A Forma Complexa da Série de Fourier

Teoria Completa

Essa série de Fourier irritante ainda tem um tópico que lhe aguarda, jovem gafanhoto. Existem questões que pedem a forma complexa da série!

Whaaaat??? Forma complexa?!?! Isso! Aquela com a unidade imaginária i =   - 1 . Não se assuste, a forma complexa deixa a expressão bem mais curtinha. Sem mais enrolação, te apresento a forma complexa da série de Fourier:

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L   = ∑ n = - ∞ ∞ c n e i w n x

Onde   w n = 2 π n L e c n é o coeficiente da série complexa.

Vamos agora entender como chegamos a essa forma que chamamos complexa:

Forma de Euler

Primeiro vamos relembrar duas relações importantes, chamadas relações de Euler:

cos ⁡ x = ( e i x + e - i x ) 2    

sen ⁡ x = ( e i x - e - i x ) 2 i  

Agora vamos substituir na equação da série de Fourier:

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n ( e i w n x + e - i w n x ) 2 + b n ( e i w n x - e - i w n x ) 2 i

Arrumando:

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n - i b n )   2 e i w n + ( a n + i b n )   2 e - i w n

Vamos dar uma pausa e vamos ver uma relação com o sinal dos coeficientes:

Cálculo de a - n :

a - n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ ( - n ) π x L d x = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = a n

Então:

a - n = a n

Cálculo de b n :

b - n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ ( - n ) π x L d x = - 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = - b n

Então:

b - n = - b n

Agora vamos chamar:

c n = a n - i b n 2

Assim, nossa expressão pode ser escrita como:

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n e i w n x + ∑ n = 1 ∞ c - n e - i w n x

Trocando – n por n no segundo somatório:

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n e i w n x + ∑ n = - ∞ - 1 c n e i w n x

Note que:

c 0 = a 0 2

Então:

∑ n = 1 ∞ c n e i w n x + c 0 + ∑ n = - ∞ - 1 c n e i w n x

Agora se liga numa coisa: o primeiro somatório vai de 1 até e o segundo de - ∞ até -1. Po, cadê o termo n = 0 ? Isso mesmo, é o termo c 0 , pois se n = 0 ambas as exponenciais vão ser 0 e só teremos c 0 . Portanto, a gente pode juntar todo mundo num somatório só!

∑ n = 1 ∞ c n e i w n x + c 0 + ∑ n = - ∞ - 1 c n e i w n x =   ∑ n = - ∞ ∞ c n e i w n x

Pois é, com esse algebrismo todo chegamos a chamada Forma complexa da série de Fourier .

Existe uma forma mais simples de chegarmos ao c n sem precisar calcular a n e b n , ele é calculado por:

c n = 1 2 L ∫ - L L f x e i w n x d x

É importante observar que essa forma, apesar do nome de complexa, ela é real, pois é igual a forma original de Fourier.

Como obter a forma f ( x ) de -L a L?

Vamos supor que queremos a forma complexa da função f x = x 2 , x ∈ ( 0,2 ) e f t + 2 = f ( t ) . Bem o primeiro ponto é descobrir o valor de L . Como a função tem período 2, temos:

2 L = 2 ��� L = 1

Agora, vamos ao cálculo do c n , usando a fórmula lá de cima

c n = 1 2 L ∫ - L L f x e i w n x d x → 1 2 ∫ - 1 1 x 2 e i w n x d x

Certo? ERRADO!!! A nossa função só está definida com aquela expressão de 0 a 2. Na integral, estamos dizendo que ela vale x 2 , também de -1 a 0 o que não é verdade.

Para te provar isso, deixa eu fazer um desenhinho do gráfico dessa função

São vários braços de parábola, porque a função é periódica (não se esqueça disso!). Se você pegar x = - 1 / 2   teríamos x 2 = 1 / 4 . No gráfico, a gente percebe que, na verdade, o valor da função é maior do que ¼ . Isso porque a expressão x 2 só vale de 0 a 2.

