Exercícios Resolvidos de Spin e o Princípio da Exclusão de Pauli

Ver Teoria

Enunciado

Um elétron está confinado dentro de uma caixa quadrada de lado a, mostrada na figura abaixo.

Os estados estacionários normalizados deste elétron são dados por

φ n , m x , y = 2 a s e n n π x a s e n m π y a

Onde n,m são números inteiros positivos. A energia de cada um destes estados é dada por

E n , m = ћ 2 π 2 2 m e a 2 ( n 2 + m 2 )

Onde m e   é a massa do elétron

  1. Determine a probabilidade de encontrar o elétron na região do plano c o m   0   ≤ x   ≤ a 2   e   0   ≤   y   ≤ a 2 , para m e n quaisquer.
  2. Quais são os 4 pares de valores distintos dos números quânticos n e m correspondentes às três menores energias?
  3. Quantos elétron são necessários para preencher completamente os estados com as energias calculadas no item (b)? Suponha que os elétrons não interagem entre si e leve em conta principio de exclusão de Pauli.

Passo 1

Nesse item A é importante relembramos que a probabilidade de encontrarmos um elétron entre duas posições a e b é dada pela equação

P = ∫ a b φ n , m 2 d x

Substituindo a nossa equação de onda na equação de probabilidades teremos que

P = ∫ 0 a 2 2 a s e n n π x a s e n m π y a 2 d x d y

Abrindo a integração teremos que

P = ∫ 0 a 2 4 a 2 s e n 2 n π x a d x ∫ 0 a 2 s e n m π y a d y

P = 4 a 2 ∫ 0 a 2 s e n 2 n π x a d x ∫ 0 a 2 s e n m π y a d y

Pelo formulário temos que

∫ s e n 2 a x d x = x 2 - s e n 2 a x 4 a

Substituindo isso na nossa equação teremos que

P = 4 a 2 a 2 2 - s e n 2 n π a . a 2 4 . n π a a 2 2 - s e n 2 m π a . a 2 4 . m π a

P = 4 a 2 a 2 2 - s e n n π 4 . n π a a 2 2 - s e n m π 4 . m π a

P = 4 a 2 a 2 2 a 2 2

P = 4 a 2 a 4 a 4 = 1 4

Passo 2

No item B devemos tomar cuidado com um pequeníssimo detalhe dado no enunciado. Ele nos afirma que os números quânticos n , m são números inteiros e positivos, ou seja, não abrangem nesse caso o zero. Logo os menores estados de energias iram levar em consta os valores de

n = 1,2 …

E

m = 1,2

Como ele quer apenas os 4 pares de valores distintos que correspondem aos 3 menores níveis de energia teremos que esses pares serão

1,1

1,2

2,1

( 2,2 )

E sabemos que a energia dada nesse caso é

E n , m = ћ 2 . 4 π 2 8 m L 2 n 2 + m 2 = ћ 2 . π 2 2 m L 2 n 2 + m 2

Substituindo os valores dos pares dos menores níveis de energia teremos os seguintes estados de energia associado

E 1,1 = ћ 2 . π 2 2 m a 2 1 2 + 1 2 = ћ 2 . π m a 2

E 1,2 = E 2,1 = ћ 2 . π 2 2 m a 2 1 2 + 2 2 = 5 ћ 2 . π 2 m a 2

E 2,2 = ћ 2 . π 2 2 m a 2 2 2 + 2 2 = 4 ћ 2 . π m a 2

Passo 3

Agora para o item C basta pensar no seguinte, como os elétrons são férmions, sabemos que só podem haver 2 deles, basta lembrar que temos apenas dois spins possíveis para o elétron, que são dados pelos valores - 1 2   e   + 1 2 . como só temos duas posições possíveis para o elétron e nesse caso possuímos 4 estados, para preenchermos totalmente os níveis são necessários então 8 elétrons. Pela figura abaixo fica mais fácil compreender como funciona isso.

Vale lembrar também que como já calculamos no item anterior os estados (1,2) e (2,1) possuem a mesma energia.

Seguindo o passo a passo teremos o seguinte.

Para o estado (1,1)

Para o estado (1,2) e (2,1)

para o estado (2,2)

Resposta

a) P = 4 a 2 a 4 a 4 = 1 4

b) 1,1 , 1,2 , 2,1 , ( 2,2 )

c) 8   e l é t r o n s

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que, se a componente L z do momento angular orbital L → for medida. o máximo que se pode dizer a respeito das outras duas componcntes do momento angular orbital é que obedecem à relação L x + L
O estado d de uma configuração eletrônica corresponde a (a) n = 2, (b) l = 3, (c) l = 2, (d) n = 3, (e) l = 0.
A configuração eletrônica do estado fundamental S 1 / 2 2 de um átomo de lítio com três elétrons é 1s²2s. O estado excitado 1s²2p se desdobra em dois níveis muito próximos, P 3 / 2 2 e P 1 / 2 2 , em