Exercícios Resolvidos de Trabalho de Movimento da Fronteira

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Enunciado

Uma amostra de ar é comprimida do estado inicial ( P = 125   k P a e T = 325   K ) até o estado final onde a temperatura é igual a 500   K e a pressão é igual a 300   k P a . Sabendo que a compressão é politrópica, determine o expoente n relativo ao processo e o trabalho específico associado ao processo. Considere a massa molar do ar igual a 28,97   k g / k m o l .

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o trabalho específico do processo politrópico. Mas o que é um trabalho específico? Assim como o volume específico v é o volume V dividido pela massa m , o trabalho específico w é o trabalho dividido pela massa.

w = W m

O trabalho de um processo politrópico é igual a:

W = P 2 ⋅ V 2 - P 1 ⋅ V 1 1 - n

Então o trabalho específico desse processo é igual a:

w = P 2 ⋅ V 2 / m - P 1 ⋅ V 1 / m 1 - n ⟹ w = P 2 ⋅ v 2 - P 1 ⋅ v 1 1 - n

O valor de P 1 foi dado pelo problema.

P 1 = 125 000   P a

Já os valores de volumes específicos terão que ser calculados através das equações de gás perfeito. A fórmula de gás perfeito para o estado 1 é igual a:

v 1 = R a r ⋅ T 1 P 1

T 1 = 325   K

R a r é encontrado pela fórmula:

R a r = R ¯ M a r

R ¯ = 8314,5   J k m o l ⋅ K

M a r = 28,97   k g k m o l

Achamos v 2 da mesma forma que achamos v 1 . Usamos a equação de gás perfeito para o estado 2.

v 2 = R a r ⋅ T 2 P 2

T 2 = 500   K

P 2 = 300000   P a

Agora só falta acharmos o expoente politrópico n . Mas isso ficará para o passo seguinte.

Passo 2

A primeira etapa para isso é olhar para a relação entre pressões e volumes desse processo.

P 1 ⋅ V 1 n = P 2 ⋅ V 2 n

Se dividirmos os dois lados pela massa elevada ao coeficiente politrópico m n , achamos que:

P 1 ⋅ V 1 n = P 2 ⋅ V 2 n ⟹ P 1 ⋅ V 1 m n = P 2 ⋅ V 2 m n ⟹ P 1 ⋅ v 1 n = P 2 ⋅ v 2 n

Reorganizando essa equação:

P 1 P 2 = v 2 v 1 n

Como os dois lados da equação são iguais, os logaritmos dos dois lados da equação também serão iguais.

log ⁡ P 1 P 2 = log ⁡ v 2 v 1 n

Usando as propriedades do logaritmo, chegamos a:

log ⁡ P 1 P 2 = n ⋅ log ⁡ v 2 v 1 ⟹ n = log ⁡ P 1 P 2 log ⁡ v 2 v 1

Com essa equação, temos tudo o que precisamos para iniciar nossos cálculos.

Passo 3

Começamos as contas por R a r .

R a r = R ¯ M a r ⟹ R a r = 8314,5   28,97 ⟹ R a r = 287,0   J k g ⋅ K

Depois disso, podemos calcular v 1 e v 2 .

v 1 = R a r ⋅ T 1 P 1 ⟹ v 1 = 287,0 ⋅ 325 125000 ⟹ v 1 = 0 , 7462   m 3 k g

v 2 = R a r ⋅ T 2 P 2 ⟹ v 2 = 287,0 ⋅ 500 300000 ⟹ v 2 = 0 , 478 3   m 3 k g

Agora estamos aptos a achar o coeficiente politrópico.

n = log ⁡ P 1 P 2 log ⁡ v 2 v 1 ⟹ n = log ⁡ 125000 300000 log ⁡ 0 , 478 3 0 , 7462 ⟹ n = 1 , 9684

Com esse valor, podemos usar a fórmula de trabalho específico.

w = P 2 ⋅ v 2 - P 1 ⋅ v 1 1 - n ⟹ w = 300000 ⋅ 0 , 478 3 - 125000 ⋅ 0 , 7462 1 - 1 , 9684 ⟹ w = - 51853,6 J k g

Resposta

w = - 51853,6 J k g

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