Exercícios Resolvidos de Superfície Regular e Orientável

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Enunciado

  1. Encontre uma parametrização para a superfície obtida girando-se o círculo x - 2 2 + z 2 = 1 , em torno do eixo z . Esta superfície é chamada toro.
  2. Encontre um vetor normal a esta superfície
  3. Esta superfície é regular?

Passo 1

a) Já sabemos que, quando aparecer essa história de rodar uma função em torno de algum eixo, estamos tratando de superfície de revolução né? Essa está rodando em torno do eixo z , portanto vamos colocar aquele fator de giro nos eixos x e y .

O gráfico da nossa superfície de rotação é esse aqui:

Passo 2

Para conseguir parametrizar a superfície, precisamos antes obter nosso x ( t ) e z ( t ) certo? Vamos ver a nossa equação da circunferência inicial:

x - 2 2 + z 2 = 1

Pela relação fundamental trigonométrica

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Temos que

x - 2 = cos ⁡ t

x ( t ) = 2 + cos ⁡ t

z 2 = sen 2 ⁡ t

z t = sen ⁡ t

Como é o círculo inteiro que está rodando, temos que

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Agora só falta substituir tudo na fórmula! Como rodamos no eixo z , o fator de giro entra nos eixos x e y , e a nossa parametrização fica assim:

φ θ , t = ( 2 + cos ⁡ t cos ⁡ θ , 2 + cos ⁡ t sen ⁡ θ , sen ⁡ t )

0 ≤ t ≤ 2 π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

b) O vetor normal a uma superfície parametrizada por φ ( θ , t ) é dado por:

N → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ t

∂ φ ∂ θ = ( - 2 + cos ⁡ t sen ⁡ θ , 2 + cos ⁡ t cos ⁡ θ , 0 )

∂ φ ∂ t = - sen ⁡ t cos ⁡ θ , - sen ⁡ t sen ⁡ θ , cos ⁡ t

Resolvendo o produto vetorial,

N → = i → j → k → - 2 + cos ⁡ t sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ t cos ⁡ θ 0 - sen ⁡ t cos ⁡ θ - sen ⁡ t sen ⁡ θ cos ⁡ t

= 2 + cos ⁡ t cos ⁡ t cos ⁡ θ i → + 2 + cos ⁡ t cos ⁡ t sen ⁡ θ j → + 2 + cos ⁡ t sen ⁡ t k →

N → = 2 + cos ⁡ t cos ⁡ t cos ⁡ θ , cos ⁡ t sen ⁡ θ , sen ⁡ t

Passo 5

c) Uma superfície é regular se N → for diferente de zero para os valores do domínio da superfície. Como:

0 ≤ t ≤ 2 π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Vamos supor que N → seja igual a a zero, olhando pro termo em z temos que sen ⁡ t = 0 , logo cos ⁡ t = ± 1 , depende de qual ângulo pegarmos, certo?

Bom, olhando pros termos em x e y :

x = cos ⁡ t cos ⁡ θ

y = cos ⁡ t sen ⁡ θ

Para que ambos sejam iguais a zero, precisaria existir um ângulo θ em que cos ⁡ θ = 0 e sen ⁡ θ = 0 , o que sabemos que não existe! Portanto a normal N → nunca vai ser nula.

Assim, N → ≠ 0 para todo o domínio, a superfície é regular!

Resposta

(a)

φ θ , t = ( 2 + cos ⁡ t cos ⁡ θ , 2 + cos ⁡ t sen ⁡ θ , sen ⁡ t )

0 ≤ t ≤ 2 π

0 ≤ θ ≤ 2 π

(b) N → = 2 + cos ⁡ t cos ⁡ t cos ⁡ θ , cos ⁡ t sen ⁡ θ , sen ⁡ t

(c) A superfície é regular

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