Regime Transiente

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Teoria

Opa! Seja bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender sobre Regime Transiente de uma vez por todas?!

Regime Permanente x Regime Transiente

No balanço de massa de processos em regime permanente e sem reação, acontece a gente corta sem dó nem piedade, os termos de geração e acúmulo. Assim:

Balanço de massa no regime permanente
Balanço de massa no regime permanente

O mesmo acontece para o balanço de energia. Mas, sinto muito te informar, mas a mamata acabou! Não podemos mais ignorar o acúmulo 🥲

Mas não se preocupa, não precisa ficar preocupado com o acúmulo! Hoje a gente vai aprender a fazer os balanços de massa e de energia no regime transiente…passo a passo, pra não ficarem dúvidas!

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Exemplo de um sistema em Regime Transiente

Vamos imaginar que queremos encher uma piscina, mas ela esta furada! Se liga no esquema abaixo:

Exemplo de um sistema em Regime Transiente
Exemplo de um sistema em Regime Transiente

A piscina recebe de calor do sol, ganha de água com entalpia específica de e perde de água com mesmo valor de entalpia. Conforme a piscina enche, seu volume aumenta e ela realiza de trabalho. Qual é a variação de massa e energia da piscina?

Esse é um enunciado típico de processos em regime transiente! Ele pede que a gente calcule a variação de massa e energia da piscina. Ou seja, ele quer saber o valor de duas diferenças:

  • A diferença entre a massa que a piscina passou a ter depois do processo transiente de enchimento e a massa que a piscina tinha.
  • A diferença entre a energia que a piscina passou a ter depois do processo e a energia que a piscina tinha.


Em outras palavras, o problema só está interessado nos estados inicial e final da piscina. Ele não nos obriga a saber o valor da massa da piscina a cada instante nem o valor da energia da piscina a cada instante!

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Conservação de Massa no Regime Transiente

Precisamos aprender a calcular as variações de energia e massa de um processo em regime transiente. Para fazer isso, a gente tem que se lembrar que a energia e a massa se conservam! Imagine a seguinte situação:

Conservação de Massa no Regime Transiente: Exemplo
Conservação de Massa no Regime Transiente: Exemplo

A variação da massa dentro do volume de controle é igual à massa que entra menos a massa que sai .

Onde:

  • é a massa do volume de controle depois dele passar por um processo em regime transiente;
  • é a massa do volume de controle antes dele passar por um processo em regime transiente;
  • é a quantidade de massa que entra no volume de controle durante o processo em regime transiente;
  • é a quantidade de massa que sai do volume de controle durante o processo em regime transiente.

Essa fórmula é a conservação de massa para processos em regime transiente! 🤩

Variação de Energia no Regime Transiente

Quando a massa sai do volume de controle ela leva junto com ela a sua entalpia, a sua energia cinética e a sua energia potencial. Ou seja:

Onde:

  • é a entalpia específica da massa que sai do volume de controle. Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o joule por quilograma ;
  • é a velocidade da massa saindo do volume de controle. Sua unidade no S.I. é o metro por segundo ;
  • é a altitude da massa, quando ela está entrando está saindo do volume de controle. Sua unidade no S.I. é o metro (m).

Agora, quando a massa entra no volume de controle ela traz junto com ela a sua própria entalpia, a sua energia cinética e a sua energia potencial. Com isso temos:

Onde:

  • é a entalpia específica da massa que entra do volume de controle;
  • é a velocidade da massa saindo do volume de controle;
  • é a altitude da massa na entrada.

Primeira Lei da Termodinâmica no Regime Transiente

A gente também pode calcular a variação de energia nos pontos 1 e 2 diminuindo de , no entanto, os exercícios raramente informam esses valores diretamente. Para isso temos que lembrar que o volume de controle pode armazenar energia de três formas mostradas pela figura abaixo.

Energia no volume de controle
Energia no volume de controle

A Energia nos pontos 1 e 2 pode ser calculada por:

Substituindo essas duas fórmulas na fórmula de variação de energia, encontramos a forma completa da primeira lei para processos em regime transiente.

Primeira Lei da Termodinâmica para o regime transiente
Primeira Lei da Termodinâmica para o regime transiente

Considerando a variação de energia potencial e cinética igual a zero, a primeira lei da

Agora vamos praticar com exercícios?

Conservação de Massa no Regime Transiente

Variação de Energia no Regime Transiente

Primeira Lei da Termodinâmica no Regime Transiente

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um conjunto cilindro-pistão termicamente isolado está inicialmente evacuado e começa a ser preenchido com ar a 300   K . Quando o ar contido no conjunto atinge 250   K de temperatura, o abastecimento de ar é interrompido. Neste instante, o cilindro-pistão possui 1   k g de ar. Determine o trabalho realizado pelo ar ao empurrar o pistão.

