Balanço Integral de Massa

Teoria Completa

Imagina que aconteceu um derramamento de petróleo em uma região, e o solo ficou poluído com benzeno. Tratar esse benzeno todo demandaria uma quantidade enorme de tempo e de produtos que fossem usados pra remediar a contaminação. Uma maneira de diminuir a concentração de benzeno do solo, é injetar uma vazão de ar, que vai arrastar esse benzeno pra fora da região afetada:

Pra essa situação, não faz diferença o quando de benzeno tem em cada regiãozinha do solo. Você quer tirar o máximo de benzeno dali e pronto. Nesse caso a gente usa a ferramenta do balanço integral de massa, que é associado ao volume completo que queremos tratar.

E de onde vem esse balanço? O balanço vem lá do princípio de conservação de massas, que diz “Nada se perde, nada se cria, tudo se transforma”. Em termos práticos, se não tiver reação química acontecendo basicamente quer dizer que tudo que entra é igual à tudo que sai.

∑ m ˙ e n t r a = ∑ m ˙ s a i    

Como chegar no balanço?

O balanço integral vem lá dos Teorema de Transporte de Reynolds que a gente viu em Mecflu. Eles são baseados na conservação de massa, momento e energia. Os dois primeiros vão nos ajudar a entender o que que acontece com o transporte de massa dentro de um volume de controle, ok? Chegar neles é meio trabalhoso, mas vamos dar uma olhadinha na cara de cada um:

  • Equação da Conservação de Massa
  • d d t ∫ V c ( t ) ρ   d V + ∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S = 0

    Basicamente o que está sendo dito aqui é que o que está variando da massa do sitema de volume V c é a diferença do que está entrando e o que está saindo através dessa superfície S c , beleza? Esse ( v - v ∞ ) é a velocidade relativa da espécie ( v ) e do fluido ( v ∞ )!

  • Equação de Conservação de Quantidade de Movimento
  • d d t ∫ V c ( t ) ρ v   d V + ∫ S c ( t ) ρ v v - v ∞ ∙ n ^   d S =   ∫ S c ( t ) τ ∙ n ^   d S + ∫ V c ( t ) ρ f m   d V

    Em que τ são as forças de superfície, como compressão ou atrito do fluido na parede. E f m são as forças volumétricas, como a ação da gravidade no fluido.

    Termo de reação

    Como a gente falou lá em cima, o balanço integral relaciona a massa que entra com a massa que sai em um determindo sistema. Mas, diferente do balanço de energia de Transcal, quando falamos de massa temos um termo a mais que tem que entrar nas nossas contas: o termo de reação química.

    As reações químicas afetam diretamente a quantidade de matéria de uma determinada espécie dentro de onde a gente está trabalhando, fazendo ou com que ela se acumule no sistema (se for produto) ou que ela desapareça mais rapidamente (se for reagente). Esse termo é representado por essa relação:

    d d t ∫ V c t ρ A   d V = ∫ V c ( t ) r ˙ A   d V

    Onde o termo da direita representa o acúmulo ou consumo de uma determinada espécie o da direita também, mas especificamente da expressão cinética das reações.

    R e l e m b r a n d o   u m   p o u q u i n h o   d e   c i n é t i c a   d e   r e a ç õ e s :

    a A + b B   ⇌ c C + d D

    Para uma reação de primeira ordem:

    r A = k C A

    Mas não se preocupa, porque como não estamos estudando cinética, esse termo geralmente é dado, ou a gente tem informações suficiente para encontrar ele, beleza?

    Formulação Integral do Balanço de Massa

    Finalmente, aplicando os teoremas de transporte e esse termo ai de reação naquele balanço de que tudo que entra é igual ao o que sai a gente tem essa expressão aqui:

    d d t ∫ V c A ( t ) ρ A d V + ∫ S c A ( t ) ρ A v - v c ∙ n ^   d S = - ∫ S c A t ρ A v A - v ∙ n ^   d S A + ∫ V c A ( t ) r A ˙   d V

    Calma, calma, vou explicar o que que é cada coisa:

  • d d t ∫ V c A ( t ) ρ A d V Acúmulo de massa da espécie A
  • ∫ S c A ( t ) ρ A v - v c ∙ n ^   d S Taxa convectiva global de massa que atravessa a superfície de controle S c . Está relacionada à velocidade do volume de controle v c .
  • ∫ S c A t ρ A v A - v ∙ n ^   d S A Taxa de massa da espécie A pelo mecanismo difusivo que atravessa S c .
  • ∫ V c A ( t ) r A ˙   d V Taxa de formação (com sinal positivo) ou consumo (com sinal negativo) da espécie A.

É meio grande, é, mas a gente vai poder fazer algumas simplificações quando formos resolver. Vamos voltar naquele exemplo lá do solo poluído com benzeno. Queremos calcular como que a concentração de Benzeno varia com o tempo ρ B t = ?

A gente já definiu a nossa geometria, que é essa meia lua ai de solo que queremos tratar. Esse então vai ser o nosso volume de controle V c e ele vai ser constante.

Vamos então equacionar:

d d t ∫ V c B ( t ) ρ B d V + ∫ S c B ( t ) ρ B v - v c ∙ n ^   d S = - ∫ S c B t ρ B v B - v ∙ n ^   d S + ∫ V c B ( t ) r B ˙   d V

Agora vamos simplificar:A nossa superfície de controle seria toda essa região pontilhada.

Lá do cálculo a gente aprende que:

∫ S t o t f x   d x =   ∫ S 1 f x d x + ∫ S 2 f x d x + … + ∫ S N f x d x

Então, a gente pode dividir nossa S c em: S p , que seria a superfície da parede interna, S e , que seria essa superfície da região de entrada e S s , que seria a região da saída. Masss como a gente só tem massa atravessando aquele tubinho de entrada e o tubinho de saída, a gente pode então usar só as integrai em relação a S e e S s !

No nosso problema não temos reação química, já que o ar vai apenas arrastar o benzeno pra fora.

O nosso volume de controle não está em movimento, logo v c = 0 !

E podemos considerar também que na entrada e na saída, o ar e o benzeno vão estar bem misturados, logo eles vão ter a mesma velocidade: v B - v = 0 !

Além disso, vamos considerar as propriedades constantes em todas as partes do nosso sitema, ou seja, a concentração é a mesma em todos os pontos do nosso volume de controle, ela está só variando com o tempo.

Agora com todas essas simplificações, nosso balanço fica assim:

d d t ∫ V c B ( t ) ρ B d V + ∫ S c B ( t ) ρ B v ∙ n ^   d S = 0

Pronto, agora vamos analisar termo a termo o que temos aqui:

d d t ∫ V c B ( t ) ρ B d V = V d ρ B d t Por essa última consideração ai que a gente fez, beleza?

O segundo termpo então tem essa cara:

∫ S c B ( t ) ρ B v ∙ n ^   d S = ∫ S e ρ B v ∙ n ^   d S + ∫ S s ρ B v ∙ n ^   d S = - ρ B e Q + ρ B t Q

Em que Q é a taxa volumétrica ou a vazão de alimentação de fluido.

Como sabemos que não entra benzeno no volume de controle: ρ B e = 0

Então,

∫ S c B ( t ) ρ B v ∙ n ^   d S = ρ B t Q

Voltando o que a gente fez pro nosso balanço:

V d ρ B d t = - ρ B t Q

Reorganizando os termos:

d ρ B d t + Q V ρ B = 0

Isso ai tem cara de EDO! E a solução dela é essa aqui::

ρ B t = ρ B 0 e - Q t V

Onde ρ B 0 é a concentração inicial de benzeno.

Parece trabalhoso, mas quando você menos esperar já vai estar pegando o jeito! Por isso fiz um passo a passo pra te ajudar a se guiar nesse tipo de questão...

