Transformada inversa de s^n

Teoria Completa

Depois de ver tanta transformada, será que a gente já tem o que é preciso pra resolver:

L - 1 s = x t  

Puts, perai, não temos ainda como achar esse cara! Pô, um X s tão simples, e ainda assim sem solução? Relaxa gafanhoto, aqui a gente vai ver como resolver ele. Pra começar, queremos achar x t tal que:

L x t = X s = s

Belezita, por onde começar? Que tal modificar esse s pra ele ganhar uma cara de algo que a gente conheça? Saca só:

s ∙ 1 s = 1

Parece besteira, mas isso ajuda muito! Afinal, sabemos que:

L x t = s L u 0 t = 1 s

Então na prática, o que temos é:

L x t ∙ L u 0 t = 1

Opa opa, produto de transformadas? Isso tem cara de integral de convolução! Logo:

L x t *   u 0 t = 1

x t *   u 0 t = L - 1 1  

x t *   u 0 t = δ t  

Caramba, já tamos chegando em algum lugar em! Daí em diante a gente pode puxar a definição da convolução mesmo, e saca só o que acontece:

∫ 0 t x τ ∙ u 0 t - τ d τ =   δ t

Usado nosso querido e amado teorema fundamental do cálculo, podemos derivar os dois lados em relação a t e achar:

x t ∙ u 0 t - t = δ ' t

x t ∙ u 0 0 = δ ' t

x t = δ ' t

E ta na mão galera! Achamos a a função cuja transformada da s !

L δ ' t = s

L - 1 s = δ ' t  

Transformada inversa de potências de s

Agora você provavelmente está pensando: se eu sei a transformada inversa de s , será que sei a de s 2 , s 3 , etc.? Se você apostou que sim então é o seu dia de sorte! Vamos manter a mesma ideia, só que dessa vez tentar achar x t tal que:

L x t = X s = s 2

Oras, se ainda tivermos em mãos a ideia da convolução:

s 2 ∙ 1 s = s

L x t = s 2 L u 0 t = 1 s

L x t ∙ L u 0 t = s

L x t *   u 0 t = s

x t *   u 0 t = L - 1 s  

x t *   u 0 t = δ ' t  

E galera, dai em diante não muda muita coisa! Repetimos a definição da convolução e o teorema fundamental do cálculo: ∫ 0 t x τ ∙ u 0 t - τ d τ =   δ ' t

x t ∙ u 0 t - t = δ ' ' t

x t ∙ u 0 0 = δ ' ' t

x t = δ ' ' t

E logo:

L δ ' ' t = s 2

L - 1 s 2 = δ ' ' t  

Bem, deu pra ver que se quiséssemos achar pra s 3 os procedimentos seriam os mesmos. Podemos generalizar então para:

L δ n t = s n

L - 1 s n = δ n t

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Calcule

L - 1 s ∙ e - s

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Passo 1

Fala galera, bora começar? Antes de mais nada, vamos lembrar de uma propriedade bacana:

L f t - c ∙ u c t = e - C s ∙ L f t

Pois bem, isso parece um pouco com nossa questão, né não? Vamos comparar:

s ∙ e - s = e - C s ∙ L f t

Show, isso significa que:

e - C s = e - s

s = L f t

Ou seja:

C = 1

f t = L - 1 s = δ ' t

Fechando com chave de ouro:

f t - c ∙ u c t = δ ' t - 1 ∙ u 1 t

E logo:

L - 1 s ∙ e - s = δ ' t - 1 ∙ u 1 t

Resposta

L - 1 s ∙ e - s = δ ' t - 1 ∙ u 1 t

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Prove que:

δ ' t = - δ t t

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Passo 1

Essa propriedade do Delta de Dirac é bem tranquila de provar se a gente lembrar da seguinte propriedade também:

L t n ∙ x t = - 1 n ∙ d n d s n X s

Como isso ajuda a gente? Bem, da uma olhada na propriedade:

δ ' t = - δ t t

Tem um t solto com expoente 1 e, ao mesmo tempo, temos um sinal de menos. Bem, isso aí é um bom sinal de que podemos usar n = 1 pr obter:

L t ∙ x t = - d d s X s

Passo 2

Bem, agora que temos uma relação que aparece um termo de t com expoente 1 , que tal tentarmos fazer - d X s d s resultar em algo cuja transformada inversa conhecemos. Bem, seja

X s = s

Vamos ter:

L t ∙ x t = - d d s s

L t ∙ x t = - 1

t ∙ x t = L - 1 - 1

t ∙ x t = - δ t

x t = - δ t t

Show de bola, achamos x t . Mas eaí? Pra gente terminar meeesmo, precisamos lembrar que lá no início desse passo definimos:

X s = s

Logo:

L - 1 X s = x t

L - 1 s = δ ' t

x t = δ ' t

Po, se x t tem duas definições diferentes e as duas tão certas, basta igualar elas! E ai sim achamos a relação do enunciado:

x t = - δ t t

x t = δ ' t

δ ' t = - δ t t

Resposta

  1. Ao definirmos X s = s , temos que x t = δ ' t
  2. Ao definirmos X s = s , temos que x t = - δ t t se usarmos a propriedade das transformadas L t ∙ x t = - d d s X s
  3. Ao igualarmos as duas definições de x t encontradas, obtemos a propriedade do enunciado

δ ' t = - δ t t

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria.

Calcule

L - 1 s 3 + 2 s 2 + 6 s + 5 s + 1

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Passo 1

Beleza, olha só. Pra questões desse tipo, com polinômios sobre polinômios, as chances de dar pra simplificar são enormes. Sendo assim, vamos olhar pro denominador que é mais simples. Veja que se s = - 1 , então o denominador assume o valor s + 1 = 0 . O que será que acontece com o numerador usando o mesmo s ?

s 3 + 2 s 2 + 6 s + 5 =

= - 1 3 + 2 . - 1 2 + 6 - 1 + 5 =

= - 1 + 2 - 6 + 5 = 1 - 1 = 0