Exercícios Resolvidos de A Forma Complexa da Série de Fourier

Ache, por integração direta, a série de Fourier complexa para a função f t = e t , se t 0 , π ,   e f t + 2 π = f t ,   t   R .

Passo 1

Primeiro, é fácil ver que o período da função é 2 π , então:

P = 2 π 2 L = 2 π L = π

Para fazermos a série complexa precisamos achar a forma de f t entre - π e π .

f t = e t + 2 π s e - π x < 0 e t s e 0 x < π

f t = e t e 2 π s e - π x < 0 e t s e 0 x < π

Assim, encontramos a função entre - π 2 e π 2 .

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Passo 2

Precisamos agora encontrar a Série complexa de Fourier de f , a fórmula é:

f t = n = - c n e j n π t L    

E a fórmula do coeficiente é:

c n = 1 2 L - L L f t e - j n π t L d t ,       n = 0 , ± 1 , ± 2

Assim, precisamos calcular os coeficientes para encontrarmos a série, então:

c n = 1 2 π - π π f t e - j n π t π d t

c n = 1 2 π - π π f t e - j n t d t

Assim, separando nos intervalos, temos:

c n = 1 2 π - π 0 e t e 2 π e - j n t d t + 0 π e t e - j n t d t

c n = 1 2 π e 1 - j n t + 2 π 1 - j n - π 0 + e 1 - j n t 1 - j n 0 π

c n = 1 2 π e 2 π 1 - j n - e j n π + π 1 - j n + e π - j n π 1 - j n - 1 1 - j n

c n = 1 2 π 1 - j n e 2 π - 1 - e π e j n π + e π e - j n π

Calma, chegando nessa expressão, temos que realizar operações para reduzi-la.

Assim, vamos lembrar que:

e j π = - 1

Então

c n = 1 2 π 1 - j n e 2 π - 1 - e π - 1 n + e π - 1 - n

Com isso, podemos cancelar as duas parcelas com o e π . Assim, chegamos a:

c n = e 2 π - 1 2 π 1 - j n

Assim, chegamos a forma mais simplificada da série:

f x = n = - e 2 π - 1 2 π 1 - j n e j n t

Resposta

f x = n = - e 2 π - 1 2 π 1 - j n e j n t

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