Teoria Completa
Introdução
Agora que já aprendemos o que é resposta em frequência, já vimos como esboçar os diagramas de Bode e Nyquist e também como analisar a estabilidade de um sistema através deles, só está faltando uma coisinha para a gente fechar esse capítulo de resposta em frequência: entender o que é margem de ganho e margem de fase.
Esses dois conceitos estão diretamente relacionados ao estudo de resposta de frequência de um sistema e a sua estabilidade. Mas como assim?
Vamos continuar com o exemplo do último tópico. Nós vimos que para a função de transferência abaixo:
O diagrama de Bode resultante foi:
Como na frequência em que o ângulo de fase era a razão de amplitude em decibéis foi menor que , concluímos que o sistema é estável.
“Ok, se o sistema do jeito que tá ali é estável, quer dizer que eu posso aumentar um pouco o ganho dele certo?” Correto!
“Mas quanto eu posso aumentar até que ele fique instável?” É exatamente isso que os valores de margem de ganho e de fase e vão nos informar: o quanto podemos alterar uma função de transferência até que ela deixe de ser estável. Vamos aprender como obter esses valores tanto a partir do Diagrama de Bode quanto do Diagrama de Nyquist. Bora?
Definições
Antes de partirmos para a ação e ir para os diagramas, vamos entender um pouco melhor esses dois conceitos.
Margem de ganho representa o fator pelo qual o ganho total de um sistema deve aumentar para torna-lo instável. Ou seja:
Onde é o ganho final, ou seja, o valor máximo que o ganho pode ter para que o sistema não seja instável.
Dessa forma, se uma malha tem ganho total e margem de ganho , o ganho final da malha será , pois:
A margem de ganho também pode ser calculada pelo inverso da razão de amplitude de um sistema na frequência em que o ângulo de fase é . Ou seja:
Já margem de fase determina o quanto de atraso a malha ainda aguente antes de se tornar instável. Matematicamente ele é definido como a diferença entre e o ângulo de fase na frequência em que a razão de amplitude é igual a unidade. Ou seja:
O ganho de margem e ganho de fase são importantes porque muitas vezes eles servem como parâmetros de projeto e através deles é possível determinar quão bem projetado e sintonizado está o sistema.
Para que o sistema seja estável, ambas as margens devem ser positivas. Além disso, para um bom desempenho do sistema de controle é desejável que a margem de ganho esteja acima de 6 e a margem de fase esteja entre e .
Margem de ganho e fase pelo Diagrama de Bode
Uma das formas de se obter a margem de ganho e a margem de fase é através do diagrama de Bode.
A margem de ganho pode ser obtida encontrando a diferença entre a curva de razão de amplitude e a unidade na frequência em que o ângulo de fase é . Quando estivermos trabalhando com a razão de amplitude em decibéis (na maioria dos casos), devemos ver a diferença entre a razão de amplitude e a linha correspondente à razão de amplitude . O gráfico genérico abaixo mostra melhor isso.
Sendo assim, para se obter a margem de ganho através do diagrama de Bode, devemos encontrar a frequência em que o ângulo de fase é e então ver a diferença da curva de razão de amplitude para a linha do zero nessa mesma frequência.
Para o caso acima, a margem de ganho é positiva e o sistema é estável. Caso na frequência em que o ângulo de fase é a curva da razão de amplitude fosse positiva, a margem de ganho seria negativa e o sistema é instável.
Além disso, quando o gráfico da razão de amplitude está em decibéis a margem de ganho também é dada em decibéis. Dessa forma, caso seja necessário fazer uma conversão, a relação entre as duas margens de ganho é a seguinte:
Para calcular a margem de fase devemos encontrar a frequência em que a razão de amplitude é (ou de o diagrama estiver em decibéis) e calcular a diferença da curva do ângulo de fase para nessa frequência. Para o mesmo gráfico genérico acima, vamos identificar a margem de fase:
Quando a curva do ângulo de fase está acima de na frequência em que a margem de fase é positiva e o sistema é estável. Caso estivesse abaixo, a margem de fase seria negativa e o sistema seria instável.
