Exercícios Resolvidos de Spin e o Princípio da Exclusão de Pauli

USP, Física 4, P3 2017, 3

Um elétron está confinado dentro de uma caixa quadrada de lado a, mostrada na figura abaixo.

Os estados estacionários normalizados deste elétron são dados por

φ n , m x , y = 2 a s e n n π x a s e n m π y a

Onde n,m são números inteiros positivos. A energia de cada um destes estados é dada por

E n , m = ћ 2 π 2 2 m e a 2 ( n 2 + m 2 )

Onde m e   é a massa do elétron

  1. Determine a probabilidade de encontrar o elétron na região do plano c o m   0   ≤ x   ≤ a 2   e   0   ≤   y   ≤ a 2 , para m e n quaisquer.
  2. Quais são os 4 pares de valores distintos dos números quânticos n e m correspondentes às três menores energias?
  3. Quantos elétron são necessários para preencher completamente os estados com as energias calculadas no item (b)? Suponha que os elétrons não interagem entre si e leve em conta principio de exclusão de Pauli.

Passo 1

Nesse item A é importante relembramos que a probabilidade de encontrarmos um elétron entre duas posições a e b é dada pela equação

P = ∫ a b φ n , m 2 d x

Substituindo a nossa equação de onda na equação de probabilidades teremos que

P = ∫ 0 a 2 2 a s e n n π x a s e n m π y a 2 d x d y

Abrindo a integração teremos que

P = ∫ 0 a 2 4 a 2 s e n 2 n π x a d x ∫ 0 a 2 s e n m π y a d y

P = 4 a 2 ∫ 0 a 2 s e n 2 n π x a d x ∫ 0 a 2 s e n m π y a d y

Pelo formulário temos que

∫ s e n 2 a x d x = x 2 - s e n 2 a x 4 a

Substituindo isso na nossa equação teremos que

P = 4 a 2 a 2 2 - s e n 2 n π a . a 2 4 . n π a a 2 2 - s e n 2 m π a . a 2 4 . m π a

P = 4 a 2 a 2 2 - s e n n π 4 . n π a a 2 2 - s e n m π 4 . m π a

P = 4 a 2 a 2 2 a 2 2

P = 4 a 2 a 4 a 4 = 1 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No item B devemos tomar cuidado com um pequeníssimo detalhe dado no enunciado. Ele nos afirma que os números quânticos n , m são números inteiros e positivos, ou seja, não abrangem nesse caso o zero. Logo os menores estados de energias iram levar em consta os valores de

n = 1,2 …

E

m = 1,2

Como ele quer apenas os 4 pares de valores distintos que correspondem aos 3 menores níveis de energia teremos que esses pares serão

1,1

1,2

2,1

( 2,2 )

E sabemos que a energia dada nesse caso é

E n , m = ћ 2 . 4 π 2 8 m L 2 n 2 + m 2 = ћ 2 . π 2 2 m L 2 n 2 + m 2

Substituindo os valores dos pares dos menores níveis de energia teremos os seguintes estados de energia associado

E 1,1 = ћ 2 . π 2 2 m a 2 1 2 + 1 2 = ћ 2 . π m a 2

E 1,2 = E 2,1 = ћ 2 . π 2 2 m a 2 1 2 + 2 2 = 5 ћ 2 . π 2 m a 2

E 2,2 = ћ 2 . π 2 2 m a 2 2 2 + 2 2 = 4 ћ 2 . π m a 2

Passo 3

Agora para o item C basta pensar no seguinte, como os elétrons são férmions, sabemos que só podem haver 2 deles, basta lembrar que temos apenas dois spins possíveis para o elétron, que são dados pelos valores - 1 2   e   + 1 2 . como só temos duas posições possíveis para o elétron e nesse caso possuímos 4 estados, para preenchermos totalmente os níveis são necessários então 8 elétrons. Pela figura abaixo fica mais fácil compreender como funciona isso.

Vale lembrar também que como já calculamos no item anterior os estados (1,2) e (2,1) possuem a mesma energia.

Seguindo o passo a passo teremos o seguinte.

Para o estado (1,1)

Para o estado (1,2) e (2,1)

para o estado (2,2)

Resposta

a) P = 4 a 2 a 4 a 4 = 1 4

b) 1,1 , 1,2 , 2,1 , ( 2,2 )

c) 8   e l é t r o n s

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