Passo a Passo

  1. Definir a geometria do problema: Volume de Controle e Superfície de Controle
  2. Anotar os dados do problema
  3. Fazer simplificações baseadas nas considerações que o problema te der
  4. Analisar a expressão termo a termo, usando essas simplificações
  5. Juntar tudo e resolver!

Agora é só praticar que você vira expert! :D

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Enuncie a equação da Conservação de Massa e explique o que cada termo representa.

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Passo 1

A equação da Conservação de Massa tem essa cara aqui:

d d t ∫ V c ( t ) ρ   d V + ∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S = 0

d d t ∫ V c ( t ) ρ   d V é o termo que descreve a variação de massa dentro do volume de controle.

∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S é o termo que descreve o que está entrando no volume de controle através da velocidade da espécie v menos o que está saindo do volume de controle através da velocidade do fluido v ∞ .

Sendo assim, a variação do volume é igual ao que entra menos o que sai!

Resposta

d d t ∫ V c ( t ) ρ   d V - descreve a variação de massa dentro do volume de controle.

∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S - descreve o que está entrando no volume de controle através da velocidade da espécie v menos o que está saindo do volume de controle através da velocidade do fluido v ∞ .

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Enuncie a equação da Conservação de Quantidade de Movimento e explique o que cada termo representa.

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Passo 1

A equação da Conservação de Quantidade de Movimento tem essa cara aqui:

d d t ∫ V c ( t ) ρ v   d V + ∫ S c ( t ) ρ v v - v ∞ ∙ n ^   d S =   ∫ S c ( t ) τ ∙ n ^   d S + ∫ V c ( t ) ρ f m   d V

d d t ∫ V c ( t ) ρ v   d V é o termo que descreve a variação de momento linear a dentro do volume de controle.

∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S é o termo que descreve o que está o aumento do momento através da espécie que entra na superfície com velocidade v menos o momento que está sendo perdido através das espécies que saem com a velocidade do fluido v ∞ .

∫ S c ( t ) τ ∙ n ^   d S é o termo que descreve as forças de superfície, como as forças de atrito com a parede, que são perdidas através do movimento do fluido.

∫ V c ( t ) ρ f m   d V é o termo que descreve as forças volumétricas, como a gravidade, que pode gerar o acúmulo de uma espécie específica em uma região do volume de controle.

Sendo assim, a variação da quantidade de movimento é igual à soma de todos os fatores que podem estar associados a perda de massa ou velocidade do volume de controle.

Resposta

d d t ∫ V c ( t ) ρ v   d V - descreve a variação de momento linear a dentro do volume de controle.

∫ S c ( t ) ρ v - v ∞ ∙ n ^ d S - descreve o que está o aumento do momento através da espécie que entra na superfície com velocidade v menos o momento que está sendo perdido através das espécies que saem com a velocidade do fluido v ∞ .

∫ S c ( t ) τ ∙ n ^   d S - descreve as forças de superfície, como as forças de atrito com a parede, que são perdidas através do movimento do fluido.

∫ V c ( t ) ρ f m   d V - descreve as forças volumétricas, como a gravidade, que pode gerar o acúmulo de uma espécie específica em uma região do volume de controle.

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Enuncie a equação do Balanço Integral de Massa e explique o que cada termo representa.

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Passo 1

O balanço integral de massa tem essa cara aqui:

d d t ∫ V c A ( t ) ρ A d V + ∫ S c A ( t ) ρ A v - v c ∙ n ^   d S = - ∫ S c A t ρ A v A - v ∙ n ^   d S + ∫ V c A ( t ) r A ˙   d V

d d t ∫ V c ( t ) ρ   d V é o termo que descreve a variação de massa a dentro do volume de controle.

∫ S c ( t ) ρ v - v c ∙ n ^ d S é o termo que descreve a massa que está entrando no volume de controle através da velocidade da espécie v menos o que está saindo do volume de controle através da velocidade do fluido v ∞ .

∫ S c A t ρ A v A - v ∙ n ^   d S é o termo que descreve a taxa de espécie A que atravessa a superfície de controle S C A