Então o que devemos fazer? Você concorda que esses braços nada mais são do que deslocamentos da função dada no enunciado? E como deslocamos um gráfico? Se você quer deslocar o gráfico de a unidades para a esquerda, devemos fazer f ( x + a ) . Se você quiser deslocar para a direita, você faz f ( x - a ) .

Aqui, a gente sabe que de 0 a 2, f x = x 2 . Queremos obter a expressão, deslocando esse gráfico para a esquerda, sabemos que o deslocamento corresponde ao valor do período. Então a expressão de -2 a 0 será:

f x + 2 = x + 2 2

Então podemos escrever o seguinte:

f x = x + 2 2 ,     - 2 ≤ x < 0 x 2 ,     0 ≤ x < 2

Agora sim podemos calcular os coeficientes da seguinte forma:

1 2 ∫ - 1 1 f ( x ) e i w n x d x = 1 2 ∫ - 1 0 x + 2 2 e i w n x d x + 1 2 ∫ 0 1 x 2 e i w n x d x

Dividimos o intervalo de integração em cada parte aonde temos a expressão da função! Depois é só fazer tudinho como estamos acostumados! Partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Cálculo Avançado A – CEFET-RJ - Lista de exercício de série de Fourier - 20

Encontre a série complexa de Fourier de f t = e 3 t , se t ∈ 0,2 π ,   e f t + 2 π = f t ,   ∀ t   ∈ R .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, repara que o período da função é 2 π , então:

P = 2 π ⇒ 2 L = 2 π ∴ L = π

Para fazermos a série complexa precisamos achar a forma de f t entre - π e π .

f t = e 3 t + 2 π s e - π ≤ t < 0 e 3 t s e 0 ≤ t < π

f t = e 3 t e 6 π s e - π ≤ t < 0 e 3 t s e 0 ≤ t < π

Assim, encontramos a função entre - π e π .

Passo 2

Precisamos agora encontrar a Série complexa de Fourier de f , a fórmula é:

f t = ∑ n = - ∞ ∞ c n e j n π t L    

E a fórmula do coeficiente é:

c n = 1 2 L ∫ - L L f t e - j n π t L d t ,       n = 0 , ± 1 , ± 2 …

Assim, precisamos calcular os coeficientes para encontrarmos a série, então:

c n = 1 2 π ∫ - π π f t e - j n π t π d t

c n = 1 2 π ∫ - π π f t e - j n t d t

Assim, separando nos intervalos, temos:

c n = 1 2 π ∫ - π 0 e 3 t e 6 π e - j n t d t + ∫ 0 π e 3 t e - j n t d t

c n = 1 2 π e 3 - j n t + 6 π 3 - j n - π 0 + e 3 - j n t 3 - j n 0 π

c n = 1 2 π e 6 π 3 - j n - e j n π + 3 π 3 - j n + e 3 π - j n π 3 - j n - 1 3 - j n

c n = 1 2 π 3 - j n e 6 π - 1 - e 3 π e j n π + e 3 π e - j n π

Calma, chegando nessa expressão, temos que realizar operações para reduzi-la.

Assim, vamos lembrar que:

e j π = - 1

Então

c n = 1 2 π 3 - j n e 6 π - 1 - e 3 π - 1 n + e 3 π - 1 - n

Com isso, podemos cancelar as duas parcelas com o e 3 π . Assim, chegamos a:

c n = 1 2 π 3 - j n e 6 π - 1

Mas lembrando que:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Temos:

c n = 1 2 π 3 - j n e 6 π - 1 = e 3 π e 3 π - e - 3 π 2 π 3 - j n = e 3 π senh ⁡ 3 π π 3 - j n

Assim, chegamos a forma mais simplificada da série:

f t = ∑ n = - ∞ ∞ e 3 π senh ⁡ 3 π π 3 - j n e j n t = senh ⁡ 3 π ∑ n = - ∞ ∞ e 3 π + j n t π 3 - j n

