Exercícios Resolvidos de Teste de Hipótese para Média Amostral com σ Desconhecido

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 388.

Sergio afirma que Raquel dirige seu carro na estrada a uma velocidade média superior a 100 k m / h , enquanto Raquel discorda, afirmando dirigir na estrada a uma velocidade média menor ou igual a 100 k m / h . Para dirimir essa controvérsia, Sergio resolve cronometrar o tempo (em minutos) que ela gasta ao volante em 10 viagens, sempre pelo mesmo percurso que liga duas cidades 120   km distantes:

73     68     73     61     70     78     63     64     74     62

  1. Quem parece ter razão, ao nível de significância 5%?

Passo 1

(a)

Primeiro vamos definir as hipóteses:

H 0 :   μ ≤ 100   Raquel

H 1 :   μ > 100   Sergio

Temos que α = 0,05 .

Na nossa amostra temos n = 10 . Não conhecemos o valor do desvio padrão populacional, isso é um sinal de que teremos que calcular o amostra s e usar t   d e   s t u d e n t .

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Passo 2

A nossa estatística de teste será:

T o b s = x ¯ - 100 s 10

E o critério para a região de rejeição será:

T o b s > t 1 - α

T o b s > t 0,95

Usando a tabela de t   d e   s t u d e n t e levando em consideração que temos 10 - 1 = 9 graus de liberdade.

T o b s > 1,83

Passo 3

Só que para calcular x ¯ e s precisamos antes passar tudo para velocidade, que é sobre o que a questão trata. Foram dados os tempos e a distância, então vamos usar a seguinte fórmula:

velocidade  km h = 120   km tempo minuto × 60 min h

Os resultados obtidos em km h são:

98,63     105,88     98,63     118,03     102,86     92,31     114,29     112,50     97,30     116,13

Passo 4

Com base nesses dados a gente pode calcular agora x ¯ e s , usando as fórmulas lá do início da matéria. Vou colocar os resultados direto:

x ¯ = 105,66

s = 9,06

Com isso, temos:

T obs = 105,66 - 100 9,06 10 = 1,97

Observando o critério da região de rejeição, como 1,97 > 1,83 então isso implica que H 0 deve ser rejeitada. Ou seja, Sergio parece ter razão.

Resposta

a   rejeitar   H 0

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