Métodos de Ziegler-Nichols

Teoria Completa

Introdução

No capítulo de controladores nós aprendemos um pouco sobre esses equipamentos que são o grande cérebro das malhas de controle. Os controladores são os caras que tomam as decisões de como a malha deve reagir quando a variável controlada não está ajustada na especificação adequada.

Nós vimos que existem alguns tipos de controladores, cada um com sua própria função de transferência e com um propósito diferente para ser usado.

Um dos controles mais simples é o proporcional (P), ele corrige a variável controlada proporcionalmente ao erro. O controlador proporcional-integrativo (PI) corrige a variável proporcionalmente ao erro e ainda acrescenta uma parcela de integral do erro. O proporcional-integrativo-derivativo (PID) faz tudo isso e ainda tem um efeito derivativo que prevê a resposta do sistema. O PID por exemplo, tem função de transferência:

G C s = K c 1 + 1 τ i s + τ d s

Alguns livros preferem escrever da forma abaixo, mas dá na mesma:

G c s = K p + K i s + K d s

K p = K c

K i = k c τ i s

K d = K c τ d

Na fórmula dos controladores existem parâmetros: o ganho do controlador ( K C ), a constante de tempo integral ( τ i ) e a constante de tempo derivativo ( τ d ). Esses parâmetros são fundamentais para o bom funcionamento do controlador e o sucesso do sistema de controle vai depender diretamente do quão bem ajustados eles estão.

Como o controlador é o centro de toda a malha de controle, nós precisamos dar uma atenção muito especial para os métodos de sintonização desses equipamentos. O ajuste fino dos parâmetros do controlador é o que vai definir não só as características da nossa resposta mas como também a estabilidade do sistema.

Os primeiros métodos de sintonia de controlador que veremos serão os métodos de Ziegler-Nichols. Os brabos propuseram dois métodos, um em malha aberta e um em malha fechada, para sintonizar controladores. Os métodos de Ziegler-Nichols também são chamados de métodos de decaimento de 1 / 4 porque já que eles foram desenvolvidos de modo que cada pico da resposta fosse 1 / 4 do pico anterior.

O método de Ziegler-Nichols de malha aberta

Esse método, que também é chamado de método da curva de reação, consiste em inserir uma entrada degrau unitário em um processo em malha aberta e observar a resposta desse sistema com o tempo.

Ziegler e Nichols perceberam que a maioria dos processos apresentam uma resposta parecida com a da imagem quando submetidos a uma entrada do tipo degrau unitário.

Sendo assim, eles elaboraram um método gráfico de forma que seja possível aproximar o sistema que tem uma resposta em “S” como a da figura acima a um sistema de primeira ordem mais tempo morto:

Y s X s = K τ s + 1 e - θ s  

O método consiste em definir o ganho, K , a constante de tempo, τ , e o tempo morto, θ , através do gráfico da resposta do sistema. Com esses três valores é possível calcular os parâmetros para o controlador.

Para fazer essa análise, é preciso traçar a linha tangente na curva no ponto onde a inclinação dessa linha é a maior possível (geralmente vai ser perto do meio).

Após traçar a tangente de maior inclinação o ponto em que ela cruza o valor inicial da resposta ( y ( 0 ) ) determina o tempo morto o tempo morto. A distância entre esse ponto e o ponto em que ela cruza a linha do valor da resposta em estado estacionário é τ . O ganho é a variação total da resposta dividido pela amplitude do degrau.

Os parâmetros para o controlador podem então ser calculados utilizando-se as correlações da tabela abaixo:

Esse método é útil quando não temos a função de transferência do processo, mas sabemos como sua resposta se comporta para uma entrada degrau unitário.

O método de Ziegler-Nichols de malha fechada

Esse método, também conhecido como método do ganho final, utiliza-se da equação característica de malha fechada de um processo para determinar os parâmetros do controlador.

Dado um processo qualquer G ( s ) , controlado por um controlador G C ( s ) , sua função de transferência em malha fechada será:

Y s X s = G C ( s ) G s 1 + G C ( s ) G s

O denominador dessa função de transferência é chamado de equação característica. Com essa equação conseguimos determinar, por exemplo, qual o maior ganho que o sistema pode ter antes de ficar instável, que é o ganho final.

O método de Ziegler-Nichols de malha fechada consiste em determinar o ganho e o período final de um processo e com esses valores sintonizar os parâmetros do controlador.

Para encontrar o ganho e período final, você deve considerar que está trabalhando com um controlador proporcional (mesmo que esteja sintonizando um PI ou um PID). Dessa forma, você deve determinar K c u e ω u que são o ganho e a frequência que tornam o seu sistema instável.

O período final pode ser encontrado através da frequência final:

T u = 2 π ω u

Existe uma série de métodos que você pode usar: substituição direta, critério de Routh, lugar das raízes. Fica a critério do cliente. Caso você não se lembre como aplicar esses métodos, pode ficar tranquilo que tem uma aula para cada um deles aqui no Responde Aí, só voltar lá e dar uma revisada.

Com os valores de K c u e T u em mãos, é só jogar na tabelinha abaixo e ser feliz.

Uma dica pessoal minha é usar o método da substituição direta para encontrar os valores de K c u e T u . Eu particularmente considero esse método mais fácil e direto. Entretanto, todos os métodos encontram respostas muito semelhantes e se você se sentir mais confortável usando o critério de Routh ou lugar das raízes tá tudo ótimo.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Um sistema pode ser aproximado por um modelo de primeira ordem mais tempo morto (FOPDT) conforme a função de transferência abaixo:

Y s X s = 2 3 s + 1 e - 0,5 s

Considerando-se essa aproximação, sintonize um controlador P, PI e PID usando as correlaçãoes de decaimento ¼ de Ziegler-Nichols.

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Passo 1

Para fazer as sintonias, primeiro precisamos determinar os parâmetro do modelos FOPDT comparando a função de transferência do enunciado com o modelo padrão abaixo:

K τ s + 1 e - θ s

Como para o sistema que estamos trabalhando a função de transferência é:

2 3 s + 1 e - 0,5 s

Podemos tirar que:

K = 2

τ = 3

θ = 0,5

Para fazer as sintonizações, devemos utilizar as correlações da tabela abaixo:

Passo 2

Um controlador do tipo P tem apenas um parâmetro a ser sintonizado:

G C s = K C

Usando a correlação da tabela:

K C = τ K θ = 3 0,5 * 2 = 3

Portanto

G C = 3

Passo 3

Para um controlador PI, teremos que calcular dois parâmetros:

G C s = K C 1 + 1 τ i s

Usando as correlações da tabela:

K C = 0,9 τ K θ = 0,9   3 0,5 * 2 = 2,7

τ i = θ 3 = 0,5 0 , 3 = 1 , 6 7

A função de transferência do controlador será então:

G C s = 2,7 1 + 1 1,67 s

Passo 4

Por último, um controlador PID precisa que três parâmetros sejam sintonizados:

G C s = K C 1 + 1 τ 1 s + τ d s

Seguindo as correlações de Ziegler-Nichols para um controlador PID:

K C = 1,2 τ K θ = 1,2   3 0,5 * 2 = 3,6

τ i = 2 θ = 2 * 0,5 = 1

τ d = 0,5 * θ = 0,5 * 0,5 = 0,25

O controlador será então:

G C s = 3,6 1 + 1 s + 0,25 s

Resposta

Controlador P:

G C = 3

Controlador PI:

G C s = 2,7 1 + 1 0,17 s

Controlador PID:

G C s = 3,6 1 + 1 s + 0,25 s

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um certo sistema, ao ser perturbado com uma entrada degrau unitária, apresenta a seguinte curva de reação

Projete um controlador PID para esse sistema utilizando os parâmetros de Zielger-Nichols de malha aberta.

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Passo 1

Para definir os parâmetros do controlador, precisamos aproximar o sistema da curva a uma função de transferência de primeira ordem com tempo morto (FOPDT). Para isso, precisamos traçar a maior tangente com maior inclinação possível no gráfico do enunciado.

Essa tangente, será mais ou menos assim (não presisa ser extao, lembre-se, é uma aproximação):

Passo 2

Agora precisamos encontrar os parâmetros da função de transferência de primeira ordem com tempo morto:

K τ s + 1 e - θ s

O ganho K , é a variação total da saída. Como a saída variou de 0 até 1 , o ganho é 1 .

K = 1 - 0 = 1

O tempo morto, θ , é a distância entre o início da curva e o ponto onde a reta tangente que a nós traçamos cruza o valor inicial da respota.

Pelo nosso esboço, podemos estimar o ponto em que isso acontece como mais ou menos 0,2 . Sendo assim:

θ = 0,2 - 0 = 0,2   s e g

Por fim, a constante de tempo, τ , é aproximada pela diferença entre o tempo que a reta tangente cruza o valor final e o tempo que a reta tangente cruza o valor inicial. Portanto:

τ = 2,2 - 0,2 = 2,0   s e g

Sendo assim, nossa função de primeira ordem com tempo morto (FOPDT) aproximada ficou com a seguinte cara:

1 2 s + 1 e - 0,2 s

Passo 3

Para projetar nosso PID precisamos encontrar três parâmetros: K c , τ i e τ d . Podemos encontrar as correlações para esses três parâmetros na tabela de Ziegler Nichols para malha aberta

Como nosso controlador é PID, vamos usar a última linha para definir nossos parâmetros. Então:

K c = 1,2 τ θ K = 1,2 2 0,2 = 12

τ i = 2 * 0,2 = 0,4

τ d = 0,5 * 0,2 = 0,1

A função de transferência do controlador será então:

G c s = 12   1 + 1 0,4 s + 0,1 s

Resposta

G c s = 12   1 + 1 0,4 s + 0,1 s

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Um certo sistema, ao ser perturbado com uma entrada degrau unitária, apresenta a seguinte curva de reação

Projete um controlador PI para esse sistema utilizando os parâmetros de Zielger-Nichols de malha aberta.

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Passo 1

Vamos começar encondtrando a função FOPDT que aproxima o sistema:

Pela figura acima, podemos ver que o ponto onde a tangente cruza o valor inicial é aproximadamente 2 , portanto:

θ = 2

Já o ponto que a tangente cruz a linha do falor final da resposta é aproximadamente 7 , portanto:

τ = 7 - 2 = 5

E o ganho do sistema é a variação da resposta dividida pela amplitude do degrau, a variação da resposta nós podemos estimar como 4 , e como o degrau foi um degrau unitário, o ganho é simplesmente:

K = 4

Sendo assim, a nossa aproximação ficará:

Y s X s = 4 5 s + 1 e - 2 s

Passo 2

Para projetar nosso controlador PI precisamos encontrar dois parâmetros: K c e τ i . Podemos encontrar as correlações para esses parâmetros na tabela de Ziegler Nichols para malha aberta

Como nosso controlador é PI, vamos usar a segunda linha para definir nossos parâmetros. Então:

K c = 0,9 τ θ K = 0,9 5 4 * 2 = 0,625

τ i = θ 0,3 = 2 0,3 = 6,67

A função de transferência do controlador será então:

G c s = 0,625   1 + 1 6,67 s