Resposta

f t = senh ⁡ 3 π ∑ n = - ∞ ∞ e 3 π + j n t π 3 - j n

Exercício Resolvido #2

Ache a série de Fourier complexa para a função f t = sen 4 ⁡ t , se t ∈ 0 , π ,   e f t + π = f t ,   ∀ t ∈ R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, é fácil ver que o período da função é π , então:

P = π ⇒ 2 L = π ∴ L = π 2

Para fazermos a série complexa precisamos achar a forma de f t entre - π / 2 e π / 2 .

f t = sen 4 ⁡ t + π s e - π 2 ≤ t < 0 sen 4 ⁡ t s e 0 ≤ t < π 2

Assim, encontramos a função entre - π e π .

Ah! E veja que:

sen 4 ⁡ t + π = sen 4 ⁡ t

Isso facilitará e muito nossas contas!

Passo 2

Precisamos agora encontrar a Série complexa de Fourier de f , a fórmula é:

f t = ∑ n = - ∞ ∞ c n e j n π t L    

E a fórmula do coeficiente é:

c n = 1 2 L ∫ - L L f t e - j n π t L d t ,       n = 0 , ± 1 , ± 2 …

Como a função é par, é mais fácil trabalharmos com a 0 , a n e b n e depois relacionar com:

c n = a n - j b n 2

Passo 3

Dessa forma, como f t é par podemos escrever:

a n = 2 L ∫ 0 L f t cos ⁡ n π t L d t ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 0

Calculando a 0 temos:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f t d t

a 0 = 2 π / 2 ∫ 0 π / 2 sen 4 ⁡ t d t

Lembrando que

sen 4 ⁡ t = sen 2 ⁡ t 2 = 1 - cos ⁡ 2 t 2 2 = 1 - 2 cos ⁡ 2 t + cos 2 ⁡ 2 t 4 = 1 - 2 cos ⁡ 2 t + 1 + cos ⁡ 4 t 2 4

sen 4 ⁡ t = 3 - 4 cos ⁡ 2 t + cos ⁡ 4 t 8

a 0 = 2 π / 2 ∫ 0 π / 2 3 - 4 cos ⁡ 2 t + cos ⁡ 4 t 8 d x

a 0 = 4 π 3 t 8 - sen ⁡ 2 t 4 + sen ⁡ 4 t 32 0 π / 2 = 12 π 16 π = 3 4

Passo 4

Agora vamos calcular os a n ’s. Temos que:

a n = 2 π / 2 ∫ 0 π / 2 f t cos ⁡ n π t π / 2 d t = 4 π ∫ 0 π / 2 f t cos ⁡ 2 n t d t

a n = 4 π ∫ 0 π / 2 sen 4 ⁡ t cos ⁡ 2 n t d t = 4 π ∫ 0 π / 2 3 - 4 cos ⁡ 2 t + cos ⁡ 4 t 8 cos ⁡ 2 n t d t

Assim, podemos escrever:

a n =   4 π ∫ 0 π / 2 3 8 cos ⁡ 2 n t d t -   ∫ 0 π / 2 4 cos ⁡ 2 t 8 cos ⁡ 2 n t d t +   ∫ 0 π / 2 cos ⁡ 4 t 8 cos ⁡ 2 n t d t

Lembrando que:

cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b 2

E integrando, podemos escrever:

a n = 4 π 1 32 sen ⁡ - 4 + 2 n t - 2 + n + 4 sen ⁡ - 2 + 2 n t - 1 + n + 6 sen ⁡ 2 n t n + 4 sen ⁡ 2 + 2 n t 1 + n + sen ⁡ 4 + 2 n t 2 + n 0 π / 2

a n = 4 π 3 sen ⁡ n π 4 n 4 - 5 n 2 + n 4

Mas atenção! Note que isso não vale para n = 1 e n = 2 ! E que para n > 2   o u   n < - 2 ,   a n = 0

Passo 5

Vamos então calcular a 1 e a 2 :

a 1 = 4 π ∫ 0 π / 2 3 - 4 cos ⁡ 2 t + cos ⁡ 4 t 8 cos ⁡ 2 t d t

a 1 = 4 π t 4 + 7 32 sen ⁡ 2 t + 1 16 sen ⁡ 4 t + 1 96 sen ⁡ 6 t 0 π / 2 = 4 π π 8 = 1 2

E

a 2 = 4 π ∫ 0 π / 2 3 - 4 cos ⁡ 2 t + cos ⁡ 4 t 8 cos ⁡ 4 t d t

a 2 = 4 π t 16 + 1 8 sen ⁡ 2 t + 3 32 sen ⁡ 4 t + 1 24 sen ⁡ 6 t + 1 128 sen ⁡ 8 t 0 π / 2 = 4 π π 32 = 1 8

Com isso, temos os valores de a n :

a n = 3 4 s e n = 0 1 2 s e n = 1 1 8 s e n = 2 0 s e n ≠ 0,1 , 2 ⇒ c n = 3 8 s e n = 0 1 4 s e n = ± 1 1 16 s e n = ± 2 0 s e n ≠ 0 , ± 1 , ± 2

f t = ∑ n = - 2 2 c n e 2 j n t = e 4 j t 16 + e 2 j t 4 + 3 8 + e - 2 j t 4 + e - 4 j t 16    

Resposta

f t = ∑ n = - 2 2 c n e 2 j n t = e 4 j t 16 + e 2 j t 4 + 3 8 + e - 2 j t 4 + e - 4 j t 16    

Exercício Resolvido #3

Ache, por integração direta, a série de Fourier complexa para a função f t = e t , se t ∈ 0 , π ,   e f t + 2 π = f t ,   ∀ t   ∈ R .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, é fácil ver que o período da função é 2 π , então:

P = 2 π ⇒ 2 L = 2 π ∴ L = π

Para fazermos a série complexa precisamos achar a forma de f t entre - π e π .

f t = e t + 2 π s e - π ≤ x < 0 e t s e 0 ≤ x < π

f t = e t e 2 π s e - π ≤ x < 0 e t s e 0 ≤ x < π

Assim, encontramos a função entre - π 2 e π 2 .

Passo 2

Precisamos agora encontrar a Série complexa de Fourier de f , a fórmula é:

f t = ∑ n = - ∞ ∞ c n e j n π t L    

E a fórmula do coeficiente é:

c n = 1 2 L ∫ - L L f t e - j n π t L d t ,       n = 0 , ± 1 , ± 2 …

Assim, precisamos calcular os coeficientes para encontrarmos a série, então:

c n = 1 2 π ∫ - π π f t e - j n π t π d t

c n = 1 2 π ∫ - π π f t e - j n t d t

Assim, separando nos intervalos, temos:

c n = 1 2 π ∫ - π 0 e t e 2 π e - j n t d t + ∫ 0 π e t e - j n t d t

c n = 1 2 π e 1 - j n t + 2 π 1 - j n - π 0 + e 1 - j n t 1 - j n 0 π

c n = 1 2 π e 2 π 1 - j n - e j n π + π 1 - j n + e π - j n π 1 - j n - 1 1 - j n

c n = 1 2 π 1 - j n e 2 π - 1 - e π e j n π + e π e - j n π

Calma, chegando nessa expressão, temos que realizar operações para reduzi-la.

Assim, vamos lembrar que:

e j π = - 1

Então

c n = 1 2 π 1 - j n e 2 π - 1 - e π - 1 n + e π - 1 - n

Com isso, podemos cancelar as duas parcelas com o e π . Assim, chegamos a:

c n = e 2 π - 1 2 π 1 - j n

Assim, chegamos a forma mais simplificada da série:

f x = ∑ n = - ∞ ∞ e 2 π - 1 2 π 1 - j n e j n t

Resposta

f x = ∑ n = - ∞ ∞ e 2 π - 1 2 π 1 - j n e j n t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas