Exercícios Resolvidos de Teste de Hipótese para Média Amostral com σ Desconhecido

P2- 2012.1 – UFRJ Teste de Hipóteses

Um fabricante de cabos afirma que: “o diâmetro médio dos cabos produzidos pela sua empresa é de pelo menos 5 m m ”. Para testar se esta afirmação é verdadeira, uma amostra de 25 cabos foi observada e mostrou um diâmetro médio de 4,9 m m com um desvio padrão de 0,4 m m . Suponha que os diâmetros desses cabos sigam uma distribuição Normal.

  1. Explicite as hipóteses a serem testadas e apresente a sua conclusão a um nível de significância de 5%. Justifique a sua resposta.
  2. Com base nos recursos de que você dispõe, determine o intervalo de menor amplitude no qual o p -valor se encontra.

Passo 1

(a)

Vamos fazer um teste de hipóteses para a média populacional.

H 0 :     μ ≥ 5 m m

H 1 :     μ < 5 m m

Mas nesse caso a gente não conhece o valor de σ , conhecemos somente x ¯ = 4,9 m m e s = 0,4 m m . Se liga que a gente vai ter usar t   d e   s t u d e n t   aqui.

A estatística de teste será:

T = x ¯ - μ 0 s n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A região crítica nesse caso é dada por:

T < t α

O exercício diz que:

α = 0,05

t 0,05 = - t 0,95 = - 1,711

Lembrando que são 24 graus de liberdade porque n = 25 .

Então:

T < - 1,711

Passo 3

Agora a gente substitui os valores na estatística de teste pra ver no que que dá.

T = x ¯ - μ 0 s n = 4,9 - 5 0,4 25

T = - 1,25

Como esse valor ( - 1,25 ) é maior que - 1,711 , então está dentro da região de aceitação. Devemos aceitar, ou pelo menos não descartar, a hipótese H 0 .

Passo 4

(b)

Calcular o p-valor.

α ~ = P T < - 1,25

Se você olhar na tabela na linha dos 24 graus de liberdade, você vai encontrar que:

P T < 0,857 = 0,8

E,

P T < 1,318 = 0,9

E o valor que a gente quer tá entre:

- 1,318 < - 1,25 < - 0,857

Isso leva a gente a:

P T < - 0,857 = 1 - 0,8 = 0,2

P T < - 1,318 = 1 - 0,9 = 0,1

Então...

0,1 < α ~ < 0,2

Resposta

a   A c e i t a r   H 0

b   0,1 < α ~ < 0,2

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