Exercícios Resolvidos de Superfície Regular e Orientável

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 253-2 – Modificado

  1. Encontre uma parametrização para a superfície obtida girando-se o círculo x - 2 2 + z 2 = 1 , em torno do eixo z . Esta superfície é chamada toro.
  2. Encontre um vetor normal a esta superfície
  3. Esta superfície é regular?

Passo 1

a) Já sabemos que, quando aparecer essa história de rodar uma função em torno de algum eixo, estamos tratando de superfície de revolução né? Essa está rodando em torno do eixo z , portanto vamos colocar aquele fator de giro nos eixos x e y .

O gráfico da nossa superfície de rotação é esse aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para conseguir parametrizar a superfície, precisamos antes obter nosso x ( t ) e z ( t ) certo? Vamos ver a nossa equação da circunferência inicial:

x - 2 2 + z 2 = 1

Pela relação fundamental trigonométrica

cos 2 t + sen 2 t = 1

Temos que

x - 2 = cos t

x ( t ) = 2 + cos t

z 2 = sen 2 t

z t = sen t

Como é o círculo inteiro que está rodando, temos que

0 t 2 π

Passo 3

Agora só falta substituir tudo na fórmula! Como rodamos no eixo z , o fator de giro entra nos eixos x e y , e a nossa parametrização fica assim:

φ t , θ = ( 2 + cos t cos θ , 2 + cos t sen θ , sen t )

0 t 2 π

0 θ 2 π

Passo 4

b) O vetor normal a uma superfície parametrizada por φ ( θ , t ) é dado por:

N = φ θ × φ t

φ θ = ( - 2 + cos t sen θ , 2 + cos t cos θ , 0 )

φ t = - sen t cos θ , - sen t sen θ , cos t

Resolvendo o produto vetorial,

N = i j k - 2 + cos t sen θ 2 + cos t cos θ 0 - sen t cos θ - sen t sen θ cos t

= 2 + cos t cos t cos θ i + 2 + cos t cos t sen θ j + 2 + cos t sen t k

N = 2 + cos t cos t cos θ , cos t sen θ , sen t

Passo 5

c) Uma superfície é regular se N for diferente de zero para os valores do domínio da superfície. Como:

0 t 2 π

0 θ 2 π

Vamos supor que N seja igual a a zero, olhando pro termo em z temos que sen t = 0 , logo cos t = ± 1 , depende de qual ângulo pegarmos, certo?

Bom, olhando pros termos em x e y :

x = cos t cos θ

y = cos t sen θ

Para que ambos sejam iguais a zero, precisaria existir um ângulo θ em que cos θ = 0 e sen θ = 0 , o que sabemos que não existe! Portanto a normal N nunca vai ser nula.

Assim, N 0 para todo o domínio, a superfície é regular!

Resposta

(a)

φ t , θ = ( 2 + cos t cos θ , 2 + cos t sen θ , sen t )

0 t 2 π

0 θ 2 π

(b) N = 2 + cos t cos t cos θ , cos t sen θ , sen t

(c) A superfície é regular

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