Análise de estabilidade via resposta de frequência

Teoria Completa

Introdução

Até aqui nós já vimos uma série de métodos para determinar a estabilidade de um sistema. Vimos técnicas de malha fechada, como a substituição direta e o critério de Routh. Essas técnicas se utilizavam da equação característica do sistema para tirar conclusões a respeito da sua estabilidade.

Também vimos técnicas de malha aberta, como o lugar das raízes. O lugar das raízes nos mostra como as raízes de um sistema vão variar conforme variamos o ganho do sistema. Dessa forma conseguimos ver pelo lugar das raízes em que ponto alguma raiz passa para o semiplano direito tornando o sistema instável.

No estudo de resposta em frequência, vimos como definir a estabilidade de um sistema em malha fechada usando sua função de transferência em malha aberta através do Critério de Nyquist.

Agora vamos continuar ainda nas técnicas de resposta em frequência, e iremos analisar mais um critério: o Critério de Bode.

Critério de Bode

Para podermos a aplicar o critério de Bode de forma efetiva, precisaremos de um diagrama de Bode.

O Diagrama de Bode é o diagrama que relaciona razão de amplitude e ângulo de fase com a frequência de entrada do sistema. Se você está tendo dificuldade de lembrar o que é o Diagrama de Bode ou as técnicas para conseguir fazer um esboço legal do diagrama, seria bacana que você desse uma revisada nessa aula.

Certo, mas o que o Critério de Bode diz, e como vou poder usar isso para determinar a estabilidade de um sistema?

O Critério de Bode diz que para um sistema ser estável, na frequência em que o ângulo de fase atinge - 180 º a razão de amplitude deve ser menor que 1.

Dessa forma, se R A < 1 em θ = - 180 º o sistema é estável, se R A > 1 em θ = - 180 º o sistema é instável. O ganho que faz com que R A = 1 em θ = - 180 º é o ganho final e a frequência em que isso ocorre é a frequência final.

Entretanto, na maioria das vezes, principalmente quando estamos trabalhando com Diagrama de Bode, em vez de representar R A , nós representamos 20 log ⁡ R A .

Sendo assim, quando estivermos trabalhando com a razão de amplitude em decibéis nós precisaremos que 20 log ⁡ R A < 0 em θ = - 180 º .

Isso porque com:

R A = 1

20 log ⁡ R A = 0

Sendo assim, o procedimento para aplicar o Critério de Bode será o seguinte:

  • Caso não esteja disponível, esboçar o Diagrama de Bode da função de transferência em malha aberta através da técnica do traçado das assíntotas.
  • Identificar em que frequência o ângulo de fase atinge a marca de - 180 º .
  • Fazer uma linha vertical para cima de modo a permanecer na mesma frequência e observar em que ponto essa linha vertical cruza a curva de razão de amplitude.
  • Se a razão de amplitude estiver representada em decibéis, para que o sistema seja estável esse ponto tem que ser menor que 0 , se não estiver representado em decibéis, esse ponto tem que ser menor que a unidade.

Também é possível determinar a estabilidade diretamente utilizando-se as expressões analíticas para θ e R A . Dessa forma, devemos encontrar a frequência em que θ é igual a - 180 º , esse procedimento pode não ser trivial e às vezes requer a utilização de métodos numéricos. Uma vez que essa frequência é identificada, basta substituir essa frequência na expressão de R A e ver se a razão de amplitude será maior ou menor que 1 naquela frequência.

Entendeu? Não? Mais ou menos? Vamos aplicar então para ver se as coisas ficam mais claras.

Botando a mão na massa

Vamos considerar a seguinte função de transferência de malha aberta:

G s = 81 s + 3 3

Primeiramente deveremos traçar o Diagrama de Bode através do método do traçado das assíntotas. O primeiro passo para esse método será sempre deixar os polos no formato “mais um”, ou seja, devemos transformar aquele 3 do denominador em 1 , para isso vamos dividir toda a e expressão por 3 três vezes:

G s = 81 3 3 s + 3 3 3 3 = 81 27 s + 3 3 3 = 3 s 3 + 1 3  

Prontinho, conseguimos o “mais um” que queríamos. O próximo passo é então substituir s por i ω .

G i ω = 3 i ω 3 + 1 3

Sendo assim, as expressões para 20 log ⁡ R A e θ serão:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 3 - 60 log ⁡ ω 2 3 + 1  

θ = - 3 tan - 1 ⁡ ω 3

E, portanto, o Diagrama de Bode será:

Caso não se lembre como chegar às expressões analíticas e como fazer as aproximações por traçados das assíntotas, seria bacana dar uma revisada na aula de Diagrama de Bode.

Agora devemos primeiramente fazer uma linha horizontal para encontrar a frequência em que o ângulo de fase é - 180 º e depois rebater essa linha para cima para saber qual a razão de amplitude nessa frequência. Vamos representar essas linhas em vermelho pontilhado:

Podemos ver que a frequência em que o ângulo de fase é - 180 º é aproximadamente 5,5   r a d / s e g , nessa frequência, a razão de amplitude (em decibéis) é menor que 0 , logo o sistema é estável.

Se Substituirmos ω = 5,5   r a d / s e g nas expressões analíticas, encontraremos respostas similares:

θ = - 3 tan - 1 ⁡ 5,5 3 = - 184,17 º

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 3 - 60 log ⁡ 5,5 2 3 + 1   = - 21   d B

As diferenças entre as soluções gráficas e analíticas se devem pelo fato de que o traçado do diagrama de Bode pelo método das assíntotas se trata de uma aproximação. Mesmo assim, ambos os métodos mostraram que o sistema é estável.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Petrobras 2012 – Engenheiro de equipamento Junior – Questão 57 - Adaptado

Considere o diagrama de Bode mostrado abaixo:

Sobre a estabilidade, é possível afirmar que o sistema é:

  1. Instável porque, na frequência que a amplitude começa a decair a 30 dB/década a fase é aproximadamente -90º.
  2. Instável porque, na frequência em que a fase é - 180 º , a amplitude está acima de 0 dB.
  3. Instável porque, em frequências muito altas, a fase cai abaixo de - 180 º .
  4. Estável porque a amplitude permanece constante em baixas frequências.
  5. Estável porque a amplitude tende a 0 quando a frequência tende a infinito.
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Resposta

O critério de Bode para estabilidade diz que, um sistema é estável apenas se na frequência em que a fase é - 180 º , a razão de amplitude for menor que 1 , ou, menor que 0 se ela estiver em decibéis.

Portanto a única afirmativa que relaciona a estabilidade corretamente com o critério de Bode é a alternativa b), e o sistema é instável pois na frequência em que a fase é - 180 º a amplitude é um pouco maior que 0 .

b) Instável porque , na frequência em que a fase é - 180 º , a amplitude está acima de 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um sistema em malha aberta tem o diagrama de Bode representado abaixo.

Determine a estabilidade do sistema em malha fechada.

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Passo 1

Para determinar a estabilidade do sistema em malha fechada, precisamos encontrar a frequência em que o ângulo de fase é igual a - 180 º :