Passo 1

Galera, esse exercício de regime transiente falou falou, mas quais dados ele nos deu?

Resumindo tudo, o enunciado disse que ar a T e = 300   K entra em um conjunto cilindro pistão inicialmente sem ar (massa de ar m 1 = 0   k g ) até o conjunto ficar com uma massa de ar m 2 = 1   k g a temperatura T 2 = 250   K . Nesse enchimento, o ar realiza um trabalho W no pistão que o enunciado pediu para a gente achar. A figura abaixo ilustra esses dados.

O calor Q trocado entre o ar e o ambiente vale zero, porque o conjunto cilindro-pistão está isolado termicamente.

Para achar o valor do trabalho W realizado pelo ar sobre o pistão, temos que aplicar a lei de conservação de energia no conjunto.

m 2 u 2 - m 1 u 1 = Q - W + m e h e

Substituindo Q = 0 e m 1 = 0 nessa equação, achamos uma fórmula pra W .

m 2 u 2 - 0 × u 1 = 0 - W + m e h e

W = - m 2 u 2 + m e h e

Ou seja, temos que achar u 2 , h e e m e pra calcular W ! Acharemos as três na próxima etapa!

Passo 2

Achamos u 2 e h e , usando a fórmula de energia interna u e entalpia h de gases perfeitos com calores específicos constantes. Essas fórmulas são mostradas abaixo.

u 2 = c v 0 T 2

h e = c p 0 T e

onde c p 0 é o calor específico a pressão constante do ar que vale 1,0035   k J / k g K e c v 0 é o calor específico a volume constante do ar que vale 0,7165   k J / k g K .

Substituindo os valores, encontramos:

u 2 = 0,7165 × 250

u 2 = 179,125   k J k g

h e = 1,0035 × 300

h e = 301,05   k J k g

A quantidade de massa m e que o conjunto recebe de ar é igual à massa m 2 de ar que o cilindro-pistão passou a ter depois do abastecimento menos a quantidade de ar que o conjunto tinha antes. Logo:

m e = m 2 - m 1

m e = 1 - 0

m e = 1   k g

Substituindo os valores na fórmula de W :

W = - m 2 u 2 + m e h e

W = - 1 × 179,125 + 1 × 301,05

W = 121,925   k J

Boaaaaaa! Achamos o trabalho realizado pelo ar! Pode soltar os fogos e comemorar!

Resposta

W = 121,925   k J

Exercício Resolvido #2

Um conjunto cilindro-pistão termicamente isolado está inicialmente evacuado e começa a ser preenchido com ar a 300   K . Quando o ar contido no conjunto atinge 250   K de temperatura, o abastecimento de ar é interrompido. Neste instante, o ar do cilindro-pistão ocupa um volume igual a 1   m 3 e possui uma pressão de 500   k P a . Determine o trabalho realizado pelo ar ao empurrar o pistão.

Passo 1

Galera, pra entender o enunciado, vamos resumir tudo! Ar a T e = 300   K entra em um conjunto cilindro pistão inicialmente sem ar (massa inicial m 1 = 0   k g ) até o conjunto ficar com ar a P 2 = 500   k P a , T 2 = 250   K e ocupar um volume V 2 = 1   m 3 . Nesse enchimento, o ar realiza um trabalho W que precisamos calcular. A figura abaixo ilustra esses dados.

O calor Q trocado entre o ar e o ambiente vale zero, porque o conjunto cilindro-pistão está isolado termicamente.

Para achar o valor do trabalho W realizado pelo ar sobre o pistão, temos que aplicar a lei de conservação de energia no conjunto.

m 2 u 2 - m 1 u 1 = Q - W + m e h e

Substituindo Q = 0 e m 1 = 0 nessa equação, achamos uma fórmula pra W .

m 2 u 2 - 0 × u 1 = 0 - W + m e h e

W = - m 2 u 2 + m e h e

Ou seja, temos que achar u 2 , h e , m 2 e m e pra calcular W ! Acharemos u 2 e h e na próxima etapa!

Passo 2

Achamos u 2 e h e , usando a fórmula de energia interna u e entalpia h de gases perfeitos com calores específicos constantes. Essas fórmulas são mostradas abaixo.

u 2 = c v 0 T 2

h e = c p 0 T e

onde c p 0 é o calor específico a pressão constante do ar que vale 1,0035   k J / k g K e c v 0 é o calor específico a volume constante do ar que vale 0,7165   k J / k g K .