Margem de ganho e fase pelo Diagrama de Nyquist
Agora vamos obter margem de ganho e de fase usando o Diagrama de Nyquist. Para entender como fazer isso vamos usar o diagrama hipotético abaixo:
O critério de Nyquist diz que:
E para o sistema ser estável é necessário que . Como já está informado na imagem que precisamos que também seja para que o sistema seja estável. é o número de voltas em torno de . Dessa forma, enquanto o ponto em que o diagrama polar cruza o eixo dos reais estiver à direta de o sistema é estável. Se você não entendeu nada do que eu acabei de falar, seria legal dar uma revisada na aula de Critério de Nyquist.
Para achar a margem de ganho via Diagrama de Nyquist, nós precisamos da distância entre o ponto que o diagrama cruza o eixo dos reais e a origem. A margem de ganho será o inverso dessa distância.
Se o ponto que o diagrama cruza o eixo dos reais fosse , por exemplo, a margem de ganho seria . O que quer dizer que o ganho total do sistema poderia ser dobrado sem ficar instável.
Para calcular a margem de fase, devemos encontrar um ponto do diagrama com módulo e calcular o ângulo dele com relação ao eixo dos reais.
Para conseguir identificar esse ponto cujo módulo é , podemos fazer um círculo com centro na origem e raio igual a . Onde esse círculo cruzar o diagrama é o ponto que precisamos.
O ponto é o ponto que procuramos. Para determinar a margem de fase precisamos então da medida do ângulo entre a linha que liga esse ponto à origem e o eixo dos reais, como mostra a imagem acima.
Encontrar a margem de fase pelo Diagrama de Nyquist pode ser bem difícil e por vezes requer aproximações, o que acaba envolvendo muitas incertezas. Sendo assim, é bem mais confiável encontrar a margem de fase pelo Diagrama de Bode.
Exercício Resolvido #1
Um sistema tem ganho e margem de ganha . Qual o ganho máximo que o sitema pode operar?
Passo 1
Primeiramente vamos fazer a conversão do ganho para escala linear.
Como:
Teremos:
Portanto:
Passo 2
Pela definição, margem de ganho é o fator pelo qual o ganho pode ser aumentado antes que o sistema se torne instável.
Onde , é o ganho final.
Sendo assim:
Resposta
Exercício Resolvido #2
As figuras representam os diagramas de Bode para a função de transferência em malha aberta de um determinado cistema físico. A margem de ganho, em dB, e a margem de fase, em graus, valem respectivamente:
- 80 e 100
- 20 e 140
- 70 e 60
- 40 e 80
- 60 e 120
Passo 1
Primeiramente, vamos encontrar a margem de ganho.
Para isso, precisaremos encontrar a razão de amplitude na frequência em que a fase é .
Pela imagem, podemos ver que na frequência crítica, a razão de amplitude é . A margem de ganho é:
Passo 2
Para encontrar a margem de fase, precisamos encontrar o ângulo de fase na frequência em que a razão de amplitude é .
A margem de fase é calculada como a diferença entre esse ângulo de fase e . Sendo assim:
Resposta
d) 40 e 80
Exercício Resolvido #3
Dado o diagrama de Bode abaixo, encontre a margem de ganho e a margem de fase do sistema.
Passo 1
Primeiramente, vamos calcular a margem de ganho. A margem de ganho pode ser encontrada via diagrama de Bode através da razão de amplitude do sistema na frequência em que o ângulo de fase é . Vamos encontrar esse valor então:
Pela figura, podemos ver que a razão de amplitude na frequência crítica é mais ou menos . A margem de ganho pode ser calculada como a diferença entre e esse valor de razão de amplitude. Sendo assim, a margem de ganho será:
Uma margem de ganho negativa indica que o sistema é instável, ou seja, tem um valor de ganho acima do ganho máximo.
Passo 2
Vamos agora calcular a margem de fase.
Para isso, precisamos encontar o valor do ângulo de fase na mesa frequência em que aa razão de amplitude é igual a .
Pela figura, podemos estimar esse valor como aproximadamente .
A margem de fase é a diferença desse valor de ângulo de fase para . Sendo assim:
A margem de fase negativa indica que o sistema é instável, o que corrobora a conclusão que chegamos com a margem de ganho.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Dado o diagrama de Bode abaixo, encontre a margem de ganho e a margem de fase do sistema.
Passo 1
Vamos calcular a margem de ganho encontrando a razão de amplitude na frequência crítica.
Pela figura, podemos ver que a razão de amplitude na frequência crítica é aproximadamente . A margem de ganho pode ser calculada como a diferença entre e esse valor de razão de amplitude. Sendo assim, a margem de ganho será:
Como a mergem de ganho é positiva, o sistema é estável.
Passo 2
Vamos agora calcular a margem de fase.
Para isso, precisamos encontar o valor do ângulo de fase na mesa frequência em que aa razão de amplitude é igual a .
Pela figura, podemos estimar esse valor como aproximadamente .
A margem de fase é a diferença desse valor de ângulo de fase para . Sendo assim:
Lembrando que margem de fase positiva indica sistema estável.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Dado o diagrama de Nyquist abaixo:
Calcule a margem de ganho e diga se o sistema é estável ou instável.
Passo 1
Para encontrar a margem de ganho, precisamos encontrar o ponto onde o diagrama de Nyquist cruza o eixo dos reais:
Esse ponto é aproximadamente .
Passo 2
Para encontrar a margem de ganho, precisamos apenas dividir por esse valor:
Como a margem de ganho resultou em um número maior que , o sistema é estável.
Se estivéssemos trabalhando com margem de ganho em decibéis, para o sistema ser estável, a margem de ganha precisaria ser maior que .
Resposta
Sistema estável.
Exercício Resolvido #6
Dado o diagrama de Nyquist abaixo:
Calcule a margem de ganho e diga se o sistema é estável ou instável.
Passo 1
Para encontrar a margem de ganho, precisamos encontrar o ponto onde o diagrama de Nyquist cruza o eixo dos reais:
Esse ponto é aproximadamente .
Passo 2
Para encontrar a margem de ganho, precisamos apenas dividir esse valor por :
Como a margem de ganho resultou em um número menor que , o sistema é instável.
Se estivéssemos trabalhando com margem de ganho em decibéis, para o sistema ser estável, a margem de ganha precisaria ser maior que .
Resposta
Sistema instável.
Exercício Resolvido #7
Dado o diagrama de Nyquist abaixo:
Calcule a margem de fase e diga se o sistema é estável ou instável.
Passo 1
Para calcular a margem de fase, precisamos traçar um segmento de magnitude e girá-lo para que a gente consiga encontrar um ponto do diagrama de Nyquist com módulo exatamente igual a .
Passo 2
Agora, devemos girar esse segmento até encontrar a linha do diagrama de Nyquist:
Passo 3
Para calcular a margem de fase, devemos calcular o ângulo que esse exato ponto do diagrama de Nyquist faz com o eixo real. Se tentarmos fazer uma aproximação no olhômetro mesmo, podemos chutar que esse ponto está em .
Sendo asism, a margem de fase será:
Resposta
Exercício Resolvido #8
Obtenha a margem de ganho, margem de fase, a frequência de e a frequência de para um sistema com realimentação unitária e função de transferência em malha aberta:
Passo 1
Para encontrar tudo isso que o exercício pediu, precisamos de um diagrama de Bode. Como ele não deu o diagrama de mão beijada pra gente mas deu a função de transferência em malha aberta. Vamos nós mesmo fazer o esboço do diagrama de Bode usando a aproximação assintótica.
O primeiro passo será reescrever a função de transferência deixando todos os zeros e polos (nesse caso só polos, pois não há zeros) no formato . Portanto:
Passo 2
Vamos começar o nosso esboço representando. cada um dos termos como uma linha no diagrama de Bode: