Superfície Regular e Orientável

Teoria Completa

E aí, galera! Vamos continuar aprofundando nosso conhecimento sobre superfícies, e neste tipo vamos aprender mais alguns conceitos novos!

Mas antes vamos fazer uma revisãozinha sobre vetor normal.

Vetor normal

Bem galera já falamos sobre como obter o vetor normal a superfície lembra? Se não lembra, não tem problema eu te falo de novo. Se a gente tem uma superfície parametrizada com φ ( u , v ) , calculamos o vetor normal fazendo isso aqui:

N → = ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v  

Se quisermos então o vetor normal de φ = ( 3 x , 2 y , x + 4 y )

Ficamos com N → = 3,0 , 1 × 0,2 , 4

N → = i j k 3 0 1 0 2 4 = - 2 , - 12 , + 6

Lembra sempre daquele macetinho: se tivermos uma parametrização explícita, aquela em que fazíamos

φ x , y = ( x , y , f x , y )

A fórmula do vetor normal já está pronta, basta escrever

N → = - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1

Agora que já relembramos como calcular o vetor normal, vamos das aplicações!

Superfícies Regulares

A primeira aplicação do vetor normal que vamos aprender agora é saber se uma superfície é regular ou não! Mas o que é uma superfície regular? Então, a gente diz que uma superfície é regular quando todos os vetores normais a ela são diferentes de zero.

E como a gente descobre se uma superfície é regular? Opa, vamos aprender com o exemplo logo abaixo!

Exemplo: A superfície z = x 2 + y 2   é regular em todos os pontos?

O que a gente quer saber aqui então é se todos os vetores normais são diferentes de zero. Então para responder isso, vamos de um passo a passo.

Passo 1: Parametrizar a superfície

A superfície dada foi z = x 2 + y 2   .

Vamos utilizar as coordenadas cilíndricas aqui, x = r cos ⁡ θ , y = r   s e n   θ , z = r , o que nos dá:

φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r sen ⁡ θ ,   r

r > 0 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2: Calcular ∂ φ ∂ r e ∂ φ ∂ θ

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ ,   sen ⁡ θ ,   1

∂ φ ∂ θ = - r sen ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ ,   0

Passo 3: Calcular N →

N → = ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ

N → = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ ,   1 × - r sen ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ ,   0

N → = - r cos ⁡ θ ,   - r sen ⁡ θ ,   r

Passo 4: Ver se N → ≠ 0

Então galera, para o vetor nunca ser zero, ele nunca poderá zerar as três entradas. Como assim? Ele nunca poderá dar 0,0 , 0 .

Repara que r é uma variável que se repete nas três entradas, ou seja, o vetor será nulo quando

r = 0

Portanto, essa superfície não é regular quando r = 0 . Vamos dar uma olhada no gráfico dessa superfície para ficar mais claro,

Repara que a superfície tem um “bico” na origem. Sempre que isso acontecer a superfície não será regular naquele ponto!

Generalizando, podemos dizer que uma superfície parametrizada é regular em um ponto φ ( u o ,   v 0 ) se

N → u 0 , v 0 ≠ 0

Podemos dizer também que a superfície não apresenta “bicos”, ou seja, é chamada lisa.

Superfície Orientável

Vamos ver mais uma propriedade da superfície que pode ser definida pelos vetores normais!

Dizemos que uma superfície parametrizada S é orientável quando é possível fixar um campo de vetores normais não nulos e contínuos.

Na prática, se a figura pode voltar ao estado original invertido, a superfície diz-se não orientável; se não, a superfície diz-se orientável. Para ficar mais claro, da uma olhada na figura abaixo,

A bolinha verde representa um ponto da superfície e inicialmente ela tem seu vetor normal apontado para fora (em azul). Agora vamos andar com essa bolinha sobre a superfície seguindo o fluxo das setinhas pretas. Repara que quando chegamos ao mesmo ponto a bolinha verde estará do outro lado da superfície e seu vetor normal estará apontado para dentro (em vermelho). Ou seja, o seu estado original foi invertido.

Em resumo, se o vetor normal da superfície regular for uma função vetorial contínua então a superfície é orientável! Esse conceito é importante para usar alguns teoremas que iremos aprender!

Orientação relativa entre superfícies e curvas.

Um conceito importante em orientação é a orientação relativa entre superfícies abertas e suas borda.

Seja S   uma superfície orientável, dizemos que o bordo, sua curva de fronteira, C , está orientado positivamente se a superfície está à esquerda de uma pessoa que anda pelo bordo!

Ficou difícil de entender assim, então vamos dar uma olhada na figura e ler novamente!

Se a superfície estiver à direita da pessoa, então dizemos que C é orientado negativamente!

Se você conhece a Regra da Mão Direita, muito utilizada na Física, pode usá-la aqui! O conceito é o mesmo: quando seu polegar direito apontar no sentido da curva C , seus outros dedos, que vão “furar” a superfície S devem estar no sentido de n → . Dessa forma, a curva estará orientada positivamente.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 254-6. Modificada

Considere a superfície parametrizada por

φ r , θ = r c o s θ ,   r   s e n θ ,   θ ,   0 ≤ r ≤ 1     e   0 ≤ θ ≤ 4 π

  1. Encontre uma expressão para um vetor normal à superfície
  2. Esta superfície é regular?
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Passo 1

a) O vetor normal a uma superfície parametrizada por φ ( r , θ ) é dado por:

N → = ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ

N → = ( cos ⁡ θ , sen ⁡ θ ,   0 ) × ( - r sen ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ ,   1 )

Resolvendo o produto vetorial,

N → = i j k cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 1

N → = ( s e n   θ , - cos ⁡ θ ,   r )

Passo 2

b) Uma superfície é regular se N → for diferente de zero para os valores do domínio da superfície. Como:

0 ≤ r ≤ 1    

0 ≤ θ ≤ 4 π

Não tem N → = 0 , pois não existe valor de θ tal que s e n θ = 0 e c o s θ = 0 ao mesmo tempo. Então, a superfície é regular!

Resposta

(a) N → = ( s e n θ , -   c o s θ ,   r )

(b) A superfície é regular

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 253-2 – Modificado
  1. Encontre uma parametrização para a superfície obtida girando-se o círculo x - 2 2 + z 2 = 1 , em torno do eixo z . Esta superfície é chamada toro.
  2. Encontre um vetor normal a esta superfície
  3. Esta superfície é regular?
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Passo 1

a) Já sabemos que, quando aparecer essa história de rodar uma função em torno de algum eixo, estamos tratando de superfície de revolução né? Essa está rodando em torno do eixo z , portanto vamos colocar aquele fator de giro nos eixos x e y .

O gráfico da nossa superfície de rotação é esse aqui:

Passo 2

Para conseguir parametrizar a superfície, precisamos antes obter nosso x ( t ) e z ( t ) certo? Vamos ver a nossa equação da circunferência inicial:

x - 2 2 + z 2 = 1

Pela relação fundamental trigonométrica

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Temos que

x - 2 = cos ⁡ t

x ( t ) = 2 + cos ⁡ t

z 2 = sen 2 ⁡ t

z t = sen ⁡ t

Como é o círculo inteiro que está rodando, temos que

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Agora só falta substituir tudo na fórmula! Como rodamos no eixo z , o fator de giro entra nos eixos x e y , e a nossa parametrização fica assim:

φ t , θ = ( 2 + cos ⁡ t cos ⁡ θ , 2 + cos ⁡ t sen ⁡ θ , sen ⁡ t )

0 ≤ t ≤ 2 π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

b) O vetor normal a uma superfície parametrizada por φ ( θ , t ) é dado por:

N → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ t

∂ φ ∂ θ = ( - 2 + cos ⁡ t sen ⁡ θ , 2 + cos ⁡ t cos ⁡ θ , 0 )

∂ φ ∂ t = - sen ⁡ t cos ⁡ θ , - sen ⁡ t sen ⁡ θ , cos ⁡ t