Exercícios Resolvidos de Transformada inversa de s^n

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Enunciado

Prove que:

δ ' t = - δ t t

Passo 1

Essa propriedade do Delta de Dirac é bem tranquila de provar se a gente lembrar da seguinte propriedade também:

L t n ∙ x t = - 1 n ∙ d n d s n X s

Como isso ajuda a gente? Bem, da uma olhada na propriedade:

δ ' t = - δ t t

Tem um t solto com expoente 1 e, ao mesmo tempo, temos um sinal de menos. Bem, isso aí é um bom sinal de que podemos usar n = 1 pr obter:

L t ∙ x t = - d d s X s

Passo 2

Bem, agora que temos uma relação que aparece um termo de t com expoente 1 , que tal tentarmos fazer - d X s d s resultar em algo cuja transformada inversa conhecemos. Bem, seja

X s = s

Vamos ter:

L t ∙ x t = - d d s s

L t ∙ x t = - 1

t ∙ x t = L - 1 - 1

t ∙ x t = - δ t

x t = - δ t t

Show de bola, achamos x t . Mas eaí? Pra gente terminar meeesmo, precisamos lembrar que lá no início desse passo definimos:

X s = s

Logo:

L - 1 X s = x t

L - 1 s = δ ' t

x t = δ ' t

Po, se x t tem duas definições diferentes e as duas tão certas, basta igualar elas! E ai sim achamos a relação do enunciado:

x t = - δ t t

x t = δ ' t

δ ' t = - δ t t

Resposta

  1. Ao definirmos X s = s , temos que x t = δ ' t
  2. Ao definirmos X s = s , temos que x t = - δ t t se usarmos a propriedade das transformadas L t ∙ x t = - d d s X s
  3. Ao igualarmos as duas definições de x t encontradas, obtemos a propriedade do enunciado

δ ' t = - δ t t