uma coisinha para a gente fechar esse capítulo de resposta em frequência: entender o que é margem de ganho e margem de fase.

Esses dois conceitos estão diretamente relacionados ao estudo de resposta de frequência de um sistema e a sua estabilidade. Mas como assim?

Vamos continuar com o exemplo do último tópico. Nós vimos que para a função de transferência abaixo:

G s = 81 s + 3 3

O diagrama de Bode resultante foi:

Como na frequência em que o ângulo de fase era - 180 º a razão de amplitude em decibéis foi menor que 0 , concluímos que o sistema é estável.

“Ok, se o sistema do jeito que tá ali é estável, quer dizer que eu posso aumentar um pouco o ganho dele certo?” Correto!

“Mas quanto eu posso aumentar até que ele fique instável?” É exatamente isso que os valores de margem de ganho e de fase e vão nos informar: o quanto podemos alterar uma função de transferência até que ela deixe de ser estável. Vamos aprender como obter esses valores tanto a partir do Diagrama de Bode quanto do Diagrama de Nyquist. Bora?

Definições

Antes de partirmos para a ação e ir para os diagramas, vamos entender um pouco melhor esses dois conceitos.

Margem de ganho representa o fator pelo qual o ganho total de um sistema deve aumentar para torna-lo instável. Ou seja:

M G = K u K

Onde K u é o ganho final, ou seja, o valor máximo que o ganho pode ter para que o sistema não seja instável.

Dessa forma, se uma malha tem ganho total 20 e margem de ganho 3 , o ganho final da malha será 60 , pois:

M G = K u K → K u = K * M G = 60

A margem de ganho também pode ser calculada pelo inverso da razão de amplitude de um sistema na frequência em que o ângulo de fase é - 180 º . Ou seja:

M G = 1 G i ω θ = - 180 º  

margem de fase determina o quanto de atraso a malha ainda aguente antes de se tornar instável. Matematicamente ele é definido como a diferença entre - 180 º e o ângulo de fase na frequência em que a razão de amplitude é igual a unidade. Ou seja:

M F = 180 º + θ R A = 1

O ganho de margem e ganho de fase são importantes porque muitas vezes eles servem como parâmetros de projeto e através deles é possível determinar quão bem projetado e sintonizado está o sistema.

Para que o sistema seja estável, ambas as margens devem ser positivas. Além disso, para um bom desempenho do sistema de controle é desejável que a margem de ganho esteja acima de 6   d B e a margem de fase esteja entre 30 º e 60 º .

Margem de ganho e fase pelo Diagrama de Bode

Uma das formas de se obter a margem de ganho e a margem de fase é através do diagrama de Bode.

A margem de ganho pode ser obtida encontrando a diferença entre a curva de razão de amplitude e a unidade na frequência em que o ângulo de fase é - 180 º . Quando estivermos trabalhando com a razão de amplitude em decibéis (na maioria dos casos), devemos ver a diferença entre a razão de amplitude e a linha correspondente à razão de amplitude 0 . O gráfico genérico abaixo mostra melhor isso.

Sendo assim, para se obter a margem de ganho através do diagrama de Bode, devemos encontrar a frequência em que o ângulo de fase é - 180 º e então ver a diferença da curva de razão de amplitude para a linha do zero nessa mesma frequência.

Para o caso acima, a margem de ganho é positiva e o sistema é estável. Caso na frequência em que o ângulo de fase é - 180 º a curva da razão de amplitude fosse positiva, a margem de ganho seria negativa e o sistema é instável.

Além disso, quando o gráfico da razão de amplitude está em decibéis a margem de ganho também é dada em decibéis. Dessa forma, caso seja necessário fazer uma conversão, a relação entre as duas margens de ganho é a seguinte:

M G d B = 20 log ⁡ M G

Para calcular a margem de fase devemos encontrar a frequência em que a razão de amplitude é 1 (ou 0 de o diagrama estiver em decibéis) e calcular a diferença da curva do ângulo de fase para - 180 º nessa frequência. Para o mesmo gráfico genérico acima, vamos identificar a margem de fase:

Quando a curva do ângulo de fase está acima de - 180 º na frequência em que R A d B = 0 a margem de fase é positiva e o sistema é estável. Caso estivesse abaixo, a margem de fase seria negativa e o sistema seria instável.

Margem de ganho e fase pelo Diagrama de Nyquist

Agora vamos obter margem de ganho e de fase usando o Diagrama de Nyquist. Para entender como fazer isso vamos usar o diagrama hipotético abaixo:

O critério de Nyquist diz que:

Z = N + P

E para o sistema ser estável é necessário que Z = 0 . Como já está informado na imagem que P = 0 precisamos que N também seja 0 para que o sistema seja estável. N é o número de voltas em torno de - 1 . Dessa forma, enquanto o ponto em que o diagrama polar cruza o eixo dos reais estiver à direta de - 1 o sistema é estável. Se você não entendeu nada do que eu acabei de falar, seria legal dar uma revisada na aula de Critério de Nyquist.

Para achar a margem de ganho via Diagrama de Nyquist, nós precisamos da distância entre o ponto que o diagrama cruza o eixo dos reais e a origem. A margem de ganho será o inverso dessa distância.

Se o ponto que o diagrama cruza o eixo dos reais fosse 0,5 , por exemplo, a margem de ganho seria 2 . O que quer dizer que o ganho total do sistema poderia ser dobrado sem ficar instável.

Para calcular a margem de fase, devemos encontrar um ponto do diagrama com módulo 1 e calcular o ângulo dele com relação ao eixo dos reais.

Para conseguir identificar esse ponto cujo módulo é 1 , podemos fazer um círculo com centro na origem e raio igual a 1 . Onde esse círculo cruzar o diagrama é o ponto que precisamos.

O ponto A é o ponto que procuramos. Para determinar a margem de fase precisamos então da medida do ângulo entre a linha que liga esse ponto à origem e o eixo dos reais, como mostra a imagem acima.

Encontrar a margem de fase pelo Diagrama de Nyquist pode ser bem difícil e por vezes requer aproximações, o que acaba envolvendo muitas incertezas. Sendo assim, é bem mais confiável encontrar a margem de fase pelo Diagrama de Bode.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Um sistema tem ganho K = 20 e margem de ganha M G d B = 50   d B . Qual o ganho máximo que o sitema pode operar?

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Passo 1

Primeiramente vamos fazer a conversão do ganho para escala linear.

Como:

M G d B = 20 log ⁡ M G

Teremos:

M G = 10 M G d B 20

Portanto:

M G = 10 50 20 = 316

Passo 2

Pela definição, margem de ganho é o fator pelo qual o ganho pode ser aumentado antes que o sistema se torne instável.

M G = K u K

Onde K u , é o ganho final.

Sendo assim:

K u = M G * K = 316 * 20 = 6320

Resposta

K u = 6320

Exercício Resolvido #2

Transpetro 2006 – Engenheiro de automação – Questão 38

As figuras representam os diagramas de Bode para a função de transferência em malha aberta de um determinado cistema físico. A margem de ganho, em dB, e a margem de fase, em graus, valem respectivamente:

  1. 80 e 100
  2. 20 e 140
  3. 70 e 60
  4. 40 e 80
  5. 60 e 120
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, vamos encontrar a margem de ganho.

Para isso, precisaremos encontrar a razão de amplitude na frequência em que a fase é - 180 º .

Pela imagem, podemos ver que na frequência crítica, a razão de amplitude é - 40 d B . A margem de ganho é:

M G =   - R A ω c = 40 d B

Passo 2

Para encontrar a margem de fase, precisamos encontrar o ângulo de fase na frequência em que a razão de amplitude é 0   d B .

A margem de fase é calculada como a diferença entre esse ângulo de fase e - 180 º . Sendo assim: