Exercícios Resolvidos de Superfície Regular e Orientável

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 254-6. Modificada

Considere a superfície parametrizada por

φ r , θ = r c o s θ ,   r   s e n θ ,   θ ,   0 r 1     e   0 θ 4 π

  1. Encontre uma expressão para um vetor normal à superfície
  2. Esta superfície é regular?

Passo 1

a) O vetor normal a uma superfície parametrizada por φ ( r , θ ) é dado por:

N = φ r × φ θ

N = ( cos θ , sen θ ,   0 ) × ( - r sen θ ,   r cos θ ,   1 )

Resolvendo o produto vetorial,

N = i j k cos θ sen θ 0 - r sen θ r cos θ 1

N = ( s e n   θ , - cos θ ,   r )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Uma superfície é regular se N for diferente de zero para os valores do domínio da superfície. Como:

0 r 1    

0 θ 4 π

Não tem N = 0 , pois não existe valor de θ tal que s e n θ = 0 e c o s θ = 0 ao mesmo tempo. Então, a superfície é regular!

Resposta

(a) N = ( s e n θ , -   c o s θ ,   r )

(b) A superfície é regular

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