Substituindo os valores, encontramos:

u 2 = 0,7165 × 250

u 2 = 179,125   k J k g

h e = 1,0035 × 300

h e = 301,05   k J k g

Agora só falta achar m 2 e m e pra calcular W . Então partiu fazer isso no passo seguinte!

Passo 3

Nós podemos calcular a massa m 2 de ar que o cilindro-pistão passa a ter depois de ser abastecido, usando a equação de gases perfeitos no estado 2 do ar.

P 2 V 2 = m 2 R T 2

m 2 = P 2 V 2 R T 2

onde R é a constante de gás do ar que vale 0,2870   k J / k g K .

Substituindo os valores na fórmula de m 2 , achamos:

m 2 = 500 × 1 0,2870 × 250

m 2 = 6,969   k g

A quantidade de massa m e que o conjunto recebe de ar é igual à massa m 2 de ar que o cilindro-pistão passou a ter depois do abastecimento menos a quantidade de ar que o conjunto tinha antes. Logo:

m e = m 2 - m 1

m e = 6,969 - 0

m e = 6,969   k g

Substituindo os valores na fórmula de W :

W = - m 2 u 2 + m e h e

W = - 6,969 × 179,125 + 6,969 × 301,05

W = 849,7   k J

Shoooooow! Calculamos o trabalho realizado pelo ar! Pode comemorar!

Resposta

W = 849,7   k J

Exercício Resolvido #3

A Fig. P6.119 mostra o esquema de uma turbina que é alimentada com N 2 a 0,5   M P a e 300   K . A descarga da turbina está ligada a um tanque com volume de 50   m 3 , e que inicialmente está evacuado. A operação da turbina termina quando a pressão no tanque atinge 0,5   M P a . Nesta condição, a temperatura do N 2 no tanque é de 250   K . Admitindo que todos os processos são adiabáticos, determine o trabalho realizado pela turbina num processo de enchimento do tanque.

Passo 1

Pessoal, tudo joinha? Vamos resumir esse enunciado e entender o que ele nos deu de dado? Resumindo tudo, o enunciado disse que N 2 a T e = 300   K e pressão P e = 0,5   M P a passa pela turbina, gerando um trabalho W T desconhecido, e enche um tanque inicialmente sem N 2 (massa inicial m 1 = 0   k g ). O tanque para de encher, quando o N 2 alcança o estado 2 abaixo.

O calor Q trocado entre o N 2 e o ambiente vale zero, porque o enunciado diz que todos os processos são adiabáticos.

Para achar o valor do trabalho que foi pedido W T , temos que aplicar a lei de conservação de energia no conjunto formado pela turbina e pelo tanque.

m 2 u 2 - m 1 u 1 = Q - W T + m e h e

Substituindo Q = 0 e m 1 = 0 nessa equação, achamos uma fórmula pra W T .

m 2 u 2 - 0 × u 1 = 0 - W T + m e h e

W T = - m 2 u 2 + m e h e

Ou seja, temos que achar u 2 , h e , m 2 e m e pra calcular W T ! Acharemos u 2 e h e na próxima etapa!

Passo 2

Achamos u 2 e h e , usando a fórmula de energia interna u e entalpia h de gases perfeitos com calores específicos constantes. Essas fórmulas são mostradas abaixo.

u 2 = c v 0 T 2

h e = c p 0 T e

onde c p 0 é o calor específico a pressão constante do N 2 que vale 1,0416   k J / k g K e c v 0 é o calor específico a volume constante do N 2 que vale 0,7448   k J / k g K .

Substituindo os valores, encontramos:

u 2 = 0,7448 × 250

u 2 = 186 , 2   k J k g

h e = 1,0416 × 300

h e = 312 , 48   k J k g

Agora só falta achar m 2 e m e pra calcular W T . Então partiu fazer isso no passo seguinte!

Passo 3

Nós podemos calcular a massa m 2 de N 2 que o tanque passa a ter depois de ser abastecido, usando a equação de gases perfeitos no estado 2 de N 2 .

P 2 V 2 = m 2 R T 2

m 2 = P 2 V 2 R T 2

onde R é a constante de gás do N 2 que vale 0,29680   k J / k g K .

Substituindo os valores na fórmula de m 2 , achamos:

m 2 = 500 × 50 0,29680 × 250

m 2 = 336 , 9   k g

A quantidade de massa m e que o tanque recebe de N 2 é igual à massa m 2 de N 2 que o tanque passou a ter depois do abastecimento menos a quantidade de N 2 que o tanque tinha antes. Logo:

m e = m 2 - m 1

m e = 336 , 9 - 0

m e = 336 , 9   k g

Substituindo os valores na fórmula de W :

W = - m 2 u 2 + m e h e

W = - 336 , 9 × 186 , 2 + 336 , 9 × 312 , 48

W = 42544   k J

Aaaaaaaaa, garot@! Conseguimos! Achamos o trabalho realizado pelo N 2 !

Resposta

W = 42544   k J

Exercício Resolvido #4

Um tanque rígido e com volume de 100   l i t r o s contém, inicialmente, C O 2 a 1   M P a e 300   K . Uma válvula é aberta, lentamente, e o gás escapa vagarosamente do tanque até que a pressão atinja 500   k P a . Neste instante a válvula é fechada. Admitindo, para o gás que permanece no tanque, que o processo de esvaziamento pode ser modelado como uma expansão politrópica com expoente igual a 1,15 , determine a massa final de C O 2 no tanque e o calor transferido no processo.

Passo 1

Como vão, chuchus? Tudo bem? Bora fazer um exercício de processo em regime transiente?

O exercício quer saber quanto vale o calor Q que o C O 2 do tanque troca com o ambiente durante o processo de esvaziamento do tanque.

A figura abaixo mostra alguns dados que temos pra calcular Q .

Através da figura, vemos que o C O 2 do tanque estava no estado 1 e passa para o estado 2 depois de ser esvaziado de C O 2 . T s e h s são a temperatura e a entalpia do C O 2 que está escapando do tanque rígido. Para achar o valor do calor trocado Q , temos que aplicar a lei de conservação de energia no tanque.

m 2 u 2 - m 1 u 1 = Q - W - m s h s

Como o tanque é rígido, o C O 2 não muda seu volume. Logo, o C O 2 não realiza trabalho W de movimento de fronteira. Em outras palavras, W vale zero.

Subsituindo esse dado e reorganizando a equação, achamos uma fórmula pra Q .

Q = m 2 u 2 - m 1 u 1 + m s h s

Pra achar Q , temos que achar m 1 , u 1 , m 2 , u 2 , m s e h s . Vamos começar a fazer as contas, encontrando u 1 e m 1 no próximo passo.

Passo 2

Para encontrar u 1 , temos que usar a equação de energia interna para gases perfeitos com calor específico constante.

u 1 = c v 0 T 1

c v 0 é o calor específico a volume constante de C O 2 que vale 0,6529   k J / k g .

u 1 = 0,6529 × 300

u 1 = 195,87   k J k g

Achamos o valor da massa m 1 de C O 2 , usando a equação de gases perfeitos abaixo.

P 1 V 1 = m 1 R T 1

m 1 = P 1 V 1 R T 1

onde R é a constante de gás do C O 2 que vale 0,18892   k J / k g K .

Para usar essa equação, temos que converter P 1 de M P a pra k P a , multiplicando por 1000 . Além disso, temos que converter V 1 de litro pra m 3 , dividindo por 1000 .

m 1 = 1000 × 0,1 0,18892 × 300

m 1 = 1,7644   k g

Pronto, concluímos a primeira etapa pra achar Q ! No próximo passo vamos achar u 2 e m 2 !

Passo 3

Para encontrar u 2 , usamos novamente equação de energia interna para gases perfeitos com calor específico constante.

u 2 = c v 0 T 2

O problema é que ainda não conhecemos T 2 ! Pra achar essa temperatura T 2 , temos que usar a informação que o enunciado nos deu de que o esvaziamento é como se fosse um processo politrópico de expansão com expoente n = 1,15 . Isso quer dizer que:

P 1 v 1 n = P 2 v 2 n

1 = P 2 P 1 v 2 v 1 n

onde v 1 é o volume específico do C O 2 antes do esvaziamento do tanque e v 2 é o volume específico do C O 2 depois do esvaziamento do tanque. Usando a equação pevetê povotó, somos capazes de substituir v 2 v 1 e achar uma fórmula pra T 2 !

P 1 v 1 T 1 =   P 2 v 2 T 2

v 2 v 1 = P 1 T 2 P 2 T 1

Substituindo isso na fórmula anterior:

1 = P 2 P 1 P 1 T 2 P 2 T 1 n

Reorganizando essa equação:

T 2 = T 1 P 2 P 1 n - 1 n

Substituindo os valores:

T 2 = 300 × 500 1000 1,15 - 1 1,15

T 2 = 274,07   K

Agora sim podemos usar a fórmula de u 2 !

u 2 = c v 